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Forum
Thema Eingetragen
Autor

Integralrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Han
Paraboloid  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
fru
J

2014-11-27 12:51 - Knaaxx in Beitrag No. 10 schreibt:
@ fru,
du brauchst nicht erst zu einer "Gegenposition" ansetzen.

Diesem Vorschlag komme ich gerne nach, indem ich die inhaltliche Seite Deines Beitrages unkommentiert lasse. Es sei mir aber dennoch gestattet, diese ...

2014-11-27 12:51 - Knaaxx in Beitrag No. 10 schreibt:
[...] nicht aus jener eingeschränkten Sicht eines Menschen der nicht mehr erkennt, was er alles an filtrierenden Prozessen in seinem Überlegungen mit drin hat deren er sicht selbst nicht mehr bewusst ist, bzw sein kann.

... darüber weit hinausgehende (offenbar auf mich bezogene) Bemerkung mit der Bitte um künftiges Unterlassen solcher grenzwertiger persönlicher Angriffe als unpassend und unqualifiziert schärfstens zurückzuweisen.

Integralrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Han
Paraboloid  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
fru
J

2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich habe dich nicht mißverstanden [...]

Da bin ich mir nicht so sicher. Es ist aber nicht weiter wichtig.




2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
[...], ich habe es gar nicht verstanden (den Text an sich schon, nur nicht die Motivation dahinter).

2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4 schreibt:
Damit wird nicht nur das Erreichen eines der wesentlichsten Lernziele behindert, sondern sogar dessen Verschleierung Vorschub geleistet [...].

Natürlich sind damit die allgemeinen Lernziele des Mathematikunterrichts im Besonderen, aber auch der Schule im Allgemeinen gemeint (und nicht etwa welche, deren Erreichen der Autor der vorliegenden Aufgabe konkret im Sinn gehabt haben mag).

2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4 schreibt:
Um möglichen Mißverständnissen vorzubeugen [...], betone ich: [...]

2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4 schreibt:
[...] es war mir ein Anliegen, darauf hinzuweisen, daß es hier keine "gottgegebene" Parabelgleichung gibt, die es dann primär aufzufinden gelte, sondern daß dem das eigenständige Festlegen eines Koordinatensystems zeitlich vorausgehen muß (und daß diesem Schritt auch logisch und didaktisch der Primat im Akt der Modellierung zukommt). Und wenn das ein wenig zum Nachdenken anregt, so sind diese Zeilen auch nicht umsonst geschrieben worden.

Das beschreibt doch die "hinter meinem Text stehende Motivation" eigentlich schon recht gut. Ich habe auch jetzt gerade keine Zeit, mich näher darüber auszulassen, weil ich dringend weg muß. Mehr dazu bei Bedarf also vielleicht später.




2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
Warum streitest du der Zeichnung (die Bezeichnung „Skizze“ halte ich für dieses Bild für zu schwach) Informationsgehalt ab [...]

Wenn Du mit "Informationsgehalt" meinst, daß die Zeichnung etwas enthielte, ohne das die Aufgabe nicht lösbar wäre, dann lautet meine Antwort "weil es wahr ist": Die ganze Aufgabenstellung wäre auch ohne diese Zeichnung schon vollständig und nur etwas schwieriger als mit ihr.

Denn die in der Zeichnung enthaltenen Informationen sind zum eigentlichen Aufgabentext redundant. Insoweit sie über diesen hinausgehen, sind sie nur als Lösungshilfe anzusehen, indem sie wesentliche Ansätze für eine sinnvolle Modellierung vorwegnehmen, sodaß dem Schüler dieser Teil der mathematisch-geistigen Arbeit erspart bleibt.

Ich dachte aber, das ginge ohnehin schon aus meinem Beitrag hervor:

2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4 schreibt:
[...] die beigefügte Skizze dient nur zur Unterstützung der Anschauung und könnte auch ersatzlos gestrichen werden, ohne daß sich die Aufgabenstellung inhaltlich änderte [...]

