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Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Summe zweier linear unabhängiger nicht stetig partiell differenzierbarer Funktionen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
dome1504
 

Hallo,

gegeben ist eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion X:U -> R^n, wobei U offene Teilmenge des R^m ist. Wir fordern zusätzlich, dass die partiellen Ableitungen von X, also die Spalten der Jacobimatrix DX in jedem Punkt linear unabhängig sein soll. Der Tangentialraum ist also immer m-dimensional.

Wir betrachten nun ein einmal stetig partiell differenzierbares Vektorfeld v: U->R^m. Für jedes u aus U schauen wir uns den Vektor v(u) an und spalten den in den Teil auf, der parallel zum Tangentialraum T_u ist und in den Teil, der im Normalraum N_u liegt, d.h. v(u)=v_parallel(u) + v_perp(u) bzw. v=v_parallel + v_perp.

Ich möchte nun zeigen, dass v_parallel und v_perp ebenfalls stetig partiell differenzierbar sein müssen. Aus der Gleichung folgt unmittelbar, dass nicht nur v_parallel oder nur v_perp nicht stetig partiell differenzierbar sein können, da man dann die Gleichheit zwischen stetig partiell diffbar und nicht stetig partiell diffbar hätte. Also müssen beide wenn überhaupt nicht stetig partiell diffbar sein. Normalerweise gibt es das Standardbeispiel f(x)+(-f(x)), wobei f(x) nicht stetig partiell diffbar ist, welches zeigt, dass die Summe nicht stetig partiell diffbarer Funktionen trotzdem C^1 ist. In unserem Fall sind die Funktionen ja aber linear unabhängig, bzw. v_parallel(u) und v_perp(u) sind linear unabhängig.

Wie kann ich jetzt zeigen, dass dann beide Funktionen C^1 sein müssen?

Liebe Grüße
Dome

Analysis
  
Thema eröffnet von: dome1504
Abbildung, die Längen und Flächeninhalte nicht vergrößert  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-31
dome1504
 

Hallo,

in einem Beweis wurde eine Funktion der Form
fed-Code einblenden
konstruiert, die den gesamten R^3 diffeomorph auf den Zylinder W abbilden soll. Die z-Koordinate wird ja einfach übernommen, d.h. die Abbildung fed-Code einblenden ist dafür da, um den gesamten R^2 diffeomorph auf die Kreisscheibe U abzubilden. Es wurde im Beweis gezeigt, dass fed-Code einblenden für jeden Vektor v gilt, wobei D für die Jacobi-Matrix stehen soll. Daraus soll dann folgen, dass die Abbildung fed-Code einblenden Längen und Flächeninhalte nicht vergrößern kann. Wieso ist das so?

Liebe Grüße
Dome



Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Kompakte Variation (Deformation) einer Immersion: Beispiele  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-12
dome1504
 

Hallo,



und zwar geht es mir um den Begriff der kompakten Variation. Ziel ist es ja, dass wir unsere Immersion auf einer kompakten Teilmenge C von U deformieren wollen. Dies wird dann durch eine Schar von weiteren Immersionen ausgedrückt, die auf dem Komplement von C alle übereinstimmen sollen. Zusätzlich gilt X^s=X ud ferner soll X^s stetig diffbar vom Parameter s abhängen, damit die Deformation X(C) nicht zu stark verbiegt oder auseinanderreißt. Allerdings kann ich mir das so relativ schwer vorstellen und auf einfache Beispiele kam ich nicht. Hat jemand eventuell so ein Beispiel für mich oder Quellen, in denen ich mehr darüber lesen kann?

Liebe Grüße
Dome

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Charakteristisches Polynom eines nilpotenten Endomorphismus  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-01
dome1504
 

Genau, da stimme ich dir natürlich zu. Allerdings hatten wir die allgemeine Jordannormalform und die für nilpotente Endomorphismen bereits in der Vorlesung. In einer mündlichen wäre es wahrscheinlicher besser, kurz damit zu argumentieren, als den zwar sehr elementaren aber dafür verhältnismäßig zeitaufwendigeren Beweis zu präsentieren. Außerdem ist es ja sowieso von Vorteil, wenn man versucht alles in Bezug zur Vorlesung zu setzen.

