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Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: OliverFuchs
Ring, in dem irreduzible und prime Elemente nicht identisch sind  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-19
juergenX
 

Ich weise nochmal auf  
Linkdas <4k+1> monoid abschliessend

Hin wo wir das Monoid <4k+1>, also alle $\{1,5,9,13,...25,... \}$ aeehr auführlich untersuchten auf primelement und irreduzible

Man nimmt die euklidsche Definition von prim
1) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl genau dann wenn aus p|ab
immer (p|a)∨(p|b) folgt.
5 ist in K und in N prim und irreuzibel, mache das wirklich klat Zettel Papier hilft.

2) Definition:
In einem Ring $R$ heißt ein Element $q$ irreduzibel, wenn aus
$q=ab$ folgt $a$ oder $b$ ist eine Einheit.

In jedem Integritätsring gilt prim ⟹ irreduzibel, in faktoriellen Ringen gilt auch die Umkehrung.
K ist so meine ich ein Integritätsring, aus prim folgt zwingend irreuzibel.
(Der Beweis ist alles andere als trivial, aber es macht Spass damit zu rechnen)
Imgekehrt aus Irredizibilitaet von p nicht dessen primitivitaet. Das isr schon etwas her, der gute weird hat viel dazu gesagt. :) Wie gehts nebenbei?😃

ich weiss eben kein gutes gegebeispiel

untersuche die beiden Defs fuer 5,9,13,25 aus N bzw K.

Z ist Integritätsring und faktorieller Ring so das auch die Regel p hat nur 2 Teiler aureicht. Nicht im Gaussring,

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: OliverFuchs
Ring, in dem irreduzible und prime Elemente nicht identisch sind  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-18
juergenX
 


Wir hatten mal das Monid K= 4k+1 untersucht In dem prim und irreduzibel sehr verschiedene Eugenschaften sind.

Linkdas <4k+1> monoid abschliessend

Die Menge der Primelemente von K ist eine echte Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente von K, nicht alle irreduziblen in K sind Prim was aber in N gilt.
wenn ich mich recht erinnere..
Letzteres in N zu zeigen ist eine gute Übung.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Algorithmus
Einheiten und Ringhomomorphismus  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-14
juergenX
 

2021-02-14 17:41 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
@Algorithmus: Zur Info: Der Beweis von juergenX ist (wie üblich) falsch. Der Schluss "keine Einheit $\Rightarrow$ reduzibel" ist unzulässig.

Irreduzibilität von q:

In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass q von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus q = ab  folgt, dass a oder b eine Einheit ist.

oder: für q gilt: Ist q keine Einheit und $q \ne 0$ und sind a und b keine Einheit so ist $q=ab$ reduzibel.
Btw: Deinen Artikel LinkKonzepte der Ringtheorie fand ich echt gut, auch den über endliche Körper!



Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Algorithmus
Einheiten und Ringhomomorphismus  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-14
juergenX
 

2021-02-09 11:00 - Algorithmus im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

als Versuch:
Evtl Beweis durch widerspruch
wenn $\phi(1)$ keine Einheit in R´ ist, dann ist $\phi(1)$ ein reduzibles Element in R´, also ein Element in R´,das sich als Produkt zweier Nichteinheiten in R´ schreiben lässt.

$\phi(1)=r´*s´\in R´$ wobei $r´,s´$ keine Einkeiten in R´sind.
$\phi(1)$ irreduzibel in R´.
$\phi(1)=\phi(r*s)=\phi(r)*\phi(s)=r´*s´$.

Umgekehrt existiert wg. einer Bijektion $\phi´:R´\mapsto R, \phi´(r´*´s) = \phi´(r´)*\phi´(s´)$, was nicht 1 in R sein kann, ausser wenn $r´,s´$ Einheiten in R´ sind.

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Einsetzungshomomorphismus  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-14
juergenX
 

2021-02-01 21:01 - juergenX in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich bin da unsicher hoffe aber trotzdem, dass jemand was dazusagen kann?
Und die Frage nach dem Kern und das  Aufschreiben des Homomorphisatzes ist verstaendlich..
Welcher Ringisomorphismus resultiert aus Q[X_0,X_1,X_2,X_3]/ker($\chi$)?


ich hake hier nochmal nach, auch auf das risiko, dass jemand abfällig wird das muss ich dann hinnehmen weiß aber woran ich bin ;)
auch wenn es euch etwas arbeit macht, danke im vorraus.
J


Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: uncreativeName
Eingrenzung der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-04
juergenX
J

2021-02-02 23:37 - uncreativeName im Themenstart schreibt:
Hey, ich habe folgendes Problem:

Ein Polynom der Form
 
fed-Code einblenden

hat (mit Vielfachheiten gezählt) höchstens 4 Nullstellen, deren Betrag echt kleiner als 8.

mfg

wenn es ganzzahlige Lösungen <8 gibt, so müssen sie 8 teilen.
Da bleiben $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ also 6 Möglichkeiten, mein ich.