2014-11-27 02:16 - fru in Beitrag No. 4 schreibt:
Die beigefügte Skizze soll den Schüler offenbar [...] unterstützen (ihn von Irrwegen abhalten) [...]




2014-11-27 04:35 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
[...], z.B. bzgl. der Lage des Scheitels?

Daß z. B. die Lage des Scheitels grundsätzlich frei wählbar ist, sollte klar sein (natürlich kann man sich das Lösen durch die Wahl leichter oder schwerer machen, aber das ist nur eine Frage der Lösungsstrategie), seine freie Verschiebbarkeit entlang der y-Achse hast Du ja gegen Ende Deines Beitrags Nr. 5 sogar selbst beschrieben.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

Integralrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Han
Paraboloid  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
fru
J

2014-11-27 02:48 - viertel in Beitrag No. 5 schreibt:
Nur deine Umdeutung der Aufgabenstellung gefällt mir nicht.

Ich bin mir nicht bewußt, die Aufgabenstellung umgedeutet zu haben.

Vielmehr poche ich sogar im Gegenteil darauf, die Aufgabenstellung genau so zu nehmen, wie sie ist und ihr also insbesondere nichts hinzuzufügen, das sie nicht beinhaltet (zum Beispiel der Skizze keine über ihre als solche hinausgehende Bedeutung zuzuschreiben).

Vielleicht habe ich mich nicht klar genug ausgedrückt, aber ich wollte auch nicht allzu ausufernd werden (und will das immer noch nicht). Jedenfalls scheinst Du mich in wesentlichen Punkten mißverstanden zu haben, was aber nicht weiter schlimm ist.

Integralrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Han
Paraboloid  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
fru
J

Hallo Han!

Um möglichen Mißverständnissen vorzubeugen (deren Wahrscheinlichkeit mir nicht zuletzt durch diese...

2014-11-26 13:16 - Han im Themenstart schreibt:
Ich komme nicht auf die Gleichung der Parabel.

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... Äußerungen von Dir relativ groß erscheint), betone ich:

Es gibt hier gar nicht "die" Gleichung der Parabel!

(Abgesehen davon handelt es sich bei Deinem Term um gar keine Gleichung, aber das ist eine ganz andere Geschichte ...)

2014-11-26 23:42 - viertel in Beitrag No. 3 schreibt:
fed-Code einblenden

Auch das scheint mir in die falsche Richtung zu gehen, weil es suggeriert, daß diese Form der Parabelgleichung (einschließlich der Zusatzbedingungen b=c=0) aus der Aufgabenstellung irgendwie "ableitbar" wäre.

Dem ist aber nicht so (die beigefügte Skizze dient nur zur Unterstützung der Anschauung und könnte auch ersatzlos gestrichen werden, ohne daß sich die Aufgabenstellung inhaltlich änderte). Die Aufgabe verlangt vielmehr vom Schüler, die Situation eigenständig zu modellieren, was insbesondere das Aufstellen einer geeigneten Parabelgleichung erfordert. Dies ist aber auf vielfache Art und Weise möglich und bedarf jedenfalls in einem ersten Schritt der Festlegung eines Koordinatensystems (bzgl. dessen sich die Parabel und deren Rotation dann bequem beschreiben lassen).

Die beigefügte Skizze soll den Schüler offenbar dabei unterstützen (ihn von Irrwegen abhalten), beraubt ihn dadurch aber der Möglichkeit, diese erste Teilaufgabe der Fixierung eines günstigen Koordinatensystems unbeeinflußt zu lösen. Damit wird nicht nur das Erreichen eines der wesentlichsten Lernziele behindert, sondern sogar dessen Verschleierung Vorschub geleistet (was sich ja in diesem Thread exemplarisch auch zeigt).

