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Matlab
  
Thema eröffnet von: Dirk_Broemme
Simulation von Pseudozufallszahlen gemäß gegebener 2D-Dichtefunktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-10 17:14
piquer
 

Hallo Dirk,

um eine ZV $(X_1, X_2)$ gemäß deiner Dichte zu erhalten, kannst du zuerst gleichverteilte Werte auf der Ellipse mit Halbachsen $a$ und $b$ generieren,
$$ \big( a \cos(2 \pi U_1), b \sin(2 \pi U_2) \big),
$$ für $U_1, U_2$ unabhängig und gleichverteilt auf $(0, 1)$.
Diese multiplizierst du dann mit einer ZV $R$,
$$ X_1 = a R \cos(2 \pi U_1), \quad X_2 = b R \sin(2 \pi U_2),
$$ wobei wir $R$ aus der Verteilung mit Dichte
$$ f_R(r) = \frac{2^{1-1/k}}{\Gamma(1+1/k)} r \exp(-1/2 r^{2k}), \quad r > 0
$$ gewinnen. Hierbei bezeichnet $\Gamma(\cdot)$ die Gamma-Funktion.
Die Verteilungsfunktion lautet
$$ F_R(r) = 1 - \frac{\Gamma(1/k, r^{2k}/2)}{\Gamma(1/k)}, \quad r > 0,
$$ wobei $\Gamma(\cdot, \cdot)$ die unvollständige Gamma-Funktion ist.
Wir erhalten eine $F_R$-verteilte ZV mittels
$$ R = F^{-1}(U_3)
$$ mit einer auf $(0,1)$-gleichverteilten, von $(U_1, U_2)$ unabhängigen, ZV $U_3$.
Die Gleichung
$$ U_3 = F(R)
$$ lässt sich etwa mit dem Newton-Verfahren lösen. Ein geeigneter Startpunkt ist die Wendestelle von $F_R$. Sie liegt bei
$$ \left( \frac{1}{k} \right)^{1/(2k)}.
$$
Viele Grüße
Torsten

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Zweigitter-Verfahren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-07 17:18
piquer
 

Hi Lea,


Wir lösen $Ax=b$.
Ja, aber das ist nur die halbe Wahrheit: $A$ und $b$ stammen aus der Diskretisierung einer partiellen Differentialgleichung auf einem Gitter. Genauer noch: Einer ganzen Folge von Gittern, indiziert durch die Maschenweite $h$.


Wir betrachten einen Glätter $M$.
Das heißt eine Matrix, sodass $M^{-1}A$ besser konditioniert ist, richtig?
Das lässt sich so pauschal nicht sagen. Vorsichtig ausgedrückt: Die Konditionszahl wird dadurch nicht wesentlich schlechter. Der Glätter $M$ hat aber hier eine andere Bedeutung: Er soll nicht als Vorkonditionierer dienen, sondern ist Teil eines ganzen Verfahrens, das selbst ein Vorkonditionierer ist! Seine Rolle ist vielmehr, die hohen Frequenzen im Spektrum der Matrix zu dämpfen, denn diese sind problematisch beim Invertieren der Matrix.


Außerdem betrachten wir eine Interpolationsmatrix $P$. Kann es sein, dass $P$ nicht quadratisch sein soll?
Ja! $P$ stellt die Verbindung zwischen dem feinen Ausgangsgitter, auf dem du $A x = b$ lösen willst und der Grobgitternäherung dar. Dabei werden die Funktionen auf dem grobem Gitter auf das feinere interpoliert. Je nachdem, wie $P$ definiert ist, stellt $P^T$ dann die Projektion vom feinen auf das grobe Gitter dar.


Nach jeder Iteration sollen wir ein Interat $x_\text{TG}$ erhalten, das die Lösung $x$ approximiert.
Nein, es ist das Resultat das beim Anwenden des Vorkonditionieres entsteht. Um eine Approximation an $x$ zu erhalten, muss dieser noch mit einem iterativen Verfahren (etwa CG) kombiniert werden.

Viele Grüße
Torsten

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: GaussGauss
Finite-Elemente-Methode  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-07 12:00
piquer
 

Hi,

auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent, d.h. es existiert immer eine Konstante $C' > 0$ mit
$$ \frac{1}{C'} \| \phi \| \leq \| \nabla \phi \| \leq C' \| \phi \|.
$$ Wichtig für die Konvergenzbeweise ist, wie sich $C'$ in Abhängigkeit von der Geometrie (insb. $h$) verhält. Darüber geben die sog. "inverse inequalities" order auch "inverse estimates" Auskunft. Die findest du in jedem Buch zur FEM, etwa

Brenner, Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3. Auflage, Abschnitt 4.5

oder

Ern, Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Abschnitt 1.7.