 

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Einsetzungshomomorphismus  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
juergenX
 

2021-01-31 21:35 - juergenX im Themenstart schreibt:
Beispiel:

Der Einsetzungshomomorphismus $\chi_b$ ist definiert als alle $\displaystyle f_b(x)\in Q[X] \Rightarrow q =0\in \IQ, b= (x_0,x_1,x_2,x_3)$.


Sorry die Notation war falsch.

Die Nullstellen von $f(x)=x^4+1$ sind:
$\displaystyle x_0=1, x_1=-1, x_2=i, x_3=-i$
ich hoffe richtig(er) ist:
Der Einsetzungshomomorphismus $\chi_b$ ist definiert als alle $\displaystyle f_b(x)\in Q[X_0,X_1,X_2,X_3] \Rightarrow q =0\in \IQ, b= (x_0,x_1,x_2,x_3)$.

Ich bin da unsicher hoffe aber trotzdem, dass jemand was dazusagen kann?
Und die Frage nach dem Kern und das  Aufschreiben des Homomorphisatzes ist verstaendlich..
Welcher Ringisomorphismus resultiert aus Q[X_0,X_1,X_2,X_3]/ker($\chi$)?

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Einsetzungshomomorphismus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-31
juergenX
 

Beispiel:
$\displaystyle f(x) \in Q[x]=x^4+1=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)$.
Nullstellen von f(x) sind:
$\displaystyle x_0=1, x_1=-1, x_2=i, x_3=-i$

Der Einsetzungshomomorphismus $\chi_b$ ist definiert als alle $\displaystyle f_b(x)\in Q[X] \Rightarrow q =0\in \IQ, b= (x_0,x_1,x_2,x_3)$.

Es gibt unendlich viele Polynome deren Nullstellen mindestens diese 4 sind.

Es ist z.B.
$\displaystyle x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$.
und  
$x_{\varphi(0)}^2
+
x_{\varphi(1)}^2
+
x_{\varphi(2)}^2
+
x_{\varphi3)}^2$

wenn $\varphi \in Gal(f(x))$.

Die Abbildung aller der so durch die Vertauschungen der Indizes $\varphi$ enstandenen sind im Kern von $\chi$, aber dieser ist noch größer, da es viele
$\displaystyle g_b(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-\alpha_1)...\cdot (x-\alpha_n)$ gibt.
Jetzt meine Frage:
Ist der $\displaystyle Kern(\chi) = f_b(x)$ ein (Maximal)-Ideal namens $\displaystyle(I) \in Q[x]$?
Da ja das Bild aller anderen Polynome $\displaystyle Q[X0,X1,X2,X3]\ne 0$?
Und was ist dann  $\displaystyle Q[X]/Ker(\chi)$?







Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Kern einer Körpererweiterung  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-31
juergenX
J

2021-01-26 19:36 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
...
ist das reine lineare Algebra; es gilt ja $K \cong \IQ  \cdot 1 \oplus \IQ \cdot \alpha$ als Vektorräume und daher $K/\IQ \cong \IQ \cdot \alpha $ als Vektorräume.
OK das leuchtet ein

Nicht klar ist


Der Kern kann kein Element sein.
Gilt das generell? f ist ein Gruppen aber kein Ringhomomorpismus, da f(a*b) nicht immer f(a)*f(b) ist.
$Z\mapsto Z: \forall r \in Z: f(r) =-r$ bildet nur  ein Element auf 0 ab nämlich 0.
PS Irrtum: f ist ja aich kein Gruppenhomomorpismus, f(a+b) nicht immer f(a)+f(b).
ich suchte bloß ein einfaches Beuspiel zum Homomorpiesatz für Ringe..

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Kern einer Körpererweiterung  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-28
juergenX
J

Ich habe eben ein Problem mit dem Konzept von "/" oder "über" oder "nach".

Offenbar ist $Z/7Z \cong Z_7$.
Man "dividiert" wohl aus ganz Z alle durch 7 teilbaren Zahlen raus, und es verbleibt der endliche Körper $Z_7=\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
wenn n nicht prim ist, gilt auch $Z/nZ \cong Z_n$, wobei aber $Z_n$ ein Ring ist aber viel mehr nicht.
$Z_n$ ist dann nicht unbedingt nullteilerfrei jedenfalls kein Integritätsbereich oder Körper.

Auch weiß ich dass in einer anderen Kategorie $S_3/A_3 \cong C_2$ ist. Es hat also was von Division?!

