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Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Partielle Differenzierbarkeit der Betragsfunktion  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
raede
 

Hallo Vercassivelaunos

Ich habe meine Antwort nochmals überarbeitet:

Sei $g = |xy|$. Wir unterscheiden folgende Fälle:

Fall 1:

Sei $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ wobei $x \neq 0$ oder$ y \neq 0$

Wir schreiben $g= \sqrt{x^2} \sqrt{y^2}$. Anwendung der Kettenregel:

$\frac{\partial g}{\partial x}= |y|\frac{x}{|x|}$ and $\frac{\partial g}{\partial y}= |x|\frac{y}{|y|}$

Da diese stetig sind, ist die Funktion differenzierbar $\forall(x,y) \in \mathbb{R}^2$ s.d $x \neq 0$ oder $y \neq 0$

Fall 2:

Wir beweisen, dass die Funktion im Ursprung differenzierbar ist.

Nun sei $(x,y)=(0,0)$:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h_1, 0 + h_2) - f(0,0)}{||h||}= \lim_{h \to 0} \frac{|h_1 h_2|}{||h||}$

Nun $\frac{|h_1 h_2|}{||h||} \le \frac{h_1^2+h_2^2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} =\sqrt{h_1^2+h_2^2}$

Und $\lim_{h \to 0}\sqrt{h_1^2+h_2^2}= 0$.

Nun muss ich aber folgende Fälle noch beachten: $(x,0)$  und $(0,y)$, wobei $x \neq 0$ und $y \neq 0$

Fall 3 $(0,y)$:

$\lim_{h \to 0} \frac{g(h,y)-g(0,y)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|hy|}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} |y|$. Dieser Grenzwert existiert nicht.

Fall 4 $(x,0)$:

Gleich wie Fall 3.






Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Partielle Differenzierbarkeit der Betragsfunktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
raede
 

Hallo Vercassivelaunos

Ich sehe den Fehler nur ein.

Die Ableitung lässt sich auch einfacher erkennen, wenn man anstelle $|x|$ einfach $\sqrt{x^2}$ schreibt. Danach muss man nur noch die Kettenregel anwenden.

Die Lösung der gesamten Aufgabe habe ich nun wie folgt zusammengefasst:

Sei $g = |xy|$. Man schreibe es wie folgt um $g= \sqrt{x^2} \sqrt{y^2}$. Anwendung der Kettenregel:

$\frac{\partial g}{\partial x}= |y|\frac{x}{|x|}$ and $\frac{\partial g}{\partial y}= |x|\frac{y}{|y|}$

Da diese stetig sind, ist die Funktion differenzierbar $\forall(x,y) \in \mathbb{R}^2 s.t. (x,y) \neq (0,0).$

Nun sei $(x,y)=(0,0)$:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h_1, 0 + h_2) - f(0,0)}{||h||}= \lim_{h \to 0} \frac{|h_1 h_2|}{||h||}$

Nun $\frac{|h_1 h_2|}{||h||} \le \frac{h_1^2+h_2^2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} =\sqrt{h_1^2+h_2^2}$

Und $\lim_{h \to 0}\sqrt{h_1^2+h_2^2}= 0$.

Nun muss ich aber folgende Fälle noch beachten: $(x,0)$  und $(0,y)$.

Fall 1 $(x,0)$:

$\lim_{h \to 0} \frac{g(h,0)-g(0,y)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|hy|}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} |y|$. This doesn't exist.

Fall 2 $(0,y)$:

Gleich wie Fall 1.


Also ist die Funktion differenzierbar $\forall(x,y) \in \mathbb{R}^2$ s.d. $(x,y) \neq (x,0) $ and $(x,y) \neq (0,y)$

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Partielle Differenzierbarkeit der Betragsfunktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
raede
 

Sei $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $g(x,y) = |xy|$. Finde alle $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ wo $g$ differenzierbar ist.

Ich habe versucht die partielle Differenzierbarkeit zu bestimmen:

$|\frac{g(x+h,y) - g(x,y)}{h}| = |\frac{|(x+h)y|-|xy|}{h}| \leq |\frac{(x+h)y-xy}{h}|=|y|$.

Die partielle Ableitung ist $\frac{\partial g}{\partial x}= |y|$. Auf gleicher Weise $\frac{\partial g}{\partial y}= |x|$.

