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Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-10 23:30
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-10 13:10 - Pukiluu in Beitrag No. 17 schreibt:
Hi nochmal,
Also, ich hab jetzt nochmal ein wenig darüber nachgedacht, so wie ich das jetzt sehe ist die Lösung recht simpel.
ja, nachdem wir ein paar Missverständnisse aufgeklärt haben. Du hast noch einen Fehler, auf den ich unten eingehen werde. Zu Deinen Fragen aus Beitrag 16 werde ich später noch etwas schreiben.
(2021-01-10 13:10 - Pukiluu in <a href=viewtopic.php?
Damit erhalte ich die gesuchte Übertragungsfunktion zu

\[F\left(s\right)=\frac{\Delta H\left(s\right)}{\Delta U\left(s\right)}=\frac{1}{A}\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{\left(k_zT_a-k_ak_jT_z\right)s+k_z-k_ak_j}{T_aT_z\ s^2+\left(T_a+T_z\right)s+1}\]
Jetzt kann ich im Zähler beim ersten Term den Faktor $s$ eliminieren, der zweite Term soll verschwinden um ein PT2-Verhalten zu erzeugen,
Nein, denn im Nenner steht noch ein Faktor $s$, den es bei der Übertragungsfunktion eines PT2-Systems nicht gibt. Ist das durch $F(s)$ beschriebene System stabil? Welcher Term im Zähler muss verschwinden und was bedeutet das für die Wahl von $k_j$?
2021-01-10 13:10 - Pukiluu in Beitrag No. 17 schreibt:
Jetzt bleibt mir nur noch eine Verständnissfrage: Wenn die Übertragungsfunktion so korrekt ist verbleibt mit eine Übertragungsfunktion, die nie null wird. Das ganze bedeutet, das sich das Volumen im Becken ja verändert wenn ich das System starte.
Das ist aber nicht schlimm, da sich nach einiger Zeit (Stichwort Zeitkonstante) ein konstanter Wert eingestellt hat. Wichtig ist dann nur, dass dieser Wert innerhalb der erlaubten Parameter liegt, also das Becken in der Zeit bis zum konstanten Zustand weder überläuft noch die Auslasspumpe trocken läuft, korrekt?
Das ist eine wichtige Frage, die mit der Stabilität zusammenhängt. Was meinst Du mit dem Starten des Systems?

Servus,
Roland

Elektrodynamik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pi_Ist_Genau_3
Divergenz der Magnetischen Flussdichte  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-09 00:41
rlk
 

Hallo Pi_Ist_Genau_3,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Wegen der Zylindersymmetrie bieten sich hier Zylinderkoordinaten an, die Formel für $\operatorname{div}\vec{B}$ lautet [1,(4.6)]
$$\operatorname{div}\vec{B}=\nabla\cdot\vec{B}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho B_\rho}{\partial\rho}+\frac{\partial B_\varphi}{\partial\varphi}+\rho \frac{\partial B_z}{\partial z}\right) \qquad(4.6)$$ In Deinem Beispiel sind $B_\rho = B_z = 0$ und $B_\varphi$ hängt nur von der Radiuskoordinate $\rho$ (Dein $r$) ab, daher verschwindet $\operatorname{div}\vec{B}$ auch hier.

[1] Wie "krümme" ich Nabla und Delta ? (I) von KingGeorge

Servus,
Roland

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Momentenfunktional
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-08 22:57
rlk
 