Liebe Grüße
Dome

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Charakteristisches Polynom eines nilpotenten Endomorphismus  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-01
dome1504
 

Hallo Nuramon,

so geht es natürlich auch, danke! Wenn ich mich recht erinnere, benötigt der Beweis der Jordannormalform für nilpotente Endomorphismen auch nicht das Wissen über das charakteristische Polynom. Damit erhält man dann genau die gleiche Begründung. Unser Professor legt nämlich Wert darauf, dass wir seine Fragen mit dem Wissen aus der Vorlesung begründen.

Liebe Grüße
Dome

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Charakteristisches Polynom eines nilpotenten Endomorphismus  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-01
dome1504
 

Hallo Fabi,

danke für die Antwort. Den Beweis habe ich auch im Internet gelesen, so würde es natürlich gehen. Allerdings möchte ich auch den anderen Beweis nachvollziehen, da mir die Argumentation noch nicht wirklich klar ist.

Liebe Grüße
Dome

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Charakteristisches Polynom eines nilpotenten Endomorphismus  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-01
dome1504
 

Hallo,

genau, aus der Gleichung würde folgen, dass alle Eigenwerte 0 sind. Aber wenn wir uns zum Beispiel reelle Endomorphismen anschauen, würden komplexe Zahlen ja nicht als Eigenwerte gezählt werden, weil sie nicht in R liegen, oder? Das Polynom T^{n-2} (x^2+1) hätte dann nur die Eigenwerte 0, weil i,-i ausgeschlossen werden. Allerdings hat es eben nicht die Form T^n. Die Abbildung zu diesem Polynom ist auch nicht nilpotent, das sollte nur ein Beispiel sein, um meine Verwirrung deutlich zu machen.

Liebe Grüße
Dome

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Ableitung der Determinante  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-29
dome1504
J

Hallo Buri,

dort ging es nur darum, was ich unter einer differenzierbaren Matrix zu verstehen habe. Hier möchte ich konkret die Beweisschritte diskutieren. Ich werde in Zukunft versuchen, meine Fragen zum gleichen Thema in einen Post zu packen👍

Liebe Grüße
Dome

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Ableitung der Determinante  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-29
dome1504
J

Hallo,

den folgenden Beweis bezüglich der Ableitung der Determinante würde ich gerne nachvollziehen:



Dabei sind mir alle Umformungsschritte bis auf den von der ersten zur zweiten Zeile klar, bei dem die Ableitung einfach auf die Matrix A im i-ten Eintrag gezogen wuurde. Es sieht verdächtigt nach Produktregel aus, aber mehr fiel mir dazu auch nicht ein.

Liebe Grüße
Dome

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Charakteristisches Polynom eines nilpotenten Endomorphismus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-27
dome1504
 

Hallo,

in unserer Vorlesung haben wir gezeigt, dass ein nilpotenter Endomorphismus f in End_K(V) mit Nilpotenzindex k nur den Eigenwert lambda=0 haben kann, denn es gilt f^k(v)=lambda^k *v=0, wenn lambda ein möglicher Eigenwert mit Eigenvektor v ist. Da die Eigenwerte von f die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, hat das charakteristische Polynom als Nullstelle nur die 0. Zusätzlich wurde allerdings ohne Begründung angegeben, dass auch direkt alle Eigenwerte aus K sind. Wenn dem so ist, folgt natürlich direkt X_f=T^n. Allerdings hätte das Polynom T^{n-2} * (T^2+1) ja auch nur die Nullstelle 0 in K. Warum ist dieser Fall nicht möglich, d.h. warum müssen direkt alle Eigenwerte in K liegen?