Der Schüler selbst soll also ein bequem handzuhabendes Koordinatensystem fixieren, zum Beispiel, indem er die Symmetrieachse der Regentonne als y-Achse und dann auf ihr den Scheitelpunkt des hypothetischen Paraboloids, aus dem die Tonne ausgeschnitten gedacht werden soll, als Nullpunkt wählt. Danach bleibt noch die Orientierung der y-Achse festzulegen (und sich klar zu machen, daß man aus Symmetriegründen von der x-Achse nur zu fordern braucht, daß sie normal auf die y-Achse durch deren Nullpunkt verläuft). Wenn er das schafft, dann wird ihm die nachfolgende Rechnung leicht fallen. Aber auch andernfalls ließe sich die Aufgabe lösen, grundsätzlich könnte man die Lage der Tonne relativ zu einem Koordinatensystem ja beliebig verändern (so würde beispielsweise der andere Ansatz y=42-ax2 die Rechnungen gar nicht wesentlich erschweren).

Jetzt habe ich doch viel mehr dazu geschrieben als zunächst beabsichtigt. Aber es war mir ein Anliegen, darauf hinzuweisen, daß es hier keine "gottgegebene" Parabelgleichung gibt, die es dann primär aufzufinden gelte, sondern daß dem das eigenständige Festlegen eines Koordinatensystems zeitlich vorausgehen muß (und daß diesem Schritt auch logisch und didaktisch der Primat im Akt der Modellierung zukommt). Und wenn das ein wenig zum Nachdenken anregt, so sind diese Zeilen auch nicht umsonst geschrieben worden.

Liebe Grüße, Franz

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kurzefrage9
Konvergenz einer Reihe  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-26
fru
 

2014-11-26 00:51 - kurzefrage9 in Beitrag No. 14 schreibt:
[...] eine etwaige Doppelreihe, in welcher wir zunächst die hier betrachten Teilsummen bilden, dann aber noch über n summieren [...]

Davon hast Du bis jetzt aber nichts gesagt.

Wie schon aus der verwendeten Partialbruchzerlegung hervorgeht, gilt das im Beitrag Nr. 17 Gesagte nur für positives n. Das wäre für diese neue Aufgabe natürlich zu berücksichtigen.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kurzefrage9
Konvergenz einer Reihe  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-26
fru
 

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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kurzefrage9
Konvergenz einer Reihe  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-26
fru
 

Hallo kurzefrage9!

2014-11-26 00:04 - kurzefrage9 in Beitrag No. 12 schreibt:
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Weil die beiden unendlichen Summen nicht existieren, mußt Du so ansetzen:

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Danach löst sich alles in Wohlgefallen auf.

Liebe Grüße, Franz

Terme und (Un-) Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: pouvl
In gemischt-quadratischer Gleichung den ausgeklammerten Faktor vor dem Binom finden  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-25
fru
J

2014-11-25 23:28 - pouvl in Beitrag No. 7 schreibt:
fed-Code einblenden

2014-11-25 20:57 - fru in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden

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2014-11-25 23:28 - pouvl in Beitrag No. 7 schreibt:
fed-Code einblenden

Du kannst jeden Deiner Beiträge ausbessern, indem auf "Ändern" unterhalb des Beitrages klickst. Danach kannst Du beliebig editieren und den korrigierten Beitrag wieder abschicken.

2014-11-25 20:57 - fru in Beitrag No. 6 schreibt:
[...] die vollständige Aufgabenstellung im Originalwortlaut und hol das zur Sicherheit auch hier noch nach!


Wie siehts eigentlich damit aus?
Dein derzeitiger Betreff

"In gemischt-quadratischer Gleichung den Faktor vor dem x^2 finden"

hat ja auch nicht viel mit der zur Zeit vermuteten wahren Aufgabenstellung zu tun, weil weit und breit gar keine Gleichung zu sehen ist. Es besteht also durchaus noch Aufklärungsbedarf.

Terme und (Un-) Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: pouvl
In gemischt-quadratischer Gleichung den ausgeklammerten Faktor vor dem Binom finden  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-25
fru
J

Hallo pouvl!