Hallo Momentenfunktional,
danke, dass Du den Beweis skizziert hast, ich werde ihn mir in Ruhe ansehen, aber auf den ersten Blick sieht er gut aus.
2021-01-08 16:32 - Momentenfunktional in Beitrag No. 10 schreibt:
Meine Frage bezieht sich nun direkt auf den ersten Teil des Beweises, wobei die Gleichung als einziges vom Buch vorgegeben wurde:
\(a_{nk} = \lambda_1\cdot \lim_{x \to x_{nk}}\frac{\left ( x-x_{nk} \right )P_{n-1}^{\left ( 1 \right )}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \frac{\lambda_1P_{n-1}^{\left ( 1 \right )}\left ( x_{nk} \right )}{P'_n\left ( x_{nk} \right )}\)
Es geht also um die Koeffizieten \(a_{nk}\) die wird in der Partialbruchzerlegung haben. Mir ist nicht ganz klar wie die Gleichung vom mit dem Limes zu Stande kommt und warum dann die Ableitung im Nenner steht.
Die erste Gleichung ergibt sich, indem man die rationale Funktion mit $(x-x_{nk})$ multiplizierst. Die Partialbrüche für die anderen Nullstellen $x_{nm}, m\neq k$ verschwinden, wenn Du den Grenzübergang ausführst, weil sie für $x=x_{nk}$ stetig sind. Der Partialbruch zu $x_{nk}$ liefert den Term
$$\lim_{x\to x_{nk}}\frac{(x-x_{nk}) a_{nk}}{x-x_{nk}}=a_{nk}$$
2021-01-08 16:32 - Momentenfunktional in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich weiß das die Nullstellen von \(P_n\) einfach und reell sind, jedoch hatte ich in meiner Ana-VL keine Formel für die Partialbruchzerlegung welche einen Limes enthält.
Es geht also konkret um die Gleichung \(\lambda_1\cdot \lim_{x \to x_{nk}}\frac{\left ( x-x_{nk} \right )P_{n-1}^{\left ( 1 \right )}\left ( x \right )}{P_n\left ( x \right )} = \frac{\lambda_1P_{n-1}^{\left ( 1 \right )}\left ( x_{nk} \right )}{P'_n\left ( x_{nk} \right )}\)
Wenn du mir da nochmal weiterhelfen könntest?
Unter der vorläufigen Annahme, dass die Grenzwerte existieren folgt aus der Stetigkeit von $P^{(1)}$ zunächst
\[\lambda_1\cdot\lim_{x \to x_{nk}}\frac{\left(x-x_{nk}\right) P_{n-1}^{\left(1\right)}\left(x \right )}{P_n\left(x\right)} =
\lambda_1\cdot P_{n-1}^{\left(1\right)}(x_{nk})\cdot\lim_{x\to x_{nk}}\frac{\left(x - x_{nk}\right)}{P_n\left(x\right)}=
\lambda_1\cdot P_{n-1}^{\left(1\right)}(x_{nk})\cdot\lim_{x\to x_{nk}}\frac{\left(x - x_{nk} \right)}{P_n\left(x\right) - P_n\left(x_{nk}\right)}\] Der Grenzwert auf der rechten Seite ist der Kehrwert des Differentialquotienten an der Stelle $x=x_{nk}$, wegen der einfachen Nullstellen ist $P'_n(x_{nk})\neq 0$ und der Kehrwert und damit der Grenzwert sind definiert.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-08 22:26
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-08 17:22 - Pukiluu in Beitrag No. 14 schreibt:
Guten Abend Roland,
2021-01-08 10:43 - rlk in Beitrag No. 13 schreibt:
Ja, nur würde ich die linke Seite $\Delta v(t)$ nennen, um die Konvention, dass Größen im Zeitbereich mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden, durchgängig einzuhalten.
Puh, ein Volumen mit $v(t)$ zu kennzeichnen, ich glaube mein Physiklehrer würde mich erschlagen, mit ordentlicher Geschwindigkeit 😂
Ein richtiger Physiker ist da toleranter 😉
Das $v(t)$ ist ein Nachteil, aber ich wollte konsequent Größen im Zeitbereich mit Klein- und im Frequenzbereich mit den entsprechenden Großbuchstaben bezeichnen. Das $\Delta$ habe ich unberührt gelassen.
Ein anderes Problem ist die Ähnlichkeit der Frequenzvariablen $s$ mit der Einheit Sekunde, die mit $\mathrm{s}$ abgekürzt wird. In der deutschsprachigen Literatur wird die Frequenzvariable oft mit $p$ bezeichnet, was diesen Konflikt vermeidet.
2021-01-08 17:22 - Pukiluu in Beitrag No. 14 schreibt:
Spaß mal beiseite: Nachdem ich jetzt ne lange Antwort geschrieben hatte glaube ich, das was Klick gemacht hat. Um das Integral
\[\int \Delta q(t)dt\] zu transformieren kann ich doch den Differentationssatz rückwärts nutzen, wenn ich mich gerade nicht vertan habe gilt der natürlich in beide Richtungen und das Volumen ist total einfach zu bestimmen:
\[\Delta V(s)=\frac{\Delta Q(s)}{s}\] Kann es etwa wirklich so einfach sein? 😲
Ja, wobei aus der Korrespondenz $\mathcal{L}f(t)=F(s)$ die Korrespondenzen
$$\mathcal{L}\int_0^t f(t')\mathrm{d}t'=\frac{F(s)}{s}$$ für das bestimmte Integral und
$$\mathcal{L}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=s F(s) - \lim_{t\nearrow 0} f(t)$$ für die Ableitung.
2021-01-08 17:22 - Pukiluu in Beitrag No. 14 schreibt:
Und zum zweiten Thema wie man auf dieses zerteilen kommt:
2021-01-08 10:43 - rlk in Beitrag No. 13 schreibt:
Übertragungsfunktionen sind das Verhältnis der Laplace-Transformierten von Ausgangsgröße und Eingangsgröße des betrachteten Systems, welche sind das jeweils für $F_1, F_2$ und $F$?
[...]
Vielleicht hilft es Dir, wenn Du die Übertragungsfunktionen $F_1, F_2$ und $F$ als Blockschaltbilder (ohne innere Details) darstellst? Wie hängen sie zusammen?

