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Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Punktweiser Grenzwert  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-04
mappingmoe
 

Ich hab die ganze Sache nochmal schnell überarbeitet:
Beim Grenzwert habe ich mich dummerweise verschrieben, der müsste eigentlich \(1+x^2\) sein. Für die Partialsummen der geometrischen Reihe habe ich eine Herleitung im Internet gefunden, die eigentlich auch ziemlich simpel ist, leider bin ich da nicht selbst drauf gekommen. Für \(\sum_{k=0}^{n} a_0 q^k\) ergibt sich somit \(s_n=a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\), wofür sich in unserem Fall nach Umstellen \((1+x^2)-\frac{1}{(1+x^2)^n}\) ergeben müsste. Dann ergibt sich für die Betragsdifferenz \(|\frac{1}{(1+x^2)^n}|=\frac{1}{(1+x^2)^n}<\epsilon\). Das Ganze lässt sich jetzt nach n Umstellen, wodurch sich \(N(x,\epsilon)<\frac{log(\frac{1}{\epsilon})}{log(1+x^2)}\) ergibt.
Jetzt allerdings zu dem Teil der gleichmäßigen Konvergenz:
@Kitaktus du hast gesagt, es geht hierbei darum, den Begriff der glm. Konvergenz kennenzulernen. Glm. Konvergenz ist mir ein Begriff, ist ja zu dem hier auf dem Intervall \([-1,1]\) gefragt. Allerdings hat ist unser \(N(x,\epsilon)\) ja verschieden für verschiedene Werte  aus \([-1,1]\). Somit wäre die Reihe nicht glm. konvergent (?)

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Punktweiser Grenzwert  
Beitrag No.2 im Thread
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mappingmoe
 

2020-09-03 13:00 - Squire in Beitrag No. 1 schreibt:
Servus Moe!

Überprüfe doch zwei Aussagen von dir:

Da \(\frac{1}{1+x^2}<1 \forall x\in\mathbb{R}\)

und

Grenzwert \(s(x)=1+x\)

Grüße Squire

Hey Squire,

offensichtlich ist \(\frac{1}{1+x^2}=1\) für \(x=0\), weshalb die Reihe dann divergiert. Somit wäre bereits der Grenzwert falsch. Dann müsste ich noch einmal Versuchen den Grenzwert neu zu rechnen :/

Danke für deinen Tipp!

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Punktweiser Grenzwert  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-03
mappingmoe
 

Hallo liebe Forenmitglieder,

ich bin über eine Aufgabe zum punktweisen Grenzwert einer Reihe gestoßen, bei welcher mir es schwer fällt, ein \(N(x,\epsilon)\) zu finden, s.d meine Reihe konvergiert. Die Aufgabe im Detail lautet hierbei:

Bestimmen sie den punktweisen Grenzwert \(s(x)\) der Reihe \(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^k}\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\). Bestimmen sie dann ein \(N=N(x,\epsilon)\), sodass für alle \(x\in\mathbb{R}\) \(|s(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}|<\epsilon\) \(n\ge N(x,\epsilon)\) gilt. Konvergiert die Reihe auf \([-1,1]\) gleichmäßig?

Zum ersten Teil der Aufgabe:
Man kann das \(x^2\) aus der Reihe herausziehen und erhält \(x^2\cdot\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{1+x^2})^k\). Da \(\frac{1}{1+x^2}<1 \forall x\in\mathbb{R}\) liegt eine geometrische Reihe vor, deren Grenzwert \(s(x)=1+x\).
Nun geht es allerdings ans finden des \(N(x,\epsilon)\). Hierbei habe ich versucht, die Betragsdifferenz nach unten hin abzuschätzen und nach \(n\) umzustellen.

Also habe ich mit der Abschätzung \(|s(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}|>|1+\epsilon|-|-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}\) begonnen. Da beide Beträge der Differenz \(\forall x\in\mathbb{R} >0\) sind, habe ich die Beträge weggelassen und bin bei \(1+x-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}<\epsilon\) gestartet. Nach erneutem Rausziehen von \(x^2\) aus der Summe, habe ich die Summe ausgeschrieben und die Summanden auf gleichen Nenner gebracht. Anschließend habe ich die Summe erneut abgeschätzt, da nun alle erweiterten Zähler der Form \((1+x^2)^{n-i}>1\) mit \(i\in[1,n]\). Also erhält man \(1+x-x^2\cdot(\frac{1}{(1+x^2)^n}+\frac{1}{(1+x^2)^n}+...)=1+x-x^2\cdot(\frac{n}{(1+x^2)^n})<\epsilon\). Allerdings komme ich an dieser Stelle nicht weiter, weshalb ich befürchte, dass ich mich verrannt habe und der Ansatz falsch ist. Hat evtl. jemand Verbesserungen bzw Lösungsansätze?
Ich würde mich über jede Antwort freuen,

Gruß Moe!

