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Thema Eingetragen
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Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Delta-Funktion  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-10
kuckuck3
J

Ok, vielen Dank für eure Hilfe.

Grüße kuckuck3

Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Delta-Funktion  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-10
kuckuck3
J

Hört sich logisch an. Dann lasse ich die Fallunterscheidung einfach weg und schreibe

\( = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \)

Passt es so?

Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Delta-Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-10
kuckuck3
J

Hallo Spock,

danke für die Antwort.

Die Aufgabe lautete tatsächlich einfach:

Berechnen Sie
\( \int d^3 r (\vec{r} \cdot \vec{a}) \delta ^3 (\vec{r} - \vec{a}) \)


Ich habe nun als Ergebnis:
\( = \left\{
\begin{array}{ll}
a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 & \vec{a} = \vec{r} \\
0 & \, \textrm{sonst} \\
\end{array}
\right. \)

Stimmt das so?

Viele Grüße
kuckuck3

Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Delta-Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-09
kuckuck3
J

Guten Tag,

ich soll folgendes in Physik berechnen:

\( \int d^3 r (\vec{r} \cdot \vec{a}) \delta ^3 (\vec{r} - \vec{a}) \)

Wie fange ich da an?

Ich weiß, dass \( \delta (\vec{x}) = \delta(x_1) \delta(x_2) \delta(x_3)\).

Viele Grüße
kuckuck3

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Komplexe Zahlen  
Themenstart
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kuckuck3
 

Hallo, kann mir bitte wer erklären wieso folgende Gleichung gilt:

\( e^{2iR (cos(t)+i sin(t)} = e^{-2sin(t)} \)

Viele Grüße,

kuckuck3

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Kurvenintegral  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
kuckuck3
J

Hallo ochen,

das wurde tatsächlich vorausgesetzt. Habe ich leider überlesen.

So konnte ich es nun zeigen.

Dankeschön.

Viele Grüße
kuckuck3

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Kurvenintegral  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
kuckuck3
J

Naja ich hab bis jetzt nur:

\( \int_{\partial B_\rho(z_0)} z^{n-k-1} dz
= \int_0^{2\pi} (z_0 + \rho e^{it})^{n-k-1} \cdot i \rho e^{it} dt \)

und dann komme ich nicht mehr weiter.

Evtl. mit partieller Integration fortfahren oder gibt es davor noch einen weiteren "Trick"?

Viele Grüße
kuckuck3

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Cauchy-Integralformel berechnen  
Beitrag No.8 im Thread
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kuckuck3
 

Hallo Kuestenkind, du bist mein Retter. Hast mir ja in letzter Zeit schon bei vielen Fragen weitergeholfen.

Vielen Dank dafür.

Grüße und einen schönen Tag,
kuckuck3

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Kurvenintegral  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
kuckuck3
J

Guten Tag, ich hab in einem Beweis gerade folgende Zeile entdeckt:

\( \int_{\partial B_\rho(z_0)} z^{n-k-1} dz
= \left\{
\begin{array}{ll}
0 & n \neq k \\  
2 \pi i & n = k \\
\end{array}
\right. \)

Wieso ist das so? Durch klassisches Auflösen des Kurvenintegrals komme ich nicht drauf. Steckt hier eine einfache Überlegung dahinter?

Es steht auch dabei:
\( z^k \) hat eine Stammfunktion genau dann, wenn \( k \neq -1 \)

Viele Grüße
kuckuck3

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Cauchy-Integralformel berechnen  
Beitrag No.6 im Thread
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kuckuck3
 

Ok, das mit hebbar und analytisch verstehe ich.

Leider ist mir noch nicht ganz klar, gegen welche Voraussetzung das verstoßen würde. Wir haben die Cauchy Integralformel folgendermaßen aufgeschrieben:

Sei \( \Omega \) ein Gebiet in \( \mathbb{C} \), \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph, \( \gamma : [a,b] \rightarrow \Omega \) eine geschlossene Kurve homotop mit festen Endpunkten zu einer konstanten Kurve. Sei \( w \in \Omega \backslash spur(\gamma) \).
Dann gilt:
\( f(w) \cdot W(\gamma,w) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-w} dz \)

Ich vermute mal, dass es irgendwie gegen holomorph verstoßt.

Viele Grüße
kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Meromorph  
Beitrag No.5 im Thread
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kuckuck3
J

Ok vielen Dank. Somit ist auch diese Frage geklärt.