Ich muss gestehen das uns diese Aufgabe in dem Punkt massiv verunsichert, auch weil das ja für die später geforderte Simulierung in MATLAB/ Simulink wichtig ist. Gefordert ist ja eine Funktion mit der Eingangsgröße $u(t)$ und der Ausgangsgröße $h(t)$, bzw. $v(t)/A$, dies wäre $F$.
Kurz und salopp formuliert: Da $u(t)$ aber nicht $v(t)$ beeinflusst sondern im Zwischenschritt die Pumpen ansteuert erhalte ich die Unterteilung in $F_1$ und $F_2$: Spannung steuert Pumpe ($F_2$) und Pumpe steuert Volumen ($F_1$). Beides verketten (sprich multiplizieren im Frequenzbereich) und fertig.
Genau. Vielleich findest Du den Artikel [1] in der Bibliothek, dort werden Blockschaltbilder relativ ausführlich beschrieben, wenn ich mich recht erinnere (es ist lange her, dass ich den Artikel gelesen habe).
2021-01-08 17:22 - Pukiluu in Beitrag No. 14 schreibt:
Vielleicht habe ich jetzt wirklich ein wenig das Gefühl so langsam zu verstehen was in der Aufgabe passiert - schaun wa ma 😅
Mit dem richtigen $F(s)$ kannst Du wieder versuchen, $k_j$ zu bestimmen, damit $F(s)$ ein stabiles PT2-System wird.

Es macht Spaß, Deine Fortschritte zu sehen.

[1] BLOCK DIAGRAMS - TUTORIAL ALTERNATIVE TO DYNAMICAL ANALOGIES
    By:PREIS, Douglas
    IEEE TRANSACTIONS ON EDUCATION
    Volume: 19 Issue: 4 Pages: 143-148
    DOI: 10.1109/TE.1976.4321077
    ieeexplore.ieee.org/abstract/document/4321077

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-08 10:43
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Hi Roland,
Ich muss gestehen, ich glaube so langsam komm ich nicht mehr mit.
keine Sorge, wir schaffen  das 😉
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Wie kommt man denn auf die Übertragungsfunktion der Form
2021-01-06 20:00 - rlk in Beitrag No. 11 schreibt:
$$F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=\frac{\Delta V(s)}{A\Delta Q(s)}\cdot\frac{\Delta Q(s)}{\Delta U(s)}$$