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Konvergenz von Folge und Reihe  
Beitrag No.11 im Thread
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mappingmoe
J

2020-09-01 17:22 - BigR2020 in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich glaube ich habs gefunden: $\prod \limits_{k=1}^{n} (1+a_k)$ hat $2^n$ Summanden. Es kommen $2^n$ Summanden dazu mit $a_{l}<\sum \limits_{k=l}^{\infty} (a_k)<eps$. Nun setze ich $eps=5^{-n}$.

Ist also dein Ansatz, die Produktfolge durch Ausmulitplizieren in eine Reihendarstellung zu bringen? Das war nämlich mein Ansatz zu Beginn. Das hat allerdings dazu geführt, dass ich viele Mischterme hatte, aus welchen ich Faktoren ausklammern wollte. Das hat allerdings nur zu Verwirrung geführt.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Konvergenz von Folge und Reihe  
Beitrag No.10 im Thread
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mappingmoe
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-01 16:05 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo,

wenn du den Tipp von PrinzessinEinhorn einmal weiterdenkst, dann kannst du damit das Produkt in einer Reihe umwandeln (Stichwort Potenz- bzw. Logarithmengesetze). Und in dem Moment hilft dir die Abschätzung von Squire dabei, damit kann man dann nämlich ein bekanntes Kriterium für Reihenkonvergenz anwenden.

Hier noch ein Link, wo die Äquivalenz erwähnt wird. Dort auch nur für absolute Konvergenz.

Nachtrag: ich hatte im Themenstart die Forderung \(a_k>0\) überlesen. Von daher ist die Unterscheidung Konvergenz/absolute Konvergenz hier obsolet (sorry).


Gruß, Diophant

Hallo Diophant,

ich habe noch mir das Umschreiben mit dem exp nochmal genauer angeschaut:
\(\prod\limits_{k=1}^{n} (1+a_k)=\prod\limits_{k=1}^{n} exp(ln(1+a_k))=exp(\sum\limits_{k=1}^{n}ln(1+a_k))\)
Somit weiß ich, dass für \(n->\infty\) die Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} ln(1+a_k)<\infty\) ist. Anschließend weiß ich, dass die Reihenentwicklung von \(ln(1+x)\) für \(x>1\) divergiert. Daher kann ich \(a_k\) wie folgt einschränken: \(0<a_k\le 1\) und kann ich die Ungleichung \(\frac{x}/{2} \le ln(x+1} \le x\) verwenden da in unserem Fall \(x\in[0,1]\). Also wähle ich \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} ln(1+a_k\) als konvergente Majorante zu \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{2} =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\) woraus ich schließen kann das unsere Reihe konvergiert. Eine Stelle, an welcher ich mir unsicher war, war bei Verwendung der Ungleichung mit welcher ich \(ln(1+x)\) eingrenze, allerdings ist dies wegen dem Konvergenzradius von \(ln(1+x)\) korrekt oder?
Dann wäre da noch die Frage zur Rückrichtung: Wäre meine Lösung dafür richtig? Ich habe einen Satz gefunden, der besagt, dass die Produktfolge \(\prod\limits_{k=1}^{\infty}x_k\) genau dann konvergiert, wenn ein \(K\in\mathbb{N}\) existiert, s.d. \(x_K=0\) oder \(\lim_{n->\infty}a_x=1\), was bei uns ja der Fall wäre, da \(x_k=1+a_k(\) mit \(lim_{k->\infty}(x_k)=1+lim_{n->\infty}a_k=1\) da \(a_k\) eine Nullfolge ist. Wäre die Rückrichtung somit richtig? Alternativ hätte ich noch einen anderen Weg im Internet gefunden.