Viele Grüße
kuckuck3

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Cauchy-Integralformel berechnen  
Beitrag No.4 im Thread
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kuckuck3
 

Es ist eine Singularität und liegt innerhalb des Balls, genauso wie z=0 bei der 1. Art.

Grüße
kuckuck3

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Cauchy-Integralformel berechnen  
Beitrag No.2 im Thread
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kuckuck3
 

Hallo Kuestenkind,

f muss holomorph sein aber ich denke das ist sie in beiden Fällen.

Viele Grüße
kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Meromorph  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-08
kuckuck3
J

Hab nochmal drüber nachgedacht und jetzt verstehe ich das Problem, glaube ich zumindest. Der Nenner und Zähler würden ja gegen 0 gehen. Mit L´Hospital folgt dann, dass es sinnvoll ist die Funktion so zu definieren:
\( f(z)=\begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, &z\neq 0\\ 1,&z=0\end{cases} \)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Meromorph  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-08
kuckuck3
J

Ok danke. Aber noch eine blöde Frage zu deiner Funktion. Ich habe diese nämlich in letzter Zeit schon öfter gesehen und verstehe nicht ganz was da das "Besondere" ist. Sie ist ja nicht mal stetig oder?

Würde für mich "logischer" sein, wenn sie so aussieht:

\( f(z)=\begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, &z\neq 0\\ 0,&z=0\end{cases} \)

Was verstehe ich daran nicht?

Ps.: Vermutlich wolltest du in deinem zweiten. Fall z=0 schreiben oder?

Viele Grüße
kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Holomorphie nachweisen  
Beitrag No.6 im Thread
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kuckuck3
J

Wie funktioniert das?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Integral mit Cauchy-Integralformel berechnen  
Themenstart
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kuckuck3
 

Guten Tag, ich hab gerade folgendes Integral auf zwei verschiedene "Arten" berechnet und komme auf zwei verschiedene Ergebnisse.

\( \gamma_2(t) = 2e^{it}, t \in [0,2 \pi] \)

1. Art:
\( \int_{\gamma_2} \! \frac{sin(z)}{z(z-1)} \, dx = \int_{\gamma_2} \! \frac{\frac{sin(z)}{z}}{(z-1)} \, dx = \frac{2 \pi i}{0!} \frac{sin(z)}{z} |_{z=1} = 2 \pi i sin(1) \)

2. Art:
\( \int_{\gamma_2} \! \frac{sin(z)}{z(z-1)} \, dx = \int_{\gamma_2} \! \frac{\frac{sin(z)}{z-1}}{z} \, dx = \frac{2 \pi i}{0!} \frac{sin(z)}{z-1} |_{z=0} = 2 \pi i \frac{sin(0)}{-1} = 0 \)

Ich habe die Formel
\( f^{(k)} (w) = \frac{k!}{2 \pi i} \int_{ \partial B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)^{k+1}} dz \)
verwendet.

Voraussetzung ist ja, dass w "innerhalb" des Balls liegt. Das ist aber ja bei beiden von mir aufgeführten Rechnungen der Fall.

Wo liegt mein Fehler?

Viele Grüße
kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Holomorphie nachweisen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-07
kuckuck3
J

Vielen Dank, so klappts.

Ich wünsche dir auch noch einen schönen Tag.

Viele Grüße

kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Meromorph  
Themenstart
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kuckuck3
J

Hallo, wir haben meromorph kurz gesagt so definiert, dass die Funktion auf \( \mathbb{C} \backslash \{Polstellen\} \) holomorph sein muss. Bzw. auch in wesentlichen Singularitäten komplex differenzierbar sein.

Wie schauts aber nun bei hebbaren Singularitäten aus? Ist z. B.

\( \frac{sin(z)}{z} \)

meromorph auf \( \mathbb{C} \)?

Ich denke schon, bin aber unsicher.

Viele Grüße
kuckuck3

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Holomorphie nachweisen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-07
kuckuck3
J

Hallo Kuestenkind,

danke schonmal für deine Antwort.

Genau das ist aber meine Antwort, was denn nun f(x-iy) ist. Weil ich ja hier einen anderen Real- und Imaginärteil erhalten kann als bei f(x+iy).

Viele Grüße
kuckuck3
 

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