Liebe Grüße
Dome

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Differenzierbare Matrizen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-26
dome1504
 

Hallo,



was bedeutet es in diesem Kontext genau, dass eine Matrix differenzierbar ist? Die Abbildung s -> A(s) bildet ja eine reelle Zahl auf eine m x m-Matrix ab, deren Komponenten dann jeweils reellwertige Funktionen sind, die vom Parameter s abhängen. Ist die Ableitung der Matrix bzw. der Abbildung dann einfach die Matrix, in der jede Komponentenfunktion nach s abgeleitet ist oder wie muss ich mir das vorstellen.

Liebe Grüße
Dome

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Ist das Nullelement 0_R in einem Integritätsbereich reduzibel?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-25
dome1504
 

Danke!

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Ist das Nullelement 0_R in einem Integritätsbereich reduzibel?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-25
dome1504
 

Hallo,

als Übungsaufgabe sollten wir beweisen, dass ein Element p in einem Integritätsbereich R genau dann irreduzibel ist, wenn aus p in (a) folgt, dass (p)=(a) oder (a)=R, wobei scheinbar a ein beliebiges Element aus R ist. Mit (a) wird das Ideal von a gemeint. Ich habe das versucht indirekt zu zeigen, d.h. wenn p nicht irreduzibel ist existiert ein a aus R mit p in (a), aber (p) != (a) und (a) != R. Das hat auch geklappt, allerdings hat sich mir die Frage gestellt, wie es denn mit dem Nullelement 0_R aussieht. Nach Definition ist ein Element p eines Integritätsbereichs R irreduzibel, wenn es keine Einheit oder das Nullelement ist und aus einer Darstellung p=a*b folgt, dass a oder b Einheiten sind. Demnach müsste ja 0_R reduzibel sein. Ist unser Integritätsbereich R ein Körper, sind alle ELemente außer 0 Einheiten. Für a=p=0_R würde p in (a) und (p)=(a) folgen, für jedes andere a, was dann eine Einheit ist, würde (a)=R gelten, d.h. die obige Aussage stimmt, obwohl 0_R reduzibel ist. Ist also 0_R nicht reduzibel, muss die Behauptung auf nicht-null Elemente eingeschränkt werden oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Liebe Grüße
Dome  

Diff.topologie/-geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Krümmung einer Kurve und Frenet-Gleichungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-17
dome1504
J

Hallo,

folgenden Abschnitt verstehe ich leider nicht so ganz:


Der Anfang ist mir klar, aber auch mit explizitem Nachrechnen konnte ich die behauptete Gleichheit c''=<c'',n>n nicht zeigen. Und wie nach (2.22) auf n'=-kc' gekommen wird ist mir auch nicht klar.

Liebe Grüße
Dome

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Gruppenisomorphismus zwischen Galoisgruppen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-26
dome1504
 

Hallo,

bei folgendem Beweis stecke ich etwas fest:

fed-Code einblenden

Da wäre es sehr schön, wenn mir jemand die Schritte einzeln erklären könnte.

Liebe Grüße
Dome

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Riemann-, aber nicht Lebesgue-integrierbare Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-11
dome1504
 

Danke für die Antwort. Damit versuche ich es später mal.

Liebe Grüße
Dome

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Riemann-, aber nicht Lebesgue-integrierbare Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-11
dome1504
 

Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben:
fed-Code einblenden
Ich habe bereits gezeigt, dass f nicht Lebesgue-integrierbar ist, indem ich mir den Betrag von f angeschaut habe, der ja genau dann L-integrierbar ist, wenn f integrierbar ist, und dann eine Folge einfacher Funktionen gefunden habe, deren Integral gegen unendlich geht. Jetzt soll ich zeigen, dass die Funktion uneigentlich Riemann-integrierbar ist, d.h. fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Um die Existenz des Grenzwerts zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass für jede beliebige Folge a_n >=0, die gegen a=0 konvergiert, das Integral existiert und das gleiche rauskommt. Genau hier ist mein Problem. Man kann natürlich, um erstmal einen Eindruck zu kriegen, direkt die unendliche Reihe ausrechnen:
fed-Code einblenden
Dass das der gesuchte Grenzwert ist, scheint auch sofort logisch. Allerdings reicht das ja nicht als Begründung aus, oder? Manche meiner Kommilitonen begründen es genau so, mir kommt das aber etwas zu kurz und ungenau vor. Kann mir jemand erklären, wie ich das am besten begründen kann?

