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Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Wie viele Untermodule einer Isomorphieklasse  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-29 23:02
kokosnusskopf
 

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)2021-07-29 21:06 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: Sei $U \subseteq M$ ein einfacher Modul. Dann ist $U = (S \oplus T) \cap U = \dots$.
\(\endgroup\)
Kannst du mir noch verraten was hinter dem letzten Gleichheitszeichen stehen würde? Ich bin mir nicht mehr so sicher, ob das wirklich gleich (S geschnitten U) + (T geschnitten U) ist. Das kommt daher, dass das doch schon bei K-Moduln nicht gelten muss:
S = span(1,0) und T = span(0,1) sind einfache R-Moduln, aber setzt man U = span(1,1), so ist (S geschnitten U) + (T geschnitten U) = 0...

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Wie viele Untermodule einer Isomorphieklasse  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-29 22:04
kokosnusskopf
 

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)2021-07-29 21:06 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: Sei $U \subseteq M$ ein einfacher Modul. Dann ist $U = (S \oplus T) \cap U = \dots$.
\(\endgroup\)
danke für den Tipp! Mir ist jetzt klar wie man die Aufgabe löst, nur verstehe ich noch nicht zu 100 Prozent, warum (S + T) geschnitten U in (S geschnitten U) + (T geschnitten U) enthalten sein muss...

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Wie viele Untermodule einer Isomorphieklasse  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-29 20:46
kokosnusskopf
 

Auf die folgende Frage finde ich keine Antwort:



Könnt ihr mir bitte helfen?

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Perfekte Gruppe nach C*  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-13 02:18
kokosnusskopf
 

Sei G eine endliche perfekte Gruppe. Dann ist der einzige Gruppenhomomorphismus von G in die Einheitengruppe von C der triviale Homomorphismus (anscheinend). Ich verstehe aber nicht warum. Kann jemand weiterhelfen?

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Darstellung einer direkten Summe zweier Moduln  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-11 22:57
kokosnusskopf
 

P_1 und P_2 seien Darstellungen einer endlichen Gruppe G und M_1 und M_2 seien die zugehörigen Moduln. Warum muss die zum Modul M_1 + M_2 (direkte Summe) gehörige Darstellung die Form \(g \mapsto ((P_1(g), 0), (0, P_2(g)))\) haben? Das Tupel sei als Matrix zu verstehen

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Modulisomorphie 2  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-02
kokosnusskopf
 

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)2021-07-02 11:56 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

zeige, dass
<math>
% https://tikzcd.yichuanshen.de/#N4Igdg9gJgpgziAXAbVABwnAlgFyxMJZABgBpiBdUkANwEMAbAVxiRGJAF9T1Nd9CKAIzkqtRizYBZAPpCAOvIDGdNAAJZAJi48QGbHgJFNo6vWatEILTt4GBRAMynxFtmgAUWgJS29fQ0FkABYXc0krDk4xGCgAc3giUAAzACcIAFskMhAcCCQREAY6ACMYBgAFAIcrBhhknD80zILqPKQTVwiQLDAlBib0rMRO9sRnItLyqvsjWvrGswlLPQAfGWAtTkGW8bb8xGDoziA
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & M_1\cap M_2 \arrow[r, "incl"] & M_2 \arrow[r, "p|_{M_2}"] & p(M_2) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
</math>
eine spaltende exakte Sequenz ist.
\(\endgroup\)
Ich weiss garnicht, was es heißt, dass diese Sequenz eine spaltende Sequenz ist und inwiefern mir das helfen soll. Kannst du mit deiner Idee ein bisschen ins Detail gehen?

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Modulisomorphie 2  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-02
kokosnusskopf
 

Wir haben ein Modul M sowie zwei Untermodule \(M_1\) und \(M_2\). Es gelte \(M = M_1 \oplus N_1\) für ein weiteres Untermodul \(N_1\) und p sei die Projektion auf \(N_1\), d.h. \(\text{im}(p) = N_1\) und \(\text{Ker}(p) = M_1\). Ausserdem gibt es einen Modulhomomorphismus \(\alpha: p(M_2) \to M_2\), sodass \(p \circ \alpha\) die Identität ist auf \(p(M_2)\).

Warum gilt nun \(M_2 \cong (M_1 \cap M_2) \oplus p(M_2)\)?

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Modulisomorphie  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-02
kokosnusskopf
 

boah ich glaub das ist nicht mal isomorph kann das sein? \(\mathbb{Z}\) ist ja nicht mal als Gruppe isomorph zu \(5\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\).

