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Thema Eingetragen
Autor

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: luisaS
Newton-Verfahren  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-17 12:50
ochen
 

Hallo Luisa, nach was für Gegenbeispielen insbesondere bei der 2) hast du denn gesucht?

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Forbes
Partialbruchzerlegung / Allgemeine geschlossene Form  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-16 12:03
ochen
J

Hallo,

ja, sei $A_i$ der Koeffizient von $\frac{1}{x-i}$, so kommst du mit der Zuhaltemethode auf
\[A_i=\prod_{\substack{0\leq j\leq k\\j\neq i}}\frac{1}{i-j}\]

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: bananachraumschiff
Nullstellen, surjektiv, ZWS  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-15 20:16
ochen
 

Hallo, du könntest
\[(x^5-x_0^5)-4(x^2-x_0^2)\] als Produkt von $x-x_0$ und einem weiteren Faktor darstellen.

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lambda88
Kettenregel für partielle Ableitungen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 15:43
ochen
 

Genau, du sollst nach den beiden Komponenten jeweils einmal ableiten, aber keine zweiten Ableitungen berechnen.

Das sieht gut aus. damit bist du mit Teil a) fertig.

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lambda88
Kettenregel für partielle Ableitungen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 13:32
ochen
 

Hallo,

ja, das ist richtig. Aber vielleicht ist es schöner, $x\cdot b$ auszuklammern.

Du kannst auch kuerzer $f(g(x))=(x\cdot a)(x\cdot b)$ schreiben. Obwohl ich die Schreibeweise des Skalarproduktest nicht mag. Alternativ geht auch
\[f(g(x)) = x^T ab^Tx = \frac{1}{2}x^T (ab^T+ba^T)x.\]

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: wanzenried
Maximumtransformation einer analytischen Funktion unklar  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 12:52
ochen
 

Ja, super, das passt doch. Hast du noch Fragen? Magst du mal nachrechnen, dass das Bild unter der gegebenen Abbildung ist? In welchem Zusammenhang taucht die Frage auf?

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: jonamuller39
Tangentialraum der orthogonalen Matrizen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 12:48
ochen
J

Hallo,

wikipedia im Totales Differential schreibt:
[doch, ]das totale Differential ${\rm d}f(p)\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ist eine lineare Abbildung, die jedem Vektor $v = (v^1,\dots,v^n) \in\mathbb{R}^n$ die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet, also
\[
{\rm d}f({p})\colon \mathbb{R}^{n}  \to\mathbb{R}\, , \ {v}  \mapsto \partial_{v}f({p})=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}({p})\, v^{i}.\]

Fourierreihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Fourierreihe  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 12:24
ochen
 

Sollst du die komplexe oder die reelle Fourierreihe bestimmen?

Die komplexe hast du ja bereits bestimmt. Indem du immer zwei Summanden zusammenfasst, kannst du die reelle Fourierreihe bestimmen.
\[\sum_{k\in \mathbb{Z}}\tilde{f}_ke^{ikx}=\tilde{f}_0+\sum_{k\in \mathbb{N}\setminus\{0\}}\left(\tilde{f}_ke^{ikx}+\tilde{f}_{-k}e^{-ikx}\right).\]
Du muesstest vor allem nachrechnen, dass
\[\dfrac{(2\mathrm{i})^2{\pi}(-1)^{k+1}}{k}\cdot\dfrac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\] reell ist.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 18:28
ochen
 

Kannst du deine Rechnung posten?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: wanzenried
Maximumtransformation einer analytischen Funktion unklar  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 18:27
ochen
 

Das gilt nur für $|x|=1$. Du kannst es nachrechnen. Magst du noch schreiben, wie $\mathcal{E}_{\rho}$ definiert ist?

Für festes $\rho$ wird $(a,b)$ auf $((1+1/\rho^2)a/2, (1-1/\rho^2)b/2)$ abgebildet. Warum?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 17:14
ochen
 

Ok, der Teil zur zweiten Aufgabe ist richtig. Du kannst kein $v_3$ finden.

2020-02-12 13:16 - PhysikRabe in Beitrag No. 3 schreibt:

Falls du dazu gar keine Idee hast, kannst du dir ja mal überlegen, was passiert wenn du das Standardskalarprodukt nimmst. Vielleicht bringt dich das weiter.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Auf geht's. Nimm drei beliebige Vektoren $v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^2$ und rechne die paarweisen Skalarprodukte aus und berechne anschließend alle Komponenten der drei Vektoren. Dann hast du ein konkretes Gleichungssystem, auch wenn es nicht linear ist.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: wanzenried
Maximumtransformation einer analytischen Funktion unklar  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 17:05
ochen
 

Hallo,

ich weiß nicht genau, was $\partial\mathcal{E}_{\rho}$ ist, aber ich vermute, dass es das Bild des Kreises $\{x\in \mathbb{C}: |x|=\rho\}$ unter der Abbildung $x\mapsto\frac{x+x^{-1}}{2}$ ist.