Auch besteht der Kern von Polynomringen wie $Q[X]$ aus bez. des Einsetzungshomomorphismus $E(x_i): Q[X]\mapsto\IQ$ $\sigma$-invarianten Polynomen aus $g(x)\in Q[X]$, die auf $0\in\IQ$ abgebildet werden.
Das ist aus einem älteren Post von oder mit mir oder einigen anderen, ich  finde ihn grad nicht, da der von einem der vielen "Ehemaligen_Mitglied"ern war ;)

Alle $\sigma$ formen die Galoisgruppe dieser gewissen Polynome $g(x)$.
Weiß jemand noch wie der Thread hieß?

Aber mir ging es hier erstmal nur um mein Verständnis dieser "Division":
Welche "Division" $\IQ/Ker(f)$ macht aus einem Ringhomomorphismus $f$ einen  Ringisomorphismus von einer Struktur in eine andere?
An eine einfachen Beispiel?



Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Kern einer Körpererweiterung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
juergenX
J

2021-01-26 22:55 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Der Kern kann kein Element sein. Du meinst etwas anderes.

Du hast doch selbst das Wort "Homomorphiesatz" gebracht. Damit kannst du dir deine Frage beantworten.

Ist dir klar, dass $\sigma$ kein Ringhomomorphismus ist und deine Frage nichts mit Ringen oder Körpern zu tun hat? Das ist reine lineare Algebra 1 mit der linearen Abbildung $\sigma : \IQ \times \IQ \to \IQ \times \IQ$, $\sigma(a,b) := (a,0)$.

Niemand braucht Pfeile bei Variablen.

Wir sagen statt $\displaystyle \IQ \times \IQ = {\IQ}^{2}=S$. Ist das legitim?

Wir betrachten die lineare Abbildung $\displaystyle f\colon \mathbb {Q}^{2}\to \mathbb {Q}^{2}$, die durch
$\displaystyle f(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ 0\end{pmatrix}$ definiert ist.
Die Abbildung f bildet genau die Vektoren der Form
$\displaystyle x=\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix},\lambda \in \mathbb {Q}$ auf den Nullvektor ab und andere nicht.
Der Kern von f ist also die Menge $\operatorname{Kern}f=\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda\in \mathbb{Q}$.

Nach dem Homomorphiesatz ist
$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ / $\begin{pmatrix}0\\\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_{1}\\ 0\end{pmatrix} =image(f)$.

Ich habe ein Problem mit dem "/" oder "über" oder "nach".



Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Kern einer Körpererweiterung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
juergenX
J

Ich wollte auf ein Beispiel fuer den Homomorphiesatz hinaus und suchte ein Beispiel, den an einer Anwendung zu verstehen.
Das Beispiel tau ist nicht so gut gewaehlt weil tau sowieso ein Gruppen, Ring und vektorraum Isomorphismus ist..

Man nehme stattdessen $\sigma$ :
$\sigma \vec(a,b) \mapsto \vec(a,0)$ hat den Kern $\vec(0,b)$, oder?
Sry ich komm mit den Pfeilen ueber a,b in latex nicht zurecht...
$\sigma$ ist nicht injektiv also ist der $ker(\sigma)$ nicht trivial.
Was ist hier $K/ker(\sigma)$?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Kern einer Körpererweiterung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
juergenX
J

Sei $K= Q(\alpha)\supset Q$ eine quadratische Körpererweiterung mit $\alpha=\sqrt{\beta}$ mit $\beta$ quadratfrei.
Sei $r,s \in Q,\tau: x \in K = r+s\alpha \mapsto y\in K = r-s\alpha$ die komplexe Konjugation.
Der $ker(\tau)$ ist Q. Und $\tau$ ein Q-Automorphismus.

was ist aber $K/ker(\tau) = K/Q$?
Anm.:
Ich wollte auf den Homomorphiesatz hinaus das beispiel ist nicht so gut gewaehlt weil tau sowieso ein Isomorphismus ist..

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Entenliebhaber221
Zerfällungskörper über F_3  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-25
juergenX
 

Danke wieder was gelernst, ich hasse dich nicht😎
Was ist aber
 
$\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ in F_5 ?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Entenliebhaber221
Zerfällungskörper über F_3  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-25
juergenX
 

Dann fehlt die def von i in einem Koerper der char 3.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Entenliebhaber221
Zerfällungskörper über F_3  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-25
juergenX
 

2021-01-25 17:23 - Entenliebhaber221 in Beitrag No. 4 schreibt:
Lieber Triceratops,

vielen Dank für den Artikel, dieser hat mir sehr weitergeholfen.

Insofern war meine erste Annahme, dass der Zerfällungskörper F_3 (Sqrt(-1-i),sqrt(-1+i)) doch richtig, oder?

