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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Betaverteilung aus Gammaverteilung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-08 15:42
paulster
J

Hallo Luis,

passt, ich kenn mich aus, dankeschön ;)

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Betaverteilung aus Gammaverteilung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-08 13:59
paulster
J

Hallo Küstenkind,

also die gemeinsame Dichte ist ja das Produkt der einzelnen Dichten, also das hat man schnell hingeschrieben, aber ich erkenne nicht, wie mir diese Transformation weiterhilft.
Mit dieser Transformation bzw. dem Dichtetransformationssatz würde sich ja die gemeinsame Verteilung von U und V bestimmen lassen, aber eigentlich möchte ich doch bloß die Verteilung von U wissen, oder versteh ich da was falsch ?
Also man würde dann schon sehen, dass die gemeinsame Dichte von U und V dem Produkt der Dichte von V und einer Betaverteilung entspricht, aber kann ich deshalb schon sagen, dass U wirklich betaverteilt ist ?

Danke schonmal,
LG paulster.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Betaverteilung aus Gammaverteilung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-08 12:17
paulster
J

Hi Leute,

ich habe zwei unabhängige Zufallsvariablen $X\sim Gamma(\alpha_1,\beta)$ und $Y\sim Gamma(\alpha_2,\beta)$ und würde gerne die Verteilung von der Zufallsvariable $Z:= \frac{X}{X+Y}$ bestimmen.
Im Internet habe ich herausgefunden, dass $Z\sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$ ist und allgemein $Beta(\alpha_1,\alpha_2)\sim \frac{Gamma(\alpha_1,\beta)}{Gamma(\alpha_1,\beta) + Gamma(\alpha_2,\beta)}$ gilt.
Ist das korrekt ? und wenn ja, wie kann ich das zeigen?
Ich hab probiert das mit den Dichten nachzurechnen ... ohne Erfolg (wie ist denn diese Formel sonst zu interpretieren? Müsste sich das nicht so nachrechnen lassen?), hat da vlt. jemand eine Idee oder einen Vorschlag?

Danke im Voraus,
LG paulster.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
endlichdimensionale Verteilung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-19 14:11
paulster
 

Hallo Leute,

ich hab folgende Angabe und bin mir bei b) nicht ganz sicher:



a)

$\mathbb{E}[C(t)] = \mathbb{E}[\sqrt(t)Z]=\sqrt(t)\mathbb{E}[Z]=0$
$\mathbb{E}[Z^2] = m_{Z}^{2}(0) = (\frac{\partial^2}{\partial t^2} e^{\frac{t^2}{2}})(0) = 1$
Hier hab ich die momenterzeugende Funktion verwendet, damit folgt:
$\mathbb{E}[C(t)^2] = \mathbb{E}[tZ^2]=t\mathbb{E}[Z^2] = t$

b)

Also ich weiß, dass man hier alle endlichdimensionalen Verteilungen betrachten muss und schauen, ob es sich dabei um Normalverteilungen handelt.
Wenn wir uns zunächst auf den Falll $n=2$ beschränken, dann ist das also
$\mu_{t_{1},t_{2}}(A) = P[C(t_{1}),C(t_{2}) \in A],  \,\,A \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^2)$, oder?
Aber wie man das nun berechnet, ist mir nicht klar, gibt es da einen Trick oder so?

Wie spielt hier eigentlich die Unabhängigkeit mit? In dem Fall weiß ich ja eigentlich garnichts darüber, oder ?. Bloß die Verteilungen sind bekannt.

c)

Hier hätte ich mir bislang überlegt, dass die Zuwächse nicht stationär sind, aber dafür müsste ich wissen, dass $C(t)$ unabhängige Inkremente hat. Ich denke, dass mir das klarer wird, wenn ich einmal b) verstanden habe.

Für Ansätze und Ideen bin ich sehr dankbar,

LG paulster.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
paulster
J

Hallo nochmal,
also ich habe folgendes aufgeschrieben, ich hoffe man kann es lesen.
Im letzten Abschnitt wird die Unabhängigkeit gezeigt, ich hoffe es passt so ;)



Danke für die Hilfe,

LG, paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
paulster
J

Hallo,
aber wenn ich weiß, dass die gemeinsame Dichte dem Produkt der einzelnen Dichten entspricht, dann sind sie doch unabhängig, oder nicht ?