Gruß, Moe
\(\endgroup\)

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Konvergenz von Folge und Reihe  
Beitrag No.6 im Thread
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mappingmoe
J

Vielen Danke erstmal für eure ganzen schnellen Antworten, ihr seid der Hammer!
 @PrinzessinEinhorn:
Die Tatsache, dass "\(a_k\) ist eine Nullfolge" nicht impliziert, dass \(\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k\) konvergiert, ist mir bewusst, das ganze führt ja auch zu dem Problem beim Beweisen der Rückrichtung. Allerdings müsste (wenn ich mich nicht täusche) das Produkt(!) \(\prod \limits_{k=1}^{n} a_k\) für \(n->\infty\) wenn \(a_k\) eine Nullfolge, wie BigR2020 bereits geschrieben hat, schon konvergieren oder? Danke für den Tipp mit exp!

@Diophant:
Also das ganze ist eine alte Klausuraufgabe und dort steht allerdings nur "genau dann wenn die Reihe konvergiert", die absolute Konvergenz wird hierbei nicht explizit genannt 🙁.

@Squire:
Witziger Weise habe ich genau diese Ungleichung in der Teilaufgabe davor bewiesen, hatte also anscheinend einen Grund, warum die beiden Aufgaben aufeinander folgen :D Allerdings weiß ich jetzt auf Anhieb noch nicht, wie ich die Ungleichung verwenden soll, das muss ich mir nochmal genauer anschauen. Vielen Dank für den guten Tipp!

@BigR2020:
Ich habe bereits probiert, in dem Wissen, dass \(\prod\limits_{k=1}^{n} (1+a_k)<\infty\) ist, \(\prod\limits_{k=1}^{n} a_k\) nach oben abzuschätzen, da dies damit auch endlich sein muss. Allerdings weiß ich nicht, wie ich von der Produktfolge auf die Summenfolge schließen kann 🤔 Die einzige Information, die ich hieraus schließen würde, wäre wieder, dass irgendwann ab einem bestimmten \(K\in\mathbb{N}\)  \(p_k \le 1\) sein muss, da die Produktfolge sonst divergiert. Wie würdest du die Produktfolge mit der Summenfolge vergleichen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mappingmoe
Konvergenz von Folge und Reihe  
Themenstart
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mappingmoe
J

Hallo liebe Forummitglieder,
derzeit scheitere ich an einer Aufgabe aus Analysis 1, welche eigentlich nicht sehr schwer scheint. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine reelle Folge mit \(a_n>0\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Beweisen Sie, dass die Folge \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\), definiert durch \(p_n:=\prod \limits_{k=1}^{n} (1+a_k)\) genau dann konvergiert, wenn \(\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k\) konvergiert.

Für die Rück-Richtung (also dass die Konvergenz Reihe über \(a_k\) die Konvergenz der Folge impliziert) habe ich glaube bereits ein Lösung gefunden. Hierbei impliziert der endliche Werte der Reihe, dass \(a_k\) eine Nullfolge sein muss. Wenn ich jetzt \(n --> \infty\) laufen lasse für \(p_n\), so erhalte ich das unendliche Produkt \(\prod \limits_{k=1}^{\infty} (1+a_k)\). Nun mache ich mir die Eigenschaft zu Nutze, dass \(a_k\) gegen 0 konvergiert, wodurch der \(lim_{n-->\infty}(1+a_k)=1\) ist. Daher hat ist \(\prod \limits_{k=1}^{\infty} (1+a_k)<\infty\) und die Folge \(p_n\) konvergiert.
Bei der Hin-Richtung bin ich allerdings auf ein Problem gestoßen: Ich kann analog zur Rück-Richtung zeigen, dass aus der Unbeschränktheit und Monotonie von \(\prod \limits_{k=1}^{n} (1+a_k)\) für \((1+a_k)>1\) folgen muss, dass es ein \(K\in\mathbb{N}\) geben muss, für welches \(|(1+a_K)-1|<\epsilon\) für ein beliebiges kleines Epsilon, m.a.W. dass \(1+a_k\) gegen \(1\) konvergiert, da \(a_k\) nicht \(<0\) ist. Daraus folgt, dass \(a_k\) eine Nullfolge sein muss. Allerdings impliziert die Eigenschaft \(a_k\) ist eine Nullfolge nicht, dass auch die Reihe über \(a_k\) konvergiert. An dieser Stelle bräuchte ich Hilfe für eine Lösung oder Verbesserungsvorschläge. An dieser Stelle schonmal Danke an jeden, der sich die Frage bis hierhin durchgelesen hat 🙂
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