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Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Shiftentropie bei Produkt mit abhängigen Komponenten  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-04-04
mathefan222
 

Nabend zusammen,

ich habe mal eine relativ allgemeine Frage zur Entropie von Shifts.
Bekanntermaßen hat ja ein Subshift of finite type <math>(\Sigma_A^+,T_L)</math>, wobei <math>T_L</math> der Linkshift-Operator ist, die topologische Entropie <math>h(\Sigma_A^+,T_L)=\ln\lambda</math>, wobei <math>\lambda</math> der größte positive Eigenwert der Matrix <math>A</math> ist.

(Ebenso für den Rechtsshift-Operator <math>T_R</math> auf <math>\Sigma_A^-</math>.)

Außerdem gilt für die topologische Entropie die Produktregel, d.h. hier z.B.

<math>h(\Sigma_A^-\times\Sigma_A^+,T_R\times T_L)=h(\Sigma_A^-,T_R)+h(\Sigma_A^+,T_L)=2\ln\lambda</math>.

und es gilt <math>h(T_L^n)=n\cdot h(T_L) , n>0</math>.

Für die Produktregel ist aber wesentlich, dass die Dynamiken auf den beteiligten Räumen unabhängig voneinander sind.

-------------

Angenommen, wir haben eine Abhängigkeit in den Systemen der Form

<math>\displaystyle
S\colon \Sigma_A^-\times\Sigma_A^+\to\Sigma_A^-\times\Sigma_A^+, (\sigma^-,\sigma^+)\mapsto (T_R^{1-f(\sigma^-,\sigma^+)}\sigma^-,T_L^{1+f(\sigma^-,\sigma^+)}\sigma^+)
</math>

für eine Funktion <math>f\colon\Sigma_A^-\times\Sigma_A^+\to\left\{-1,0,1\right\}</math>.

Dann gilt für jedes Paar <math>(\sigma^-,\sigma^+)\in \Sigma_A^-\times\Sigma_A^+</math>, dass wir effektiv zwei Shifts durchführen, nämlich entweder je einen Shift in den beiden Komponenten des Produkts (wenn <math>f=0</math>) oder in einer der Komponenten gar keinen und in der anderen einen Doppelshift (wenn <math>f=-1</math> oder <math>f=1</math>).

Kann man daher irgendwie folgern, dass wir die gleiche Entropie wie vorher haben, also

<math>\displaystyle
h(\Sigma_A^-\times\Sigma_A^+,T_R^{1-f(\cdot,\cdot)}\times T_L^{1+f(\cdot,\cdot)})=2\ln\lambda
</math>

oder zumindest eine untere oder obere Abschätzung <math>\geq 2\ln\lambda</math> bzw. <math>\leq 2\ln\lambda</math> erhalten?



Ich bin etwas ratlos.
Meine Intuition möchte diese Fragen mit 'ja' beantworten (da wir halt für jedes Argument von <math>f</math> insgesamt zwei Mal shiften). Aber beweisen oder widerlegen kann ich es nicht.




Grüße!

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Poster für Konferenz erstellen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-19
mathefan222
 

Hi,

für eine anstehende Konferenz ist es meine Aufgabe, ein Poster zu erstellen, auf dem u.a. die Teilnehmer aufgelistet sind, im Hintergrund soll sich ein ansprechendes thematisch passendes Bild befinden.

Kennt jemand ein gutes tool, mit dem man sowas umsetzen kann?

Natürlich könnte man jetzt Power Point oder keynote nehmen, aber mir scheint, dass es dafür vielleicht passendere tools geben könnte?

VG

Matlab
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
png-Bild in Achsen einfügen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-12-05
mathefan222
 

Hallo,

ich habe ein png-Bild und möchte das gerne mit Achsen versehen, wobei die x-Achse einfach nur "space" und die y-Achse "time" heißen soll und beide Achsen im besten Fall mit Pfeilen versehen sind.

Ich bekomme es aber nicht hin, das png-Bild einzufügen in die Achsen.

Wie macht man sowas mit Matlab?

Ich kann natürlich
Matlab
im=imread('bild.png');
axes('position', [0.1 0.1 0.5 0.5]);
imshow(im)

machen, aber dann habe ich eben nur das Bild und keine x- und y-Achse. Ich würde aber gerne Achsen und Bild sehen.