Liebe Grüße
Dome



Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Galoisgruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe S_3  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-21
dome1504
 

Genau das meinte ich. Wenn alpha2= a+b*i ist, hätten wir ja (x-alpha2)(x-alpha2')=x^2 - 2ax + a^2 + b^2. Die Nullstellen sind dann ja gerade a+-sqrt(-b^2)=a+-i*b, was natürlich klar ist, da ja gerade das Polynom die Form (x-alpha2)(x-alpha2') hat. Würde es dann reichen, sqrt(-b^2) oder eben i*b zu adjungieren? a ist ja sowieso schon in Q[alpha1] enthalten, da das Polynom x^2 - 2ax + a^2 + b^2 in Q[alpha1][x] enthalten ist, also insbesondere 2a und damit a in Q[alpha1]?

Jetzt wo du es ansprichst haben wir genau in der Vorlesung gezeigt, dass die Ordnung der Gruppe k!, also gerade die Ordnung von S_k, teilt und dass es damit für die Isomorphie reicht, wenn die Ordnung der Galoisgruppe gleich k! ist. Du meintest ja, dass man nur zeigen muss, dass der Grad der Körpererweiterung gleich 3!=6 ist. Ich muss wie gesagt noch die Vorlesung einmal durchgehen, aber ich meine mich zu erinnern, dass für galoissche Körpererweiterungen [L:K]=[L:K]_S gilt, so dass man aus dem Grad 6 Separabilitätsgrad 6 und damit 6 Fortsetzungen erhält, woraus die Begründung folgt. Stimmt das so?

Liebe Grüße
Dome

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Galoisgruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe S_3  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-21
dome1504
 

Hallo,

erstmal danke für eure Antworten. Das hat mir schonmal weitergeholfen, allerdings muss ich über das ganze selber noch ein bisschen nachdenken.

Ich habe ja jetzt meine 9 Möglichkeiten für die Fortsetzungen, indem ich alpha1 und alpha2 jeweils auf alpha1, alpha2, alpha2' abbilde. Da scheiden dann sofort 3 aus, die keine Automorphismen sind und damit erhalte ich 6 Fortsetzungen. Mein Problem ist dann, wie ich die miteinander verknüpfen soll. Ich habe ja jeweils nur die Bilder von alpha1, alpha2 bestimmt. Was müsste dann f(alpha2') sein?

So wie bei deinem Beispiel haben wir es auch gemacht. Wir schauen uns alle Nullstellen von x^3 - 2 an, können die erste reelle dann mit der Einheitswurzel verknüpfen, um alle anderen zu erhalten und bei der Einheitswurzel brauchen wir dann auch wieder nur das, was da in der Wurzel steht, also in diesem Fall sqrt(-3), um den Zerfällungskörper zu erhalten. sqrt(-3) hat man dann auf +-sqrt(-3) abgebildet und damit war klar, wie man die ganzen Verkettungen bestimmt. Muss ich sowas ähnliches hier auch machen? Ich weiß ja bereits, dass (x-alpha2)(x-alpha2') in Q[alpha1] liegt und mit der p-q-Formel lassen sich dann die Nullstellen allgemein bestimmen, wobei ich mir nur das nehme, was in der Wurzel steht. Die kann ich dann auf +- die Wurzel abbilden.
Würde das so gehen oder habe ich da wieder einen Denkfehler?

Liebe Grüße
Dome

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: dome1504
Galoisgruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe S_3  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-20
dome1504
 

Achso, ich dachte, man müsse dann das zweite Minimalpolynom über Q mit der bereits adjungierten Nullstelle bestimmen. Wenn ich recht überlege, haben wir es so aber noch kein mal gemacht

Danke für die Hilfe!

Liebe Grüße
Dome
 

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