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Liebe Grüße, Franz

PS:

2014-11-24 20:38 - pouvl im Themenstart schreibt:
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Das war also falsch frown , richtig wäre stattdessen zum Beispiel

Folgender Term soll zu einem vollständigen Quadrat werden:
nx2 + 60x+ 25


gewesen. Poste daher bitte in Zukunft immer die vollständige Aufgabenstellung im Originalwortlaut und hol das zur Sicherheit auch hier noch nach!


Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.27 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 14:00 - bunnylovers in Beitrag No. 25 schreibt:
sehe gerade ein M hat noch gefehlt

Okay, nimm Dir also bitte nächstes Mal eine Minute mehr Zeit für das Abschreiben von zwei Zeilen! Damit war die ganze Aufgabe nämlich bis zur Sinnfreiheit verstümmelt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.25 begonnen.]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.24 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 13:53 - bunnylovers in Beitrag No. 22 schreibt:
es sei m eine menge und es seien R1 und R2 binäre äquivalenzrelationen.

Ist R1 union R2 eine äquivalenzrelation?

vom blatt exakt abgeschrieben

Für eine der beiden Versionen gilt das dann aber offenbar nicht, weil sie sich ja an mindestens fünf Stellen voneinander unterscheiden...

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.23 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 13:45 - bunnylovers in Beitrag No. 20 schreibt:
da gibt es nichts zu korrigieren.

Du behauptest also tatsächlich, daß die Aufgabenstellung im Original genauso wie hier...

2014-11-24 13:30 - bunnylovers in Beitrag No. 15 schreibt:
es sei m eine menge und es seien r1 und r2 binäre äquivalenzrelationen

ist R1 union R2 eine äquivalenzrelation.

... von Dir gepostet aussieht eek ?

Die abschließende Frage wird tatsächlich von einem Punkt statt eines Fragezeichens begrenzt?

Es wird tatsächlich nicht zwischen r1 und R1 unterschieden?

Ebensowenig zwischen r2 und R2?

1 und 2 sind tatsächlich keine Indizes?

Es wird tatsächlich durchgehende Kleinschreibung (sogar am Satzanfang) verwendet?

Die Menge wird tatsächlich mit m und nicht mit M bezeichnet?

Am Ende des ersten Satzes befindet sich tatsächlich kein Satzzeichen?

Dort steht auch tatsächlich nicht noch so etwas wie "auf M"?


Und so weiter und so fort ...

Ich würde zwar wetten, daß die allermeisten dieser Fragen nicht mit "Ja" zu beantworten wären, vielleicht sogar alle (bis auf eine?). Wenn Du aber (trotz meines deutlichen Hinweises auf die Mangelhaftigkeit deiner Darstellung) weiterhin das Gegenteil behauptest, dann kann ich Dir auch nicht weiterhelfen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 13:30 - bunnylovers in Beitrag No. 15 schreibt:
also die aufgabe war wie beschrieben:
es sei m eine menge und es seien r1 und r2 binäre äquivalenzrelationen

ist R1 union R2 eine äquivalenzrelation.

Du hast die ganze Aufgabe viel zu spät (und auch jetzt nur sehr schlampig, jedenfalls mit Sicherheit nicht originalgetreu!) gepostet. Korrigiere das bitte jetzt, indem Du endlich eine sorgfältige vollständige Kopie des Originals beibringst, der Du auch nichts aus Eigenem hinzufügst.

Dann sehen wir weiter, wie die Aufgabe zu lösen ist.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 13:18 - bunnylovers in Beitrag No. 10 schreibt:
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Das wären dann allerdings Äquivalenzrelationen auf verschiedenen Mengen, nämlich R1 auf {1} und R2 auf {2}.