Die Grundidee ist, sich die Abschätzungen auf dem Referenzelement zu überlegen und die Potenz von $h$ über ein Skalierungsargument zu bestimmen.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tinolino
Eigenschaft der Divergenz bestimmter L^1-Funktionen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-03 18:49
piquer
 

Hi tinolino,

du brauchst hier nicht nur die Dichtheit von $C_0^\infty(\IR^d, \IR^d)$ in $L^1(\IR^d, \IR^d)$, sondern in dem echten Teilraum
$$ W^{1,1}(\IR^d, \text{div}) = \{ u : L^1(\IR^d, \IR^d): \operatorname{div} u \in L^1(\IR^d) \},
$$ ausgestattet mit der Norm
$$ \| u \| = \| u \|_{L^1} + \| \operatorname{div} u \|_{L^1}.
$$ Das Resultat beweist man analog zur Dichheit von $C_0^\infty(\IR^d)$ im Sobolevraum $W^{1,1}(\IR^d)$.

Viele Grüße
Torsten


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionalanalysis' von piquer]

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: GaussGauss
Finite-Elemente-Methode  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-31 11:05
piquer
 

Ja, Netzverfeinerung ist die passende Übersetzung.

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: GaussGauss
Finite-Elemente-Methode  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-29 15:18
piquer
 

Hi,

Ja. Elemente der Triangulierung werden als offen angenommen.
Da der Träger nach Definition abgeschlossen ist, bedeutet das, dass
$\Psi_T$ auf $\partial T$ verschwindet. Demnach lässt sich die Funktion durch $0$ als $C^\infty$-Funktion auf den ganzen Raum fortsetzen.

Viele Grüße
Torsten

Integraltransformationen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Alina12
Poissonsche Summenformel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-28 15:58
piquer
J

Hallo Alina,

willkommen im Forum!
Die Abklingbedingung an $f$ bedeutet einfach, dass die Funktion integrierbar ist (damit existiert die Fouriertrafo $\hat f$) und außerdem auch über das Gitter summierbar ist. Die Bedingung an $\hat f$ lässt über Ableitungen von $f$ ausdrücken.
Diese ist etwa erfüllt, wenn
$$ \sup_{k \in \IR^n} |k^\alpha \hat f(k)| < \infty
$$ für alle Multiindices $|\alpha| \leq n + 1$.
Ist $f$ nun genügend oft differenzierbar und alle Ableitungen integrierbar, so lässt sich das, da die Fouriertrafo aus Ableitungen Multiplikationen macht, erreichen, wenn
$$ D^\alpha f \in L^1(\IR^n), \quad |\alpha| \leq n + 1.
$$
Ein im Kontext der Fouriertrafo sehr nützlicher Raum, in dem alle Funktionen diese Bedingungen erfüllen (sogar mehr), ist der Raum der Schwartzfunktionen.
Dieser ist trotz seiner restriktiven Definition sehr reichhaltig: Er ist ein dichter Teilraum von $L^1(\IR^n)$.

Viele Grüße
Torsten


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integraltransformationen' von piquer]

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wie viel Physik braucht man im Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-23
piquer
 


Interessant, ich dachte eigentlich, dass man sowas sicherlich irgendwo in der Industrie regelmäßig benutzt.
Sicherlich. Um in deinem Beispiel der Fahrzeugsimulation zu bleiben: Die Rechenzeit einer klassischen Simulation verteilt sich zu 80% auf das Erstellen der Geometrie und deren Vernetzung, 5% auf das Aufstellen des Gleichungssystems und 15% auf dessen Lösung. Demnach ist die eigentliche Rechenzeit der Methode nicht von Belang. Viel wichtiger ist, dass die Methode robust ist, d.h. auch noch bei verrauschten Daten verlässliche Ergebnisse liefert.

In Vorlesungen (und der akademischen Forschung) ist die Geometrie häufig sehr simpel und das Vernetzen geschickt innerhalb von Sekunden. Allerdings verbringt man viel Zeit damit, hochentwickelte numerische Verfahren zu entwickeln, die es häufig nie in die technische Anwendung schaffen.