Textsatz mit LaTeX
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Ein bisschen Zeichnen mit TikZ/pgfplots  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-12-04
mathefan222
 

bitte löschen, hat sich erledigt! habe es schon hinbekommen


ursprünglicher Beitrag schreibt:
Hallo und einen schönen 2. Advent,

ich versuche gerade, mit pgfplots bzw. tikz folgendes Bild so ungefähr nachzubauen:


Die Funktion, deren Graph hier gestrichelt zu sehen ist, lautet
<math>\displaystyle
f(u)=u(1-u)(u-a), 0<a<\frac{1}{2}.
</math>

Ich habe mal <math>a=0.1</math> gewählt und Folgendes versucht:
Latex
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
 
\pgfplotsset{width=7cm,compat=1.13}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
    \begin{axis}[
      view={45}{30},
      axis lines=center,
      width=15cm,height=10cm,
      xmin=-0.5,xmax=1.1,ymin=-1.3,ymax=1.3,zmin=-0.1,zmax=0.13,xtick={0.1,1},ytick={-2,2},ztick={-0.5,0.5},
      xlabel={<math>u</math>},ylabel={<math>v</math>},zlabel={<math>w</math>}]
 
      % plot f(u)
      \addplot3[dashed,domain=-0.5:1.1,samples=800,samples y=0](x,0,-x^3+x^2+0.1*x^2-0.1*x);
 
      % red part on the right
      \addplot3[thick,red,domain=0.85:1,samples=200,samples y=0](x,0,-x^3+x^2+0.1*x^2-0.1*x);
 
      % red part on the left
      \addplot3[thick,red,domain=-0.2:0,samples=200,samples y=0](x,0,-x^3+x^2+0.1*x^2-0.1*x);
 
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
 
\end{document}

Das liefert mir zumindest schonmal einen Teil von dem, was ich gerne haben würde:



Nun bin ich aber gerade etwas ratlos, wie ich die Verbindungen der beiden roten Graphen, die ja in der u-v-Ebene leben, einzeichnen kann. Auch die Pfeile und Beschriftungen habe ich noch nicht hinbekommen.

Über etwas Hilfe würde ich mich freuen; ich bin ziemlich unerfahren im Umgang mit pgfplots/tikz.


Viele Grüße!



Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Von Hamiltonfunktion zur Bewegungsgleichung (PDE)  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-09-28
mathefan222
 

Nabend,

könnt ihr mir mal kurz auf die Sprünge helfen?
Im Allgemeinen kann man für PDEs doch von der Hamiltonfunktion nicht auf die Bewegungsgleichungen kommen, oder?


Hier ist Folgendes gesagt:
Von der Hamiltonfunktion <math>H=\int\left(\frac{\phi_t^2}{2}+\frac{\phi_x^2}{2}+V(\phi)\right)\, dx</math>

kommt man auf die Bewegungsgleichung <math>\phi_{tt}-\phi_{xx}+\frac{dV(\phi)}{d\phi}=0</math>

Ich habe versucht, das nachzuvollziehen, wenn ich voraussetze, dass

(1) <math>\frac{d}{dt}H=0</math>
(2) <math>\phi_x\phi_t=0</math>

bekomme ich, indem ich die Integration in den Integranden ziehe (darf ich doch machen, weil es ein Parameterintegral ist?)

<math>\displaystyle
\frac{dH}{dt}=\int\left( \phi_t\phi_{tt}+\phi_x\phi_{xt}+\phi_t\frac{dV(\phi)}{d\phi}\right)\, dx=0
</math>

Wegen (2) bekomme ich für partielle Integration
<math>\displaystyle
\int \phi_x\phi_{xt}\, dx==-\int \phi_{xx}\phi_t\, dx,
</math>

also
<math>\displaystyle
\int\left( \phi_t\phi_{tt}+\phi_x\phi_{xt}+\phi_t\frac{dV(\phi)}{d\phi}\right)\, dx=\int\left(\phi_{tt}-\phi_{xx}+\frac{dV(\phi)}{d\phi}\right)\phi_t\, dx=0.
</math>

Folgt daraus
<math>\displaystyle
\phi_{tt}-\phi_{xx}+\frac{dV(\phi)}{d\phi}=0
</math>
und falls ja, wieso?

Dass ich die Voraussetzungen (1) und (2) machen musste, schmeckt mir irgendwie nicht so richtig, aber anders sehe ich es einfach nicht.

Vielleicht weiß ja jemand weiter, es würde mich freuen.



Viele Grüße!

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Variational structure - gradient flow  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-08-20
mathefan222
 

Hallo, Caleb,

fed-Code einblenden


Hoffe, das hilft dir!


Grüße

mathefan222

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
PDE lösen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-30
mathefan222
 

Hallo, Schokopudding,

ich denke nicht, dass man das lösen kann ohne weitere Angaben,
vielleicht sollst du auch etwas Anderes damit machen?

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Squire
Mathematik-Matura Österreich  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-12
mathefan222
J

2016-05-12 15:21 - Kollodez777 in Beitrag No. 1 schreibt:
Ist ja noch einfacher als in Deutschland.

 Mathe-Abi in Niedersachsen viel zu schwer

Mich würden die Aufgaben interessieren.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Kann man das schöner ausdrücken?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-11
mathefan222
 

Stimmt, da kommt wirklich einfach <math>2\log(e+1)</math> raus.