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Modulisomorphie  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-07-02
kokosnusskopf
 

Für ein Modul A mit einem Teilmodul B ist doch bestimmt \(A/B \times B \cong A\). Kann mir jemand einen formalen Beweis liefern, also mit Abbildung und so?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Jedes Ideal ist unzerlegbar  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-20
kokosnusskopf
 

Wie sieht es für echte Ideale ungleich 0 aus?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Jedes Ideal ist unzerlegbar  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-19
kokosnusskopf
 

Warum ist ein Ideal eines Rings ein unzerlegbares Modul?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Gram-Schmidt Orthonormalisierung stetig?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-08
kokosnusskopf
 

danke für die Antwort. Kannst du mir beispielhaft für einen Schritt aus dem  Algorithmus beweisen, dass er stetig ist? Das wäre für mein Verständnis ziemlich hilfreich.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Gram-Schmidt Orthonormalisierung stetig?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-08
kokosnusskopf
 

Wenn ich die Funktion \(o: GL(n) \to SO(n)\) betrachte, die einer invertierbaren Matrix die orthogonale Matrix zuweist, die entsteht, wenn man die Spalten nach dem Gram-Schmidt-Verfahren orthonormalisiert, ist diese Funktion dann stetig? Stetig hier im Sinne der Topologie und zwar genauer im Sinne der Standradtopologie auf \(\mathbb{R}^{n^2}\).

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Nicht Borel x Borel integrierbar ohne Fubini  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-02
kokosnusskopf
 

Habe den post aktualisiert. Der Rest der Aufgabe war kein Problem, ich muss nur noch zeigen, dass f nicht \(\lambda \times \lambda\)-integrierbar ist.

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Nicht Borel x Borel integrierbar ohne Fubini  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-02
kokosnusskopf
 

Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe. Man soll zeigen, dass die Funktion



nicht \(\lambda \times \lambda\)-integrierbar ist und das, ohne den Satz von Fubini anzuwenden. lambda sei das Borelmaß auf dem Intervall von 0 bis 1

Hier die ganze Aufgabenstellung:



Hatte nicht bedacht, dass ihr g nicht kennt.

Logik, Mengen & Beweistechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Warum ist das ein Beweis?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-06
kokosnusskopf
 

Folgende Folien stammen aus einer Vorlesung zur Algorithmischen Gruppentheorie. Die zweite Folie soll die Bemerkungen auf der ersten beweisen. Wo ist das aber ein Beweis für die Injektivität von f? Das verstehe ich nicht...



Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Halbgruppenhomomorphismus kein Monoidhomomorphismus  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22
kokosnusskopf
 

Danke für die Antworten, auch wenn ich die von Triceratops nicht ganz verstanden habe. Idempotent heißt hier, es gilt \(e = e^2\), richtig?

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Halbgruppenhomomorphismus kein Monoidhomomorphismus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20
kokosnusskopf
 

Ich habe den Verdacht, dass ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen zwei Monoiden nicht immer auch ein Monoidhomomorphismus sein muss. Mir fällt jedoch kein Gegenbeispiel ein, kann mir jemand eins liefern?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Einheitengruppe vom speziellen Ring A_d  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
kokosnusskopf
 

2021-03-09 21:59 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
Du solltest benutzen, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn ihre (Körper-)Norm eine Einheit ist. Daraus ergibt sich eine Pell‘sche Gleichung, deren Lösungen genau die Einheiten sind.
Meinst du mit Körper-Norm den komplexen Absolutbetrag?

Ich habe gerade die Pellsche Gleichung gegooglet, meinst du mit Norm-Funktion vielleicht \(N: A_d \to ?: n+mw_d \mapsto n^2-(mw_d)^2\)? Im Fall \(4 \mid n-1\) ist N(a) für allgemeines \(a \in A_d\) doch dann keine natürliche Zahl mehr, oder irre ich mich?

Oder meinst du mit Körper-Norm hier die Normfunktion, die ein Körper besitzen muss, weil er ein Euklidischer Ring ist? Die ist doch im allgemeinen gar nicht eindeutig bestimmt oder?

Wie ist hier überhaupt zu verstehen, dass die Körpernorm eine Einheit sein soll bzw. in welchem Ring soll sie eine Einheit sein?


Lautet die Aufgabenstellung wirklich, dass du die gesamte Einheitengruppe bestimmen sollst? Die Aufgabe gehört eher in eine AlgZT Vorlesung als in eine Einführung zur Algebra (wie ich finde).

Ne, die für meine Frage verantwortliche Aufgabe war eigentlich nur, \({A_d}^\times\) für d = -2, -3, -5 zu bestimmen. Mich hat aber irgendwie der allgemeine Fall mehr interessiert..

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kokosnusskopf
Einheitengruppe vom speziellen Ring A_d  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
kokosnusskopf
 

um den dirichletschen einheitensatz zu verstehen, ist mein algebra wissen zu gering. kann man die frage nicht auch mit grundlegenden sätzen und methoden aus der algebra beantworten?
 

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