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wie viel Physik braucht man im Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
piquer
 


Mit wie viel Physik muss ich bei sowas rechnen?
Du musst grundsätzlich zwischen der Modellierung eines physikalischen Prozesses / eines physikalischen Systems durch partielle Differentialgleichungen und deren Lösung durch numerische Verfahren, zusammengefasst unter dem Namen "wissenschaftliches Rechnen", unterscheiden.
Für ersteres brauchst du tatsächlich physikalisches/technisches Wissen. Ein klassisches Beispiel (das bei euch sicherlich behandelt wird), sind die Eulergleichungen (oder Navier-Stokes-Gleichungen) der Fluiddynamik. Diese beschreiben den Zustand eines Fluids durch Erhaltungsgleichungen, deren Existenz und genaue Form durch physikalische Annahmen gegeben sind. Die Mathematik spielt nur dahingehend eine Rolle, dass die Gleichungen in der Sprache der Mathematik geschrieben sind. Du kannst dich mit den Eulergleichungen beschäftigen, ohne zu wissen woher sie kommen. Aber das ist empfehlenswert, denn der physikalische Hintergrund liefert dir auch immer die Interpretation deiner numerischen Resultate.
Eine Zustandsgröße, die in den Eulergleichungen auftaucht, ist etwa die Massendichte. Aus dem physikalischen Verständnis heraus, sollte diese nie negativ sein (das lässt sich numerisch aber nicht immer gewährleisten). Gleiches gilt für den Druck.
Kurz gesagt: Ohne Physik geht es nicht, aber es ist andere Physik, als du sie aus der Schule kennst.


Wenn ich sowas später im Beruf mache, brauche ich dann ebenfalls sehr viel Physik ?
Selbst vermeintlich angewandte Dinge wie wissenschaftliches Rechnen sind für den Berufsalltag abseits der Unis und Institute immer noch zu verkopft, als dass es eine große Rolle in der Privatwirtschaft spielen würde.

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Determinante einer inversen Matrix  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
piquer
J


Vielleicht gebe ich das auch falsch ein, das glaube ich aber ehrlich gesagt nicht.
Die Funktion Pow[] (abkürzend ^) arbeitet elementweise, d.h. sie hebt jeden Eintrag in die entsprechende Potenz. Aus der Doku:

Power automatically threads over lists.
Was du brauchst, ist die Funktion MatrixPower[]. Mehr zu Matrixoperationen findest du in der Mathematica-Hilfe unter guide/MatrixOperations.

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: trewqtrewq
Warum werden Neumann Randbedingungen schwach vorgeschrieben?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
piquer
 

Hi,

das liegt an der Art, wie die schwache Formulierung hergeleitet, bzw. formuliert wurde. Ist $f \in \tilde H^{-1}(\Omega)$, so lässt sich die part. Differentialgleichung für $u \in H^1(\Omega)$ auch als
$$ - {}_{H^1}\langle v, \Delta u \rangle_{H^{-1}}
= {}_{H^1}\langle v, f \rangle_{H^{-1}},
$$ für alle $v \in H^1(\Omega)$ schreiben.
Hierbei bezeichnet ${}_{H^1}\langle \cdot, \cdot \rangle_{H^{-1}}$ die Auswertung eines linearen Funktionals über $H^1(\Omega)$ (Es ist $\tilde H^{-1}(\Omega) \cong \big( H^1(\Omega) \big)'$). Hier haben wir noch nichts über die Randbedingung gesagt. Deshalb müssen wir den Raum, aus dem $u$ stammt, noch weiter spezifizieren. Das führt dann auf deinen Raum $H^1_{D,N}$.

Die obige, direkte, Formulierung hat das Problem, dass die Dualitätsklammer zwischen $H^{-1}$ und $H^1$ schwer zu berechnen ist, da die Norm auf $H^{-1}$ globalen Charakter hat (sie ist über die Fouriertransformation definiert). Deshalb entschließt man sich zur partiellen Integration. Das hat in Hinblick auf die naive Formulierung mehrere Vorteile:

1. Aus der schwer berechenbaren Dualitätsklammer wird das anwendungsfreundliche $L^2$-Skalarprodukt.

2. Die Darstellung des Laplace-Operators wird symmetrisch.

3. Die Neumann-Randbedingungen lassen sich mittels partieller Integration in die Formulierung einarbeiten. In deinem speziellen Fall ist die Neumannrandbedingung $0$, sodass der entsprechende Randterm entfällt. Demnach reduziert sich der Raum zu $H^1_D$. Wie würden inhomogene Randbedingungen aussehen?