Jetzt habe ich hier einen schwierigeren Ausdruck.

Seien

<math>a_{n,k}=2(e+1)^{2(n+k)-1}</math>

<math>b_{n,k}=2\cdot[ e+e^2+e^3+e^3(e+1)+e^3(e+1)^2+\ldots +e^3(e+1)^{2(n+k)-4}]</math>

<math>c_{n,k}=2\cdot [2(e+r)e(e+1)^{2(n+k)-4}+(2(n+k)-4)(e+r)(e+1)^{2(n+k)-5}]</math>

<math>d_{n,k}=2\cdot [(2(n+k)-3)(e+r+1)e^2(e+1)^{2(n+k)-4}]</math>

Wieder suche ich einen "schöneren Ausdruck" für

<math>\lim_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(a_{n,k}+b_{n,k}+c_{n,k}+d_{n,k})</math>

Ich habe versucht, das auszurechnen, indem ich zur Vereinfachung gesetzt habe:

<math>q:=e+1,~p:=e+r, \ell=2(n+k)</math>.

Damit habe ich es dann etwas übersichtlicher aufgeschrieben, ausgeklammert etc. und erhalte für das Argument des Logarithmus
den Ausdruck

<math>\displaystyle
2q^{\ell-1}\cdot\left(1+\frac{e+e^2+e^3}{q^{\ell-1}}+\frac{e^3}{q^{\ell -2}}+\ldots+\frac{e^3}{q^{\ell-5}}+\frac{(\ell -3)(p+1)e^2}{q^{\ell -5}}\right)
</math>

Dies eingesetzt in den Logarithmus, liefert
<math>\displaystyle
\log(2q^{\ell -1})+\log\left(\left(1+\frac{e+e^2+e^3}{q^{\ell-1}}+\frac{e^3}{q^{\ell -2}}+\ldots+\frac{e^3}{q^{\ell-5}}+\frac{(\ell -3)(p+1)e^2}{q^{\ell -5}}\right)\right)\\
=\log(2)+(\ell-1)\log(q)+\log\left(\left(1+\frac{e+e^2+e^3}{q^{\ell-1}}+\frac{e^3}{q^{\ell -2}}+\ldots+\frac{e^3}{q^{\ell-5}}+\frac{(\ell -3)(p+1)e^2}{q^{\ell -5}}\right)\right)
</math>


Wenn ich nun <math>k</math> fixiere, dann gilt

<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(2q^{\ell -1})=2\log(q)=2\log(e+1)</math>

Wenn ich mich nicht ganz irre, dann müsste gelten, dass
<math>\displaystyle
\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\left(\left(1+\frac{e+e^2+e^3}{q^{\ell-1}}+\frac{e^3}{q^{\ell -2}}+\ldots+\frac{e^3}{q^{\ell-5}}+\frac{(\ell -3)(p+1)e^2}{q^{\ell -5}}\right)\right)=0
</math>

(den Limes in das Argument des Logarithmus ziehen, dann müssten alle Summanden gegen 0 konvergieren außer die 1, sodass der Ausdruck 0 ist).

Alles in allem müsste mein Endergebnis also wiederum

<math>2\log(e+1)</math>

sein.


Kann das stimmen?

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Spektrum exponentiell vorliegend?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-10
mathefan222
 

Nabend,

wenn man eine lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koefzienten hat, macht man z.B. den Ansatz mittels Fourier-Moden und bekommt als allgemeine Lösung eine Linearkombination von Fourier-Integralen, s. zum Beispiel  hier.

Kann man daraus auch das Spektrum des zugehörigen Differentialoperators L ablesen?

Ich komme auf diese Frage, weil ich sowas gelesen habe:

"L posseses constant coefficients. The spectrum is therefore readily computed in terms of exponentials."

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Was ist eine wavefront?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-10
mathefan222
J

(2016-05-10 19:09 - BigR in Beitrag No. 1
Eine Wellenfront ist demnach der erste Amplitudenauschlag der Welle.

Das verstehe ich, offen gestanden, nicht so ganz.

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Was ist eine wavefront?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-10
mathefan222
J

Hallo, was genau ist eine wavefront?

Mathematisch ist eine Welle ja zB. sowas wie eine Funktion <math>f(x-ct)</math>, aber was ist eine Wellenfront? Ich kann dazu irgendwie nichts Präzises finden (den Wiki-Artikel kenne ich).

VG

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathefan222
Kann man das schöner ausdrücken?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-09
mathefan222
 

Nabend,

Kann man den Ausdruck
<math>\displaystyle
\lim_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\left[2(e+1)^{2(n+k)-1}+(e+r+1)\cdot (e+1)^{2(n+k)-2}+(2(n+k)-2)\cdot (e+r+1)^2\cdot (e+1)^{2(n+k)-3}\right]
</math>

irgendwie schöner ausdrücken?