LG, paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo,

nochmal kurz zu dem Bsp. von oben. Also dass U und V beide jeweils standardnormalverteilt sind, ergibt sich schnell durch einfache Rechenregeln und die Unabhängigkeit bekommt man wie bereits erwähnt über den Dichte-Transformationssatz. Damit ist das Bsp. fertig, oder ? Meines Erachtens wäre alles geklärt, oder ?

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Ich dachte, dass man vlt $\frac{x}{\sqrt(2)}$ in die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung einsetzen könnte, aber das ist ja Blödsinn.
Ich weiß schon was du jetzt meinst, ich schaue mir an, wann $P(\frac{X}{\sqrt(2)} \leq x)$ ist oder? Das kann man leicht umschreiben.
Dann bekomme ich die Verteilungsfunktion und in weiterer Folge dann die Dichte?
Hast du das eh so gemeint ?

LG, paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo,
kann ich einfach $ax$ in die Dichte einsetzen, oder wie ?

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo,
ja das ist mir schon klar, aber nun muss ich ja erst zeigen, dass $\frac{X}{\sqrt(2)}$ und $\frac{Y}{\sqrt(2)}$ normalverteilt sind und unabhängig, oder folgt das aus der Unabhängigkeit von X und Y?
Einfacher wäre es doch, wenn ich wüsste, dass $\frac{X+Y}{\sqrt(2)}$ eine Normalverteilung ist. Tatsächlich wissen wir ja, dass X+Y eine ist und jetzt nur die Frage, ob das dann auch für $\frac{X+Y}{\sqrt(2)}$ gilt ?
Hier hänge ich nun.

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Man könnte aber auch die Faltungsdichte von X+Y berechnen, oder? das ist Klarerweise eine Normalverteilung. Dann lassen sich Erwartungswert und Varianz von $\frac{X+Y}{\sqrt(2)}$ leicht berechnen. Also ist nur mehr die Frage, wieso eigentlich $\frac{X+Y}{\sqrt(2)}$ wieder eine Normalverteilung darstellt ?

Das Bsp. wäre auf diese Weise einfacher oder ?

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Verteilung von (X+Y)/√2  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo,

ich habe eine Aufgabe mit folgender Angabe probiert zu lösen:

Dazu habe ich zunächst die Erwartungswerte von $\frac{X}{\sqrt(2)}$, sowie  $\frac{Y}{\sqrt(2)}$ und $\frac{-Y}{\sqrt(2)}$ bestimmt, die alle gleich 0 sind.
Die Varianzen betragen alle $\frac{1}{2}$.

Für die Unabhängigkeit von U und V habe ich den Dichten-Transformationssatz verwendet und so gezeigt, dass die gemeinsame Dichte dem Produkt der einzelnen (also dem Produkt von Dichten von Standardnormalverteilungen) entspricht und die beiden Zufallsgrößen somit unabhängig sind.

Aber dass U und V wirklich standardnormalvertelt sind weiß ich eigentlich noch nicht, oder? Das weiß ich erst, wenn ich noch die Unabhängigkeit von $\frac{X}{\sqrt(2)}$ und $\frac{Y}{\sqrt(2)}$ zeige (oder ist das offensichtlich ?) und somit dann die Parameter addieren könnte, die dann wieder Mittelwert=0 und Varianz=1 ergeben. Ist das korrekt ?

Woher weiß ich eigentlich, dass $\frac{X}{\sqrt(2)}$ wieder eine Normalverteilung ist, müsste man das erst nachweisen (wie würde das gehen?)? Gilt es generell für reelle Zahlen r, dass $r*X$ wieder eine Normalverteilung ist?  

Sehr viel schlauer werde ich leider aus den VO Unterlagen nicht.
Wäre echt toll, wenn ihr da Ideen habt.

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Münz-Spiel  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Vielen Dank für eure Erklärungen,
einen schönen Tag noch :)

LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Münz-Spiel  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo nochmal,

also wenn ich es als bedingte Wahrscheinlichkeit sehe, dann treten wie ihr beide erwähnt habt, klarerweise die 2 Fälle auf, und zwar, dass die erste gezogene Münze eine faire ist, oder eben eine, die auf beiden Seiten "tail" hat.
Also würde ich da eben eine Fallunterscheidung machen und folgende Möglichkeiten durchgehen:
$\frac{1}{2} * (\frac{1}{8} + \frac{4}{8}*\frac{1}{2})$
Also das entspricht doch der Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene tail Münze einer der beiden doppelseitigen war und dann kann ich nochmal so eine ziehen, oder aber eine der beiden fairen Münzen.