2014-11-24 13:18 - bunnylovers in Beitrag No. 10 schreibt:
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Die Vereinigung ist dann auch eine Äquivalenzrelation (und zwar auf {1,2}). Sie ist daher auch transitiv, aber das haben wir ja in den letzten Beiträgen gerade ausführlich besprochen. In allen drei Fällen handelt es sich um die sogenannte "Diagonale", der Menge aller Paare (a,a) mit a aus der der Relation zugrundeliegenden Menge. Die Diagonale jeder Menge M ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, also stets eine Äqivalenzrelation auf M, sie ist auch Teilemenge jeder Äquivalenzrelation auf M.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

2014-11-24 13:06 - bunnylovers in Beitrag No. 6 schreibt:
wenn ich (1,1) (2,2) habe dann sehe ich einfach nicht die transitivität wie zum beispiel bei den einfachen fällen mit a b c  confused


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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Transitivität  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
J

Herzlich Willkommen, bunnylovers, auf dem Matheplaneten!

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Liebe Grüße, Franz


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von fru]

Diophantische Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: Shepard
Warum kann man 16 - x² mit (2x - 4)² gleichsetzen?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
 

Hallo Shepard!

2014-11-24 11:27 - Shepard im Themenstart schreibt:
Ich begreife jedoch nicht, warum man das so behaupten kann [...]

Es handelt sich auch nicht um eine Behauptung, sondern um eine Annahme. Diese wird erst nachträglich gerechtfertigt durch das Ergebnis, daß die aus ihr sich ergebende Gleichung für x eine rationale Lösung hat (was insbesondere durch die Tatsache hervorgerufen wird, daß sich diese quadratische Gleichung auf eine lineare Gleichung reduzieren läßt).

Wäre das nicht der Fall, so müßte man die fragliche Annahme natürlich verwerfen und nach einer anderen Lösungsidee Ausschau halten.

Ich führe Dir den Beweis noch einmal mit etwas anderen begleitenden Worten vor, sodaß seine Struktur Dir danach hoffentlich klar sein wird. Dabei präzisiere ich die zu beweisende Aussage durch den Zusatz "positive", damit die sicherlich unbeabsichtigte triviale Lösung n2=n2+02 ausgeschlossen wird:

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Liebe Grüße, Franz


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Diophantische Gleichungen' von fru]

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nighel123
Verallgemeinerung des Lemmas von Euklid  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-24
fru
 

Hallo Nickel!

Aus Deinen Antworten geht für mich nicht zweifelsfrei hervor, ob Du auch wirklich verstanden hast, was HellsKitchen meint. Daher bringe ich es zur Sicherheit noch einmal auf den Punkt:

2014-11-23 15:39 - Nighel123 im Themenstart schreibt:
Teilt eine natürliche Zahl n die Zahl ab wobei a und b natürliche Zahlen sind, so teilt sie auch entweder a oder b.

Ich versuche das zu zeigen [...]

Das kann man nicht zeigen, weil es falsch ist.

Dies wiederum zeigt man durch Angabe eines Gegenbeispieles, etwa so:
n=6 teilt weder a=4 noch b=3, aber das Produkt ab=12.

Liebe Grüße, Franz



[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Teilbarkeit' von fru]

Schulphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ctr
Schräger Wurf: v_0 berechnen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-23
fru
J

2014-11-23 21:41 - ctr in Beitrag No. 5 schreibt:
ich werde morgen das ergebniss ins forum stellen wäre cool wenn du dir das ganze dann vielleicht nochmal anschauen könntest, da ich das ganze noch in matlab übertragen muss

Dafür confused bin ich nicht zuständig.

Du kannst natürlich hoffen, daß sich bis morgen in diesem Thread zufällig jemand findet, der sich mit den von Dir genannten elektronischen Hilfsmitteln auskennt. Aber ich würde Dir eher empfehlen, dafür einen eigenen Thread dazu im Unterforum Matlab anzulegen, sobald Du das rein Physikalisch-Mathematische sauber für die dortigen Helfer bereitstellen kannst (ein Link auf diesen Thread hier wäre dann sicherlich von Vorteil).

Schulphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ctr
Schräger Wurf: v_0 berechnen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-23
fru
J

Ja, so ist es!
 

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