Hierbei ist übrigens <math>2\leq e\leq r</math>.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaotisch
Limes mit Logarithmus  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-09
mathefan222
J

Hallo,

<math>a_n=2^n, b_n=2^n-1</math> ist eigen Gegenbeispiel, der Limes der Folgen mit dem Logarithmus ist identisch.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Stetige reellwertige Funktionen mit kompaktem Träger (Abschluss)  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-04-05
mathefan222
 

Nabend,

ist <math>\Omega</math> lokalkompakt?
Falls du das voraussetzen darfst (oder vllt. hast du diese Annahme auch nur vergessen, zu erwähnen?), dann kann man das Lemma von Urysohn anwenden, um die andere Inklusion zu zeigen.

Viele Grüße

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Leichtathletik13
Matrizengruppen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-01-21
mathefan222
 

Liebe(r) Leichtathletik13,

willkommen auf dem Matheplaneten!
Bitte wähle einen aussagekräftigen Titel für deinen Thread, damit man in etwa erkennen kann, worum es geht. Außerdem ist es üblich, dass du genau erklärst, was für Probleme du hast bzw. wobei du Hilfe brauchst. Schön wären auch deine eigenen Ansätze oder Versuche.

Viele Grüße

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Transformation in Blockform  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-01-19
mathefan222
 

Hallo, Caleb,

fed-Code einblenden

Grüße


Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaotisch
Poincaré-Bendixson: Beweis verstehen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-01-08
mathefan222
J

Hallo,

ich schlage mal eine Alternative vor, die Grenzzyklen verwendet (ein Grenzzyklus ist eine isolierte periodische Lösung).
Es gibt folgendes Korollar zum Satz von Poincaré-Bendixson:

Sei <math>D</math> eine beschränkte, abgeschlossene Menge, die keine Equilibria enthält. Weiter sei <math>D</math> positiv invariant. Dann gibt es einen Grenzzyklus in <math>D</math>.

Wie schon gesagt wurde, gilt <math>\dot{r}>0</math> für kleine <math>r>0</math>, etwa <math>r=\frac{1}{2}</math>, und <math>\dot{r}<0</math> für große <math>r</math>, etwa <math>r=3</math>.

Wenn man jetzt den Kreisring <math>\frac{1}{2}\leq r\leq 3</math> betrachtet, ist das eine abgeschlossene, beschränlte, positiv invariante Menge, denn auf den beiden Kreisen zeigt das Vektorfeld jeweils in diesen Kreisring hinein.

Außerdem enthält dieser Kreisring keine Equilibria, da <math>r\neq 0</math> (und dafür wurde argumentiert, dass kein Equilibrium <math>r\neq 0</math> erfüllen kann).



Viele Grüße

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Limesmenge einelementig  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-01-06
mathefan222
 

Hi,

im Allgemeinen müssen Orbits nicht abgeschlossen sein, jedoch deren Abschluss. Dein Argument war ja an sich richtig, wende es einfach auf den Abschluss des Orbits an.

VG

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Turing-Instabilität  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-12-24
mathefan222
 

Hallo, Caleb,

das folgt aus der Theorie linearer Operatoren; du hast hier einen sog. Sturm-Liouville Operator <math>L=\frac{1}{w(x)}\left[\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{d}{dx}\right)+q(x)\right]</math>, der unter homogenen Randbedingungen selbst-adjungiert ist.

Man betrachtet dann den homogenen Fall <math>q(x)=0</math>. Für diesen weiß man, dass es für selbst-adjungierte lineare Operatoren Funktionen <math>\Phi</math> derart gibt, dass <math>L\Phi=\lambda\Phi</math>, wobei <math>\lambda</math> Konstanten sind. Die Funktionen <math>\Phi</math> nennt man Eigenfunktionen und <math>\lambda</math> die zugehörigen Eigenwerte. Außerdem weiß man, dass die Eigenfunktionen linear unabhängig sind und die Randbedingungen des Funktionenraums (der innerhalb des Hilbert-Raums der bzgl. der Gewichtsfunktion <math>w</math> quadratintegrierbaren Funktionen liegt) erfüllen. Zudem sind die Eigenfunktionen orthogonal zueinander.

JEDE Funktion des Funktionenraums, die die Randbedingungen erfüllt, kann als Linearkombination der Eigenfunktionen geschrieben werden!

Und daher kommt der Ansatz: Lösungen sollen die Randbedingungen erfüllen: Man kann sie also als Linearkombinationen der oben beschriebenen Eigenfunktionen ausdrücken!

Also macht man den Ansatz und muss dann noch die Konstanten bestimmen.  Dazu benutzt man Fourierreihen und wesentlich die Orthogonalität der Eigenfunktionen.



Ich hoffe, das hilft.
 

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