Ich mache mal ein Beispiel. Für $\rho=1$ gilt $x\mapsto \frac{x+x^{-1}}{2}=\mathrm{Re}(x)$ und somit würde $\partial\mathcal{E}_{1}$ genau die Punkte $[-1,1]$ enthalten. Das ist so etwas eine Ellipse mit den Halbachsen 1 und 0.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 16:58
ochen
 

2020-02-12 14:09 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Was für Eigenschaften hat eine Orthonormalbasis? Nimm $v_1=(1,0,0)^T$ und $v_2=(1,1,0)^T$. Wie muss $v_3$ aussehen, damit $(v_1,v_2,v_3)$ eine Orthonormalbasis bilden?

2020-02-12 16:11 - daenerystargaryen in Beitrag No. 6 schreibt:
(0,1,0) würde funktionieren, da die Norm hier 1 ist und sie orthogonal zu v1 und v2 ist. Nur v2 müsste ich ja dann noch normieren


Wenn du der Meinung bist, dann rechne doch mal alle Eigenschaften einer Orthonormalbasis nach. Du darfst nur $v_3$ selbst bestimmen.


2020-02-12 14:09 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Seien $v_1,\ldots,v_n\in V$ mit $\langle v_i,v_j\rangle=0$ für $i<j$, so sind $v_1,\ldots,v_n$ linear unabhängig oder es existiert ein $i$ mit $v_i=0$.

2020-02-12 16:11 - daenerystargaryen in Beitrag No. 6 schreibt:
Ok also ich würde so argumentieren, dass v1,…,vn linear unabhängig sein müssen, da, falls dies nicht der Fall wäre, und sie linear abhängig wären, das Skalarprodukt aufgrund der positiven Definitheit gleich 0 wäre

Warum wird ein Skalarprodukt Null, wenn irgendwelche Vektoren linear abhängig sind. Das verstehe ich nicht.  


(Die posititive Definitheit des Skalarproduktes bezieht sich doch nicht nur auf den Vektor selbst, sondern auch auf Vielfache davon, oder?)
Was meinst du? Positive Definitheit bedeutet, dass aus $\langle v,v\rangle=0$ folgt, dass $v=0$ ist und $\langle v,v\rangle=0$ für $v\neq 0$ gilt.


Bei dieser Aufgabe wirst du nicht darum herumkommen etwas wirklich zu rechnen. Außerdem wirst du die richtigen Definitionen anwenden müssen.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Isomorphismus zeigen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 14:36
ochen
 

Hallo
2020-02-12 14:28 - LamyOriginal in Beitrag No. 6 schreibt:

fed-Code einblenden
Wie sieht denn dann die Umkehrabbildung von pi aus?
fed-Code einblenden

Was ist $w$ bei $(v,w)$?

Fourierreihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Fourierreihe  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 14:35
ochen
 

Hallo,

ich habe deine Rechnung nicht geprüft.

2020-02-11 08:57 - RogerKlotz im Themenstart schreibt:

\[\dfrac{2\mathrm{i}\left(\sin\left({\pi}k\right)-{\pi}k\cos\left({\pi}k\right)\right)}{k^2}\]
und ab hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Wie setze ich das in die obere Definition der Reihe und wie verhält es sich mit der Länge?

Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Du solltest auf jeden Fall nutzen, dass $\sin(k\pi)=0$ und $\cos(k\pi)=(-1)^k$ ist. Dann erhälst du
\[\tilde{f}_k\dfrac{2\mathrm{i}\left(\sin\left({\pi}k\right)-{\pi}k\cos\left({\pi}k\right)\right)}{k^2}=\dfrac{-2\mathrm{i}{\pi}k(-1)^{k}}{k^2}=\dfrac{2\mathrm{i}{\pi}(-1)^{k+1}}{k}
\] weiter ist es sinnvoll $\tilde{f}_k$ und $\tilde{f}_{-k}$ zusammenzufassen:
\[
\begin{align*}\tilde{f}_ke^{ikx}+\tilde{f}_{-k}e^{-ikx}
&=\dfrac{2\mathrm{i}{\pi}(-1)^{k+1}}{k}e^{ikx}+\dfrac{2\mathrm{i}{\pi}(-1)^{-k+1}}{-k}e^{-ikx}\\
&=\dfrac{2\mathrm{i}{\pi}(-1)^{k+1}}{k}e^{ikx}-\dfrac{2\mathrm{i}{\pi}(-1)^{k+1}}{k}e^{-ikx}\\
&=\dfrac{(2\mathrm{i})^2{\pi}(-1)^{k+1}}{k}\cdot\dfrac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\\
\end{align*}
\] Wie geht es weiter?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 14:09
ochen
 

2020-02-12 13:38 - daenerystargaryen in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi nochmal, danke für eure Antworten:) Meine Überlegung zu 1) war wirklich totaler Blödsinn...

Aus der Bedingung, dass die $v_i$ eine ONB bilden, folgen Bedingungen, die nur die gegebenen Vektoren $v_1$ und $v_2$ betreffen. Sind diese Bedingungen durch die Voraussetzungen alle abgedeckt?
--zippy
Im R^3 auf jeden Fall würde ich sagen. Im R^3 müsste es doch auch 3 Vektoren für die Basis geben und normieren geht ja sowieso.