Mit dem selben Argument würde ich jetzt beim zweiten Fall folgendes erhalten:
$\frac{1}{2} * (\frac{2}{8} + \frac{3}{8}*\frac{1}{2})$

Addiert wären das dann $\frac{13}{32}$, also so wie bei Cramilu. Diese Idee würde mir einleuchten und ich würde das schon als bedingte Wahrscheinlichkeit sehen. Aber ich bin mir nicht sicher und ihr kennt euch da sicher besser aus.

Über weitere Anregungen bin ich natürlich sehr erfreut (denn nur so lernt man).

Danke euch,
LG paulster.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Münz-Spiel  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Guten "Morgen",

danke für eure Antworten. Ok, ja, wenn ich 8 "tail" Seiten habe und 4 interessant sind, dann ergibt sich klarerweise $\frac{1}{2}$ ok, ja das macht schon Sinn, ich habe da falsch gedacht ... erinnert mich ein bisschen an das Ziegenproblem ;).

Na gut, zu c) hätte ich jetzt folgendes:
Also ich weiß schon, dass ich eine Münze mit "tail" gezogen habe und nun will ich nochmal "tail" würfeln, oder? Demnach ergibt sich:
P(another tail) = $\frac{1}{8} + \frac{4}{8}*\frac{1}{2} + \frac{2}{8} + \frac{3}{8}*\frac{1}{2} = \frac{13}{16}$
Stimmt das, oder müsste man hier noch mit $\frac{4}{9}$ multiplizieren (also der Wahrscheinlichkeit, dass ich auch wirklich tail ziehe am Anfang) um dann $\frac{13}{36}$ zu erhalten ?

Danke euch,
LG paulster

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Münz-Spiel  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-14
paulster
J

Hallo Leute,

es ist bedenklich, ich scheitere an folgendem Beispiel:

Beim Punkt a) bekomme ich $\frac{4}{9}$, das ist ja noch ok.

Bei b) bin ich mir aber schon nicht mehr sicher. Wenn ich sicher tail habe, dann sind ja nur mehr 6 Münzen interessant. Dann ist doch Die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine der beiden doppelseitigen Münzen habe gleich $\frac{1}{3}$, weil 2 von 6 Kugeln gut sind, oder?
Ich weiß aber auch nicht, ob man hier nicht auch noch mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{4}{9}$ multiplizieren müsste, dass ich überhaupt tail ziehe.
Angeblich ist die Lösung = $\frac{1}{2}$.

Mit dem selben Argument würde ich beim zweiten Teil zunächst auf $\frac{2}{3} * \frac{4}{9}$ kommen, aber auch hier ist "angeblich" $\frac{1}{2}$ korrekt.

Bei c) würde ich auf $\frac{13}{36}$ kommen. Wo liegt mein Denkfehler?

Danke im Voraus,
LG paulster

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Schwimmer im Fluss  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
paulster
J

Super, vielen Dank für deine Hilfe ;)

LG paulster, schönen Abend noch

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Schwimmer im Fluss  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
paulster
J

Hallo Caban,

danke für deine Antwort, ich habe das nun noch hinzugefügt, jetzt sollte es aber passen, oder ?

Diese Konstante c muss halt so gewählt werden, dass $y_{-a}=y_{0}$ erfüllt ist, weil man einfach nicht weiß in welcher Höhe der Schwimmer in den Fluss geht, oder ?

LG und danke,
paulster

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Schwimmer im Fluss  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
paulster
J

Hallo Caban,

ich komme mit deinem Ansatz leider nicht sehr weit bzw. bin ich mir einfach nicht sicher, wie ich den anwenden soll. Ich hab es jetzt mal so aufgeschrieben und deine Anmerkungen berücksichtigt.

Ich hoffe, dass es so passt ?

LG paulster und danke 😁

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Schwimmer im Fluss  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-09
paulster
J

Hallo Caban,

danke zunächst für deine rasche Antwort.
Diese Gleichung habe ich ja oben stehen, nur habe ich sie gleich $v(x)$ genannt. Die hab ich dann integriert und den Weg berechnet, ist das nicht richtig so? Aber wie berechne ich da die benötigte Zeit dann und so dann auch den Weg?
Sry, ich kenn mich mit Differentialgleichungen noch nicht gut aus, die VO hat erst begonnen.

LG paulster
 

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