Ich habe es soweit zusammen, dass ich Die Höhenänderung suche, welche sich dank konstanter Fläche einfach über die Volumenänderung ergibt, das wäre eine Übertragungsfunktion der Form
\[F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=\frac{\Delta V(s)}{A}\cdot\frac{1}{\Delta U(s)}\] Klar ist es mathematisch einleuchtend, dass ich hier mit $\Delta Q(s)$ erweitern kann, ich verstehe nur noch nicht so ganz warum man das macht bzw. was das bewirken soll.
wie Du erkannt hast, habe ich mit $\Delta Q$ erweitert, um die im Themenstart mit $G(s)$, in Beitrag 12 mit $F_2(s)$ bezeichnete Übertragungsfunktion $\Delta Q/\Delta U$ verwenden zu können, statt wie in Beitrag 10 wieder mit den Differentialgleichungen von vorne zu beginnen.
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Davon ab:
2021-01-06 20:00 - rlk in Beitrag No. 11 schreibt:
Den letzten Quotienten hast Du im Themenstart schon richtig berechnet und mit $G(s)$ bezeichnet. Allerdings hast Du dort den Volumenstrom $\Delta V$ statt $\Delta Q$ genannt, was ungünstig ist, weil uns dann $\Delta v$ für das Volumen und $\Delta V$ für dessen Laplace-Transformierte fehlt.

Hier hatte ich leider vergessen, den Volumenstrom in ein Volumen zu überführen, das war also wirklich als echte Gleichheit zum $\Delta$ Volumen gedacht, was natürlich falsch ist.
Mit der Schreibweise $\Delta Q=\Delta Q_{zu}-\Delta Q_{ab}$ komme ich aber natürlich auf den hinteren Term.
Um es einheitlich zu machen bezeichne ich die Funktionen mal gemäß
\[F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=F_1(s)\cdot F_2(s)\quad(1)\] Demnach wäre
\[F_2(s)=\frac{\Delta Q(s)}{\Delta U(s)}=\frac{(k_zT_a-k_ak_jT_z)s+k_z-k_ak_j}{T_aT_zs^2+(T_a+T_z)s+1}\] Das ergibt sich mir klar aus den beiden gegebenen DGL und der Betrachtung der Summe der Volumenströme. Salopp gesagt ist $F_2(s)$ damit ja die Angabe, ob insgesamt ein Volumenstrom in das Becken vorliegt ($F_2(s)>0$), ein Volumenstrom aus dem Becken heraus erfolgt ($F_2(s)<0$) oder ob sich Ein- und Auslass ausgleichen und das Volumen im Becken unverändert bleibt ($F_2(s)=0$).

2021-01-06 20:00 - rlk in Beitrag No. 11 schreibt:
Für den fehlenden Faktor $\frac{\Delta V(s)}{\Delta Q(s)}$ musst Du nur die Gleichung aus Beitrag Beitrag 8 transformieren.
Du meinst die Gleichung
\[\Delta V(t)=\int \Delta q_z(t)-\Delta q_a(t) dt\] oder?
Ja, nur würde ich die linke Seite $\Delta v(t)$ nennen, um die Konvention, dass Größen im Zeitbereich mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden, durchgängig einzuhalten. Mit $\Delta q(t)=\Delta q_{z}(t)-\Delta q_{a}(t)$ stellt die Gleichung
\[\Delta v(t)=\int \Delta q(t) \mathrm{d}t\] ein System mit der Eingangsgröße $\Delta q(t)$ und der Ausgangsgröße $\Delta v(t)$ dar. Durch geeignete Wahl von $\Delta v(0)$ können wir die rechte Seite als bestimmtes Integral schreiben und erhalten
\[\Delta v(t)=\int_0^t \Delta q(t') \mathrm{d}t'\quad(2)\] Wenn wir diese Gleichung transformieren, erhalten wir die Übertragungsfunktion $F_2(s)$, die wir in $(1)$ einsetzen  können um $F(s)$ zu erhalten.
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Und jetzt bin ich endgültig raus:

Ich dachte bisher, die gesuchte $F(s)$ erhalte ich, indem ich die Volumenstrombilanz aufstelle, also:
\[\Delta q_{Becken}(t)=\Delta q_{zu}(t)-\Delta q_{ab}(t)\] Jetzt suche ich als nächstes das Volumen, also muss ich beide Seiten integrieren und erhalte
\[\Delta V(t)=\int \Delta q_z(t)-\Delta q_a(t) dt\] Jetzt stellen sich mir zwei Fragen: Du sagst als Ergebnis wenn ich das rechte Integral ausrechne und transformiere erhalte ich $F_1(s)$ und nicht $F(s)$ - da verstehe ich wie gesagt noch nicht warum.
Übertragungsfunktionen sind das Verhältnis der Laplace-Transformierten von Ausgangsgröße und Eingangsgröße des betrachteten Systems, welche sind das jeweils für $F_1, F_2$ und $F$?
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Die andere Frage ist: Links müsste ich ja eigentlich etwas wie $\Delta V(t) + \Delta V_0$ erhalten. Ist die Integrationskonstante hier einfach das was mir noch fehlte (und du mit fehlendem Term in Beitrag No. 3 meintest)?
Die Integrationskonstante kann man eliminieren, wie ich das oben angedeutet habe. Sie wäre ein additiver Term, kein Faktor und würde stören. Das ist auch ein Grund, mit den Abweichungen $\Delta U$ usw. zu rechnen.
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Oder ist das fehlende Startvolumen im Delta quasi bereits inbegriffen gemäß $\Delta V(s)=V_0+V(s)$?

Und zuletzt bleibt natürlich für mich das Problem, dass ich das Integral auf der rechten Seite zwar berechnen kann, dann erhalte ich aber die Stammfunktion von $u(t)$, welche ich zur Abgrenzung von der transformierten Funktion $U(s)$ mal als $\tilde{U}(t)$ bezeichne:
\[\Delta V(t)=\int \Delta q_z(t)-\Delta q_a(t) dt\] \[\Delta V(t)=\int (k_z-k_ak_j)(u_0+u(t))-T_z\dot{q_z}(t)+T_a\dot{q_a}(t) dt\] \[\Delta V(t)=(k_z-k_ak_j)u_0\cdot t+(k_z-k_ak_j)\tilde{U}(t))-T_zq_z(t)+T_aq_a(t)\]
Das kann ich natürlich transformieren:
\[\Delta V(s)=\frac{(k_z-k_ak_j)u_0}{s^2}+(k_z-k_ak_j)\tilde{U}(s))-T_zQ_z(s)+T_aQ_a(s)\]
Das ist aber nun eine Funktion der Form $\frac{\Delta V(s)}{\tilde{U}(s)}$ und nicht das gesuchte $\frac{\Delta V(s)}{\Delta U(s)}$. Ich habe unterwegs quasi das gesuchte Delta verloren und jetzt die Stammfunktion $\tilde{U}(s)$ in der Gleichung stehen - das wird also kaum richtig sein, oder? (Bzw es ist nicht das gesuchte?)
Es ist nicht zweckmäßig, die Linearisierung wieder rückgängig zu machen und mit $u_0$ und $u$ zu rechnen. Auch hast Du wieder $\color{red}{u_0+u}$ statt $u-u_0$ eingesetzt.
Die Laplace-Transformation erspart Dir die Berechnung des Integrals, wie sieht die Transformierte von $(2)$ aus?
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Und wenn ich das einsetzen würde hätte ich ja auf einmal einen Nenner der Ordnung 4, das ist dann definitiv kein PT2-Verhalten mehr ^^
Mi der richtigen Rechnung erhältst Du einen Nenner mit dem Grad 3, der die richtige Wahl von $k_j$ klar machen sollte.
2021-01-07 07:47 - Pukiluu in Beitrag No. 12 schreibt:
Vielleicht verstehst du ja jetzt wo ich meine Probleme habe. Aber vielleicht hat ja auch einer meiner Kommilitonen mittlerweile Verstanden wo das Problem liegt, mal schauen ^^
Ich hoffe, dass ich verstehen, wo Du Schwierigkeiten hast. Vielleicht hilft es Dir, wenn Du die Übertragungsfunktionen $F_1, F_2$ und $F$ als Blockschaltbilder (ohne innere Details) darstellst? Wie hängen sie zusammen?