Was für Eigenschaften hat eine Orthonormalbasis? Nimm $v_1=(1,0,0)^T$ und $v_2=(1,1,0)^T$. Wie muss $v_3$ aussehen, damit $(v_1,v_2,v_3)$ eine Orthonormalbasis bilden?



Die drei Vektoren sind linear abhängig, es gibt also λ1,λ2,λ3∈R mit (λ1,λ2,λ3)≠(0,0,0) und
λ1v1+λ2v2+λ3v3=0.
Wie geht es weiter?
Ich würde nun argumentieren, dass das LGS im R^2 keine eindeutige Lösung hat und behaupten dass deshalb auch solche Skalarprodukte auch nicht existieren können. Aber hat man das damit überhaupt schon gezeigt?
Ich verstehe nicht, was du meinst. Ein homogenes Gleichungssystem hat nie eine eindeutige nichttriviale Lösung, da mit $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ auch immer $(2\lambda_1,2\lambda_2,2\lambda_3)$ eine (andere) Lösung ist.

Mach mal an der Stelle weiter:

Wir nehmen an, dass es drei Vektoren $v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ mit \[\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\langle v_1,v_3\rangle=0\] gibt. Die drei Vektoren sind linear abhängig, es gibt also $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ mit $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\neq(0,0,0)$ und
\[\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0.\]
Das willst du zu einem Widerspruch führen. Du musst also zeigen, dass
$(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(0,0,0)$ gilt. Nutze dazu
\[\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\langle v_1,v_3\rangle=0\] sowie die Eigenschaften eines Skalarproduktes nutzen.

Oder zeige allgemeiner für jeden reellen Vektorraum $V$:
Seien $v_1,\ldots,v_n\in V$ mit $\langle v_i,v_j\rangle=0$ für $i<j$, so sind $v_1,\ldots,v_n$ linear unabhängig oder es existiert ein $i$ mit $v_i=0$.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 13:15
ochen
 

Hallo

2020-02-12 12:57 - daenerystargaryen im Themenstart schreibt:

"Gibt es ein Skalarprodukt auf R^2 und drei Vektoren v1,v2,v3 aus R^2\{0}, so dass <v1,v2>=0,<v1,v3>=0 und <v2,v3>=0?"

Meine Überlegung: Nein, es geht nicht, da das Skalarprodukt immer positiv definit ist und nur für den Nullvektor Null ergibt.

Das ist nicht die Begründung, denn es gibt natürlich Vektoren $v_1,v_2\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ mit $\langle v_1,v_2\rangle=0$. Aber es gibt keinen Vektor $v_1\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ mit $\langle v_1,v_1\rangle=0$, da das Skalarprodukt positiv definit ist.

Entscheidend ist hier der $\mathbb{R}^2$.

Wir nehmen an, dass es drei Vektoren $v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ mit \[\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\langle v_1,v_3\rangle=0\] gibt. Die drei Vektoren sind linear abhängig, es gibt also $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ mit $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\neq(0,0,0)$ und
\[\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0.\] Wie geht es weiter?


"Wir betrachten ℝ3  als euklidischen Vektorraum mit dem Standard-Skalarprodukt (⟨u, v⟩ = uT v für u, v ∈ ℝ3. Gibt es zwei normierte, linear unabhängige Vektoren v1, v2  ∈ ℝ3, die sich nicht durch einen dritten
Vektor v3 ∈ ℝ3 zu einer Orthonormalbasis v1, v2, v3 ergänzen lassen?"

Meine Idee: Nein, gibt es nicht. Hier würde ich auf die Koordinatenachsen verweisen, bin mir allerdings unsicher, wie man das handfest beweisen soll...

Stimmen meine bisherigen Überlegungen so, und habt ihr vielleicht einen Tipp, wie man die 2) beweisen kann?:)

Vielleicht missverstehe ich die Frage, aber sind $v_1,v_2$ orthogonal? Wenn nicht, lassen sie sich natürlich nicht zu einer ONB ergänzen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sabinaaa
Minimierung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 12:31
ochen
 

Hallo,
die Funktion hat gar kein Maximum. Die Funktion ist konvex und ihr Defintionsbereich ist eine Ebene. Es ist sehr plausibel, dass sie kein Maximim hat. Betrachte die Folge $(x_n,y_n)=(n,3n+12)$ und setze dies ein :)

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Inf0rmatiker
Vollständige Induktion (Hochzahlen zusammenfassen)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 12:08
ochen
J

Hallo,

es ist $2^{n+1}+2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}=2^1\cdot 2^{n+1}=\ldots$.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Iramor
Schwache Konvergenz im Hilbertraum  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-11 19:58
ochen
J

Du hast recht.

Für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt
\[\|x_n\|^2=\int_0^{2\pi}\sin^2(nt)\,\mathrm dt= \frac 12\cdot 2\pi\]
 

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