Die Dirichletbedingung lässt sich über einen Strafterm auch in die Variationsformulierung aufnehmen. Das hat in der Theorie keine Vorteile, kann sich aber bei gewissen numerischen Anwendungen auszahlen.

Viele Grüße
Torsten

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MatheBaerchen
Cholesky-Zerlegung: Warum muss die Matrix positiv definit sein?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
piquer
 

Hallo MatheBaerchen,

jede Matrix der Form $A = L L^T$ mit einer regulären unteren Dreiecksmatrix ist symmetrisch und positiv definit (Beweis). Der Satz über die Cholesky-Zerlegung hat die nichttriviale Aussage, dass dies die Menge der symmetrisch positiv definiten Matrizen vollständig beschreibt: Jede solche Matrix lässt sich in obige Form bringen.

Viele Grüße
Torsten



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Numerik & Optimierung' von piquer]

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: rlk
Antiquarische Bücher in elektronischer Form  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-10
piquer
 

Hallo Roland,

vielen Dank für den Link! Die Bücher von Abramowitz und Stegun kennt wohl jeder, der sich schon einmal in Forschung und Beruf mit speziellen Funktionen beschäftigt hat.
Die Bücher des Bateman-Projekts sind in meiner Wahrnehmung unbekannter, sind aber voll mit Reihenentwicklungen und wundersamen alternativer Darstellungen bekannter (und weniger bekannten) speziellen Funktionen.

Viele Grüße
Torsten

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: carlox
Ist in extrem verdünnten Gasen die Temperatur sinnvoll?  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-04
piquer
 


Wenn man unendlich viele Teile hat, dann muß das Gas nicht unverdünnt sein.
Wie meinst du das?


_Meine_ Annahme in _meinem_ Gedankenexperiment:
Es gibt nur endlich viele Gasmoküle (Kugeln), die einen Durchmesser > 0 haben und die irgendwie im Raum verteilt sind.
Wie dir jacha und ich schon erklärt haben, ist die Temperatur eine statistische Größe. Du kannst das Konzept nicht über deine deterministische Bewegung von endlich vielen Kugeln stülpen.


Wie ist dann die Temperatur (=Durchschnittsgeschwindigkeit) in einem Punkt definiert (vor allem bei sehr wenigen bzw. 0 Kugeln).
Siehe meine Erklärung zur kinetischen Theorie: Ist die Dichte 0, so kann man dort keine Temperatur definieren. Die Gleichung zur Bestimmung der Temperatur lautet einfach nur
$$ 0 = 0.
$$

 Wird in diesen Fällen eine Definition sinnlos?
Nicht sinnlos, sondern einfach nur nicht (wohl-) definiert.

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MaxIMP2415
Logarithmisches Potential berechnen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
piquer
 

Was weißt du über harmonische Funktionen? Den Fall $|\xi| > R$ kann man elegant mit deren Mittelwerteigenschaft ausrechnen.

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MaxIMP2415
Logarithmisches Potential berechnen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-25
piquer
 

Hi Max,

Aus welcher Menge stammt $\xi$?

Torsten


[Verschoben aus Forum 'Integration' in Forum 'Integration im IR^n' von piquer]

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: carlox
Ist in extrem verdünnten Gasen die Temperatur sinnvoll?  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24
piquer
 