Servus,
Roland

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Momentenfunktional
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-07 21:35
rlk
 

Hallo Momentenfunktional,
es freut mich, dass Dir der Beweis geglückt ist. Willst Du ihn vielleicht hier aufschreiben oder zumindest skizzieren, damit andere davon lernen können?
Natürlich kannst Du noch Fragen stellen. Wenn sie zur ursprünglichen Frage passen, hier ansonsten in einem neuen Gesprächsfaden.

Auf dem Matheplaneten duzen wir einander.

Servus,
Roland

Signale und Systeme
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Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-06 20:00
rlk
J

Hallo Pukiluu,
die Übertragungsfunktion ist eine Größe, die im Frequenzbereich definiert ist, wir suchen hier das Verhältnis
$$F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=\frac{\Delta V(s)}{A\Delta Q(s)}\cdot\frac{\Delta Q(s)}{\Delta U(s)}$$ Den letzten Quotienten hast Du im Themenstart schon richtig berechnet und mit $G(s)$ bezeichnet. Allerdings hast Du dort den Volumenstrom $\Delta V$ statt $\Delta Q$ genannt, was ungünstig ist, weil uns dann $\Delta v$ für das Volumen und $\Delta V$ für dessen Laplace-Transformierte fehlt.

Für den fehlenden Faktor $\frac{\Delta V(s)}{\Delta Q(s)}$ musst Du nur die Gleichung aus Beitrag Beitrag 8 transformieren.

Die korrekte Beziehung zwischen $h$ und $\Delta h$ ist
$$\Delta h(t)=h(t)-h_0$$
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-05 23:03
rlk
J

Hallo Pukiluu,
Du hast den Zusammenhang zwischen Volumen und Volumenstrom richtig beschrieben, damit kannst Du die gesuchte Übertragungsfunktion $F(s)$ bestimmen.

Die Linearisierung ist notwendig, damit das System durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden kann. Solche Systemen können mit Hilfe der Laplace-Transformation untersucht werden.

In dem Beispiel sind etwa die beiden Pumpen nur näherungsweise linear. Eine noch stärkere Nichtlinearität wird durch den Ansaugstutzen verursacht: sobald der Wasserspiegel $h$ unter den Wert $2.4~\mathrm{m}$ fällt, wird der Volumenstrom $q_a = 0~\mathrm{m^3/s}$ unabhängig von der Steuerspannung $u$. Für welche Werte von $\Delta h$ kann ein lineares Verhalten eine brauchbare Näherung sein?

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Parametrisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-05 15:29
rlk
 

Hallo Pukiluu und andere Leser,
die Aufgabe wird in
LinkCharakterisierung einer Regelstrecke
diskutiert. Ich sperre hier ab.