Beide partiellen Ableitungen sind stetig. Aus diesem Grund ist die Funktion selber auch differenzierbar.

Gemäss den vorliegenden Lösungen stimmt dies nicht. Es gibt gewisse Punkte an denen dies nicht stimmt. Meine Frage ist, wo bei der Bestimmung der partiellen Differenzierbarkeit mein Fehler liegt?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Unstetigkeit mehrdimensionaler Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-17
raede
 

Hallo zusammen

Ich möchte bei folgender Funktion zeigen, dass die Funktion im Ursprung nicht stetig ist. Die Polarkoordinatendarstellung darf ich nicht verwenden.

\(f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}\) mit \(f(x,y) = 0\), wenn \((x,y) = (0,0)\) und \(f(x,y) = \frac{x y}{(x^2 + y^2)^2}\), wenn \((x,y) \neq 0\).

\(f(x,x) = \frac{1}{4x^2}\). Wähle ich nun die Folge \(x= \frac{1}{n}\) so erhalte ich \(\frac{n^2}{4}\). Was nicht gegen Null konvergiert.

Ist diese Argumentation richtig und ist es bei mehrdimensionalen Funktionen erlaubt die Funktion in den gleichen Variablen auszuwerten (in meinem Fall \((x,x)\)) und danach nach einer geeigneten Folge zu suchen, um die Nicht-Stetigkeit zu beweisen?

Vielen Dank für die Hilfe!

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.23 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Soeben korrigiert :) - vielen Dank!

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.21 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Müsste ich also $p,q$ explizit ausrechnen? Warum darf ich - da $p(m)=q(m)$ für unendliche viele $m$ gilt - daraus schliessen, dass $p(x)=q(x)$ für $x \in \mathbb{R}$?

Ich habe auf jeden Fall die Gleichung versucht zu vereinfachen:

$2m(m+1)(m+2)(m+3)...(m+d+1)= a_0(2m+1)(m+2)(m+3)...(m+d+1) +a_1(2m+1)(m+1)(m+3)...(m+d+1)+...+a_d(2m+1)(m+1)(m+2)...(m+d)$

Stimmt das? Dann erhalte ich für die rechte Seite überall 0, oder? Die linke Seite ist ungleich 0.


Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Wenn $p = q$ dann $p-q=0$ dann müsste für jedes $m \in \mathbb{N}$ $p-q$ Null ergeben.

Ich muss also ein $m \in \mathbb{N}$ finden, so dass $p-q$ nicht Null ergibt. Jedoch weiss ich von $p$ weder noch von $q$ die Koeffizienten.


Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

$p(m)$ und $q(m)$ müssen den gleichen Grad haben.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Auch wenn ich es ausschreibe:


$\frac{2}{2m+1} = \frac{a_0}{m+1} + \frac{a_1}{m+2}+\frac{a_3}{m+3}+...+ \frac{a_d}{m+d+1}$

erkenne ich leider nicht, wie ich $m \in \mathbb{N}$ wählen muss, damit die Gleichheit nicht stimmt.

Einen Grenzwert konnte ich ebenfalls nicht berechnen.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Ist $a_k$ ebenfalls fest? Sie ändert sich zwar bei jedem Summand, ist aber nicht frei wählbar,oder?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-21
raede
J

Ich habe $u'(g)$ als ein Polynom mit Grad $d$ gewählt. Wenn ich nun $d=1$ wähle, wären die beiden Lösungen nicht gleich. Oder?

Bilinearformen&Skalarprodukte
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Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
raede
J

Die Stammfunktion von $\int_0^1 t^m \sum \limits_{k=0}^{d}a_k t^k$ ist:

$\sum \limits_{k=0}^{d} \frac{a_k t^{m+k+1}}{m+k+1}$ Wenn ich das bestimmte Ingtegral nun auchrechne:

$\sum \limits_{k=0}^{d} \frac{a_k}{m+k+1}$. Dann ist das verschieden zum vorherigen Resultat und aus diesem Grund gibt es keine adjungierte Abbildung?