Hallo zusammen,

im Kontext der Boltzmanngleichung ist es wenig sinnvoll, von Punkten im Raum zu sprechen, die ohne Teilchen sind.
Bei der Herleitung der Boltzmanngleichung geht man von einem Gas aus $N$ Teilchen $x_1, \dots, x_N$ aus, die nur miteinander wechselwirken, wenn sie sich näher als einen Abstand $d > 0$ kommen. Modelliert man die Wechselwirkung im Sinne von Billardkugeln, so ist $d$ gerade der Durchmesser der Teilchen. Die Aussage, dass das Gas verdünnt ist, bedeutet gerade, dass die Menge der Positionen, in denen Wechselwirkung stattfindet "sehr klein ist" (maßtheoretisch eine Nullmenge),
$$ F = \{ |x_j(t) - x_i(t)| < d; i,j=1,N \}.
$$ Soweit haben wir nur eine Beschreibung des Gases mithilfe der Newtonschen Gesetze. Um zur Boltzmanngleichung für die Verteilungsfunktion
$$ f : (0,\infty) \times \IR^3 \times \IR^3 \to (0, \infty)
$$ zu kommen, bedarf es des Grenzwerts $N \to \infty$. Das würde aber bedeuten, dass wir den gesamten Raum mit Teilchen ausfüllen. Deshalb muss auch $d$ schrumpften. Die spezielle Skalierung, die zur Boltzmanngleichung führt ist der Boltzmann–Grad–Grenzwert,
$$ N \to \infty, \quad d \to 0, \quad N d^2 = const.
$$ Hieraus (und dem Boltzmannschen Stoßzahlansatz) ergibt sich die Form der Boltzmanngleichung,
$$ \partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f, f)
$$ mit dem bilinearen Kollisionsoperator $Q$.
Die Konvergenz ist hier im Sinne von Maßen zu verstehen, d.h. die Interpretation von $f$ den den daraus abgeleiteten Größen ist die einer Wahrscheinlichkeitsgröße. $f$ gibt nur den "wahrscheinlichsten", nicht den exakten Zustands des Gases an. Genauer lässt sich zeigen, dass (unter bestimmten Vor.) die Lösungen der Newtonschen Bewegungsgleichungen unter Verwendung des Boltzmann–Grad–Grenzwerts "am wahrscheinlichsten" gegen die Lösung der Boltzmanngleichung konvergieren.

In diesem Sinne muss man sich bei der Beschreibung der Gasdynamik zuerst auf Annahmen einigen. Willst du nun Temperatur im Sinne der kinetischen Theorie diskutieren, so musst du akzeptieren, dass diese im Grenzwert unendlicher Teilchen hergeleitet wurde.
Physikalische Größen ergeben sich aus $f$ als Integrale über Geschwindigkeitsraum, etwa die Massendichte
$$ \rho(t, x) = m \int_{\IR^3} f(t,x,v) \, \text d v.
$$ Daraus abgeleitet auch die Temperatur über
$$ \frac{3}{2} R \rho(t,x) T(t,x) = m \int_{\IR^3} \frac{|v|^2}{2} f(t,x,v) \, \text d v,
$$ wobei $R$ die Gaskonstante ist.
Wenn also die Massendichte größer null in einem Punkt ist, so kannst du obige Gleichung direkt nach der Temperatur in _einem_ Punkt umstellen.

Die Arbeit von Lions die DiPerna hilft dir bei der Frage zur Temperatur wenig weiter. Dort werden spezielle renormalisierte, distributionelle Lösungen zur Boltzmanngleichung diskutiert.

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kingdingeling
Lokaler Fehler bei linearem Mehrschrittverfahren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23
piquer
 

Hi!


//Edit: Habe ich hier etwa übersehen, dass $x(t)$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet und deshalb hier eine $m x m$ Jakobi Matrix entsteht bei der Ableitung von $f$ nach $x$?
Ja, so ist es. Ich gehe davon aus, dass ihr das System
$$ x'(t) = f\big( x(t), t \big)
$$ für $x : [0, T] \to \IR^m$ und $f : \IR^n \times [0, T] \to \IR^m$ betrachtet. Dann ist für fixes $t$ $f(\cdot, t)$ eine vektorwertige Abbildung von $\IR^m$ nach $\IR^m$, weshalb ihre Linearisierung eine $m \times m$-Matrix ist. Die Einheitsmatrix ist nötig, da alle Komponenten von $\hat x_n$ mit $\alpha_{n0}$ multipliziert werden (erste Zeile in Definition 3.13), was sich in der Matrix-Vektor-Schreibweise in Lemma 3.14 in die Multiplikation mit der skalierten Einheitsmatrix übersetzt.

Viele Grüße
Torsten

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: th57
n-te Ableitung der momenterzeugenden Funktion  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23
piquer
J

Es gibt dazu einen sehr schönen Artikel auf dem Matheplaneten:

LinkGrundlegendes zur Normalverteilung

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Max0199
Massenmatrix Hutfunktionen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-20
piquer
 

EDIT: Mein Kommentar bezog sich auf ein anderes Bild.

Es ist viel einfacher als du denkst. Zeichne dir 25 Punkte als $5 \times 5$-Quadrat und zähle die Knoten ab, beginnend von oben links nach rechts unten.
 

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