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-05 15:26
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-05 13:28 - Pukiluu in Beitrag No. 6 schreibt:
Hi Roland,
Danke für die Antwort, aber ich muss gestehen, das ich jetzt wieder ein wenig verwirrt bin. Auf jeden Fall ist schonmal klar, das ich vergessen habe die Volumenströme auf die entsprechende Volumen- und damit Höhenänderung zurückzuführen.
bitte, es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. Mit "Änderung" bist Du auf einer guten Spur, um den Zusammenhang zwischen Volumen und Volumenstrom angeben zu können.
2021-01-05 13:28 - Pukiluu in Beitrag No. 6 schreibt:
Unklar ist aber für mich, was du hiermit meinst:
2021-01-04 22:27 - rlk in Beitrag No. 5 schreibt:
2021-01-04 17:40 - Pukiluu in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, dann mal kurz wie ich auf die Funktion komme:
II
Jetzt denke ich gerade mal an deine Anmerkung
2021-01-03 21:23 - rlk in Beitrag No. 3 schreibt:
In der Übertragungsfunktion fehlt ein nicht konstanter Faktor. Beachte den Unterschied zwischen Volumen und Volumenstrom.
Die Änderung der Höhe ergibt sich dann zu
\[\Delta h(t)=\frac{\Delta q_z(t)-\Delta q_a(t)}{A}\cdot t=\frac{k_z\Delta u(t)-T_z\Delta\dot{q_z}(t)-k_ak_j\Delta u(t)+T_a\Delta\dot{q_a}(t)}{A}\cdot t\] Da ich den Volumenstrom mit der Zeit multiplizieren muss, in der er fließt, um die Volumensänderung zu erhalten.
Das stimmt nur bei konstantem Volumenstrom. Wie sieht der Zusammenhang für zeitlich veränderlichen Volumenstrom aus? Damit vereinfacht sich auch die Bestimmung der Laplace-Transformierten.
Nur nochmal zur Sicherheit ein andere Frage vorweg: ist es überhaupt korrekt, einfach mit \(t\) zu multiplizieren, oder müsste ich nicht eigentlich mit \(\Delta t\) multiplizieren?
Nein, die Multiplikation mit $t$ gilt nur für den Fall konstantem Volumenstroms. Die Größe $\Delta t$ ist bisher undefiniert, das hängt vermutlich mit einem Missverständnis der Bedeutung von $\Delta$ zusammen, auf das ich weiter unten eingehen werde.
2021-01-05 13:28 - Pukiluu in Beitrag No. 6 schreibt:
Zu deiner Antwort: Die Funktionen für Volumenstrom (und damit die Ableitung) und die Eingangsspannung sind ja erstmal zeitabhängig und nicht näher bekannt. Oder meinst du den Übergang \(\Delta\to 0\) und damit in der Funktion den Übergang \(\Delta\to\frac{\partial}{\partial t}\)?
Das Symbol $\Delta$ wird hier verwendet, um die Differenzen der Größen $h, q_z, q_a, U$ von den jeweiligen Arbeitspunkten zu bezeichnen. Zum Beispiel ist $h = h_0 + \Delta h$ die Höhe des Wasserspiegels im Sedimentationsbecken. Ein alleinstehendes $\Delta$ hat hier keine Bedeutung, man kann daher auch keinen Grenzübergang $\Delta \to 0$ untersuchen.
2021-01-05 13:28 - Pukiluu in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn das wirklich das von dir gemeinte ist, müsste ich die Ableitung dann nicht nur auf den Term direkt hinter dem \(\Delta\) beziehen, also nur auf \(h(t)\), \(q(t)\) und \(u(t)\)? Dann ändert sich ja nichts hinsichtlich der Einfachheit, die Laplacetransformierte zu berechnen.
Das Argument stimmt nicht, aber das Ergebnis ist richtig: weil die Arbeitspunkte zeitlich konstant sind, sind die Ableitungen im Gültigkeitsbereich der Linearisierung gleich.
Leitet man
$$h(t)=h_0 + \Delta h(t)$$ nach der Zeit $t$ ab, erhält man
$$\dot{h}(t)=\dot{\Delta h}(t)$$
2021-01-05 13:28 - Pukiluu in Beitrag No. 6 schreibt:
Oder den Faktor \(t\) mit einbeziehen und Produktregel anwenden? Dann könnte natürlich bei der partiellen Integration was wegfallen.
Wie gesagt ist die Multiplikation mit $t$ falsch. Vielleicht hilft Dir die Analogie mit Weg und Geschwindigkeit, die den gleichen Zusammenhang haben wie Volumen und Volumenstrom.