LG Entenliebhaber221

Ich meine nicht, da $\sqrt{-1-i},\sqrt{-1+i}$ die kenntnis von i, also komplexe Zahlen $\in \mathbb C$ vorraussetzen.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Q(a) isomorph Q[a]  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
juergenX
 

2021-01-18 19:07 - juergenX im Themenstart schreibt:


Nun zur Multiplikation:
$a*b \in K =(3+2\sqrt2) * (1-3\sqrt2)= -9 -\sqrt2$.


Vereinfacht: wie ist Multiplikation $\displaystyle \overrightarrow{a\cdot b} \in L$? (a,b hier Vektoren):
$a*b=\begin{pmatrix} 3 \\  2 \end{pmatrix}*
\begin{pmatrix} 1 \\ -3  \end{pmatrix}$ definiert?

Auf der einen Seite sind Matrix bzw. Vektoroperationen in Q-Vektorräumen zur Basis $(1,\sqrt2)$ NICHT abelsch, aber wohl in Körpererweiterungen  $\displaystyle K(\sqrt2)\supset Q$.

Ist also für 2 Vektoren $\vec(a),\vec(b)$:
Gilt $\displaystyle a*b = b*a=\det{ab}=-\det{ba}$ über die Determinante ? Nicht eindeutig.

Und wie ist das Inverse von $\begin{pmatrix} 3  \\ 2 \end{pmatrix}$?
es gibt wenn überhaupt verschiedene Links und Rechtsinverse

$\begin{pmatrix} 3  \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix}$

Oder
$\begin{pmatrix} x´  \\ y´ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3  \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix}$

Wenn man $\begin{pmatrix} 1  \\ 0 \end{pmatrix}$ als Einselement zulaesst.

Wie ist dann der Quotient
$\displaystyle L \supset Q = \begin{pmatrix} 3  \\ 2 \end{pmatrix}$ div $\begin{pmatrix}  1 \\ -3\end{pmatrix}$ besimmt?

Oder nimmt man das Kreuzprodukt? was aber für Vektoren $ab \ne ba$ liefert.
Wir brauchen hier für einen echten Körperhomomorphismus $\displaystyle  \mathbb K \cong \mathbb L$ eine sinnvolle Multiplikation von Vektoren.


Terme und (Un-) Gleichungen
  
Thema eröffnet von: aamees
kubische Gleichungen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19
juergenX
 

2021-01-18 22:49 - juergenX in Beitrag No. 5 schreibt:
2021-01-18 19:18 - juergenX in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-01-17 20:07 - aamees im Themenstart schreibt:
Aufgabe 1: kubische Gleichung lösen

x^3+6x^2+9x-2=0


$x^3+6x^2+9x-2=0$ sieht gleich besser aus :)
allgemein
$x^3+ax^2+bx+c=0$
man transformiert zu nächst mittels  $\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}$.
Bekommt $\displaystyle z^3+pz+q=0$.

Dann geht man und frau weiter vor wie in de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln


 
Für $\displaystyle z^3+pz+q=0$ bekomme ich
$z^3-3z-4=0$
$p=-3$
$q=-4$

Diskriminante $D=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3=4-1=3$

Also stimmt es gibt 1 reelle Lösung und 2 komplexe fuer z und x.
Verstehe auch nicht warum Leute so was einstellen und nicht mehr kucken auch irgendwie verarsche.








Terme und (Un-) Gleichungen
  
Thema eröffnet von: aamees
kubische Gleichungen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-18
juergenX
 

2021-01-18 19:18 - juergenX in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-01-17 20:07 - aamees im Themenstart schreibt:
Aufgabe 1: kubische Gleichung lösen

x^3+6x^2+9x-2=0


$x^3+6x^2+9x-2=0$ sieht gleich besser aus :)
allgemein
$x^3+ax^2+bx+c=0$
man transformiert zu nächst mittels  $\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}$.
Bekommt $\displaystyle z^3+pz+q=0$.

Dann geht man und frau weiter vor wie in de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln


Ja
aus $\displaystyle z^3+pz+q=0$ bekomme ich
$z^3-3z-4=0$
$p=-3$
$q=-4$

Determinante $D=-5$.
$uv=3$

also gibt es 3 reelle Lösungen fuer z und x.







Terme und (Un-) Gleichungen
  
Thema eröffnet von: aamees
kubische Gleichungen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-18
juergenX
 

2021-01-17 20:07 - aamees im Themenstart schreibt:
Aufgabe 1: kubische Gleichung lösen

x^3+6x^2+9x-2=0



$x^3+6x^2+9x-2=0$ sieht gleich besser aus :)
allgemein
$x^3+ax^2+bx+c=0$
man transformiert zu nächst mittels  $\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}$.
Bekommt $\displaystyle z^3+pz+q=0$.

Dann geht man und frau weiter vor wie in de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
 

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