Bilinearformen&Skalarprodukte
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Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
raede
J

$(u(f), 1) = \int_0^1 \frac{2}{2m+1} 1 dt = \frac{2}{2m+1} $

$(f,u'(g)) = \int_0^1 t^m u'(g)$

Also $u'(g)$ betrachte ich als allg. Polynom. Das heisst:

$(f,u'(g)) = \int_0^1 t^m u'(g) = \int_0^1 t^m \sum \limits_{k=0}^{d}a_k t^k$

Stimmt das bis jetzt?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
raede
J

$\int_0^1 \frac{t^m}{\sqrt{t}}dt$ vereinfacht wäre doch: $\int_0^1 t^{m-\frac{1}{2}}$ und dies ausgerechnet wäre: $\frac{2}{2m+1}$

Ich sehe aber noch nicht, wie ich $(f,u'(g))$ ausrechnen kann.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
raede
J

Dann habe ich folgendes:

\((u(f), g) = (\int_0^1 \frac{t^m}{\sqrt{t}}dt,g) = \int_0^1 \frac{t^m+\frac{1}{2}}{m+\frac{1}{2}}\)

\((f, u'(g)) = \int_0^1f(t) u'(g)\)

Kann ich hier weiter ohne \(u'\) zu kennen?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: raede
Adjunkte einer linearen Abbildung im unendlichdimensionalem Raum  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
raede
J

Sei \(E\) ein unendlich-dimensionaler Vektorraum und \(u \in L(E)\). Bestimme für den folgenden Fall, ob \(u\) eine Adjunkte bzgl. der Bilinearform \(\phi (x,y) \) hat.

$E = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f $ ist ein Polynom $\}$,

$\phi(f,g) = \int_0^1 f(t)g(t) dt$

$u(f) = \int_0^1 \frac{f(t)}{\sqrt{t}}dt$


Um zu überprüfen, ob es eine Adjunkte hat, muss folgendes gelten:

$(u(f), g) = (f, u'(g))$

Also:

$(u(f), g) = \int_0^1 (\int_0^1 \frac{f(t')}{\sqrt{t'}}dt')g(t) dt = \int_0^1 \frac{f(t')}{\sqrt{t'}} dt' \cdot\int_0^1g(t)dt$

und

$(f,u'(g)) = \int_0^1f(t)u'(g)dt$.


Wie müsste ich nun vorgehen, um zu überprüfen, ob $u'$ existiert?

Integration
  
Thema eröffnet von: raede
Stammfunktion berechnen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-04
raede
J

Vielen Dank, ich sehe es nun :) !

Wir haben die rekursive Formel nun.

Integration
  
Thema eröffnet von: raede
Stammfunktion berechnen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-03
raede
J

Hallo Thomas

Vielen Dank für Deine hilfreiche und sehr ausführliche Antwort. Dies hat mir sehr geholfen.

Die Benennung der Koeffizienten hat mich am Anfang verwirrt, dies ist bestimmt nicht optimal.

Folgende Fragen sind bei mir offen:

1) Wie kamst du auf die Idee \(y=x+ \frac{1}{2}b\) zu setzen?

2) Betrachte ich das Integral: \(\int\frac{1}{2}y \frac{2y}{(y^2+a^2)^{\mu}} dy\). Kann ich das wie folgt umschreiben:

\(\int \frac{1}{2}y(\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1- \mu})'dy\), wobei \(\mu \neq 1\).

Gemäss der partiellen Integration ergibt das:

\(\frac{1}{2}y\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}-\frac{1}{2}\int\frac{(y^+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}dy\).

Wie kann ich das letztere Integral weiter mit der partiellen Integration vereinfachen, um auf eine rekursive Beschreibung zu schliessen?

Vielen Dank nochmals für die Hilfe!

Integration
  
Thema eröffnet von: raede
Stammfunktion berechnen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-02
raede
J

@DerEinfaeltige

1. Falls c nicht grösser als b^2/4 wäre, würde ich die Wurzel einer negativen Zahl ziehen. Das habe ich zumindest bemerkt bei der Berechnung des Integrals für \(\mu = 1\).

Gemäss Aufgabenstellung soll ich eine rekursive Formel finden.

Soll ich für \(\mu = 1, \mu =2 \) die Stammfunktionen berechnen und von dem aus eine rekursive Formel finden?

Integration
  
Thema eröffnet von: raede
Stammfunktion berechnen  
Themenstart
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raede
J

Hallo zusammen

Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich bei folgender Aufgabe die Stammfunktion berechne?

\(\frac{(dx+e)}{(x^2+bx+c)^\mu}, \mu \in \mathbb{N_{\ge1}}, d,e,b,c \in \mathbb{R} , c > \frac{b^2}{4}\)

Vielen Dank!
 

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