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Primzahl13
Rechenschema Diskrete Faltung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-05 12:51
rlk
 

Hallo Lukas,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Kannst Du etwas über Deine Vorkenntnisse schreiben, dann können wir gezielter helfen.

Meinst Du mit dem Rechenschema etwa dieses?
www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/zeitdiskrete-systeme-im-zeitbereich/berechnung-der-systemantwort-ueber-die-faltungssumme/grafische-interpretation-der-faltungssumme.html
Zwei Beispiele findest Du in
LinkDiskrete Faltung

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland


Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-04 22:27
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-04 17:40 - Pukiluu in Beitrag No. 4 schreibt:
2021-01-03 21:23 - rlk in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Gleichzeitig sollte natürlich das Becken weder über- noch leerlaufen, weshalb der Volumenstrom eigentlich \(\Delta V=0\) sein sollte, womit
\[k_j=\frac{k_z}{k_a}=0,8\] sein müsste - beides gleichzeitig geht allerdings nicht.
Diese Gleichung ergibt sich, wenn Du den konstanten Term im Zähler gleich Null setzt. Was meinst Du mit mit "beide gleichzeitig"?

Ich bin bisher davon ausgegangen, dass meine Übertragungsfunktion korrekt ist, und das dabei zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
1) Damit ein PT2-Verhalten vorliegt soll der Zähler konstant, sprich unabhängig von \(s\) sein.
2) Damit sich das Flüssigkeitsvolumen respektive die Wasserhöhe im System nicht ändert sollte die Übertragungsfunktion insgesamt Null sein, ergo der gesamte Zähler null sein.
Das bedeutet für 1) muss \(k_j=0\mathord,2\) gelten und für 2) wäre unter der Annahme, das wir ein PT2 Verhalten ohne den \(s\)-Term im Nenner haben das Ergebnis \(k_j=0\mathord,8\) - das wäre ja ein Widerspruch.
Das ist kein Widerspruch, sondern die Tatsache, dass mit einer Variablen nicht zwei unabhängige Bedingungen erfüllt werden können. Deine Übertragungsfunktion $\frac{\Delta Q(s)}{\Delta U(s)}$ ist zwar richtig, aber nicht die gesuchte
$$ F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}$$
2021-01-04 17:40 - Pukiluu in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, dann mal kurz wie ich auf die Funktion komme:
II
Jetzt denke ich gerade mal an deine Anmerkung
2021-01-03 21:23 - rlk in Beitrag No. 3 schreibt:
In der Übertragungsfunktion fehlt ein nicht konstanter Faktor. Beachte den Unterschied zwischen Volumen und Volumenstrom.
Die Änderung der Höhe ergibt sich dann zu
\[\Delta h(t)=\frac{\Delta q_z(t)-\Delta q_a(t)}{A}\cdot t=\frac{k_z\Delta u(t)-T_z\Delta\dot{q_z}(t)-k_ak_j\Delta u(t)+T_a\Delta\dot{q_a}(t)}{A}\cdot t\] Da ich den Volumenstrom mit der Zeit multiplizieren muss, in der er fließt, um die Volumensänderung zu erhalten.
Das stimmt nur bei konstantem Volumenstrom. Wie sieht der Zusammenhang für zeitlich veränderlichen Volumenstrom aus? Damit vereinfacht sich auch die Bestimmung der Laplace-Transformierten.

Servus,
Roland

Mathematische Software & Apps
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Umwandlung von handschriftlichen mathematischen Zeichen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-04 19:52
rlk
 

Hallo sulky,
vor einiger Zeit habe ich mathpix.com/ gefunden, habe es aber noch nicht probiert.

Servus,
Roland

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Momentenfunktional
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-03 23:01
rlk
 

Hallo Momentenfunktional,
ich nehme an, dass $P_n$ ein orthogonales Polynom ist. Wenn Du verwenden darfst, dass solche Polynome einfache Nullstellen haben, ist die erste Gleichung die Partialbruchzerlegung der echt rationalen Funktion $x\mapsto \frac{\lambda_1 P^{(1)}_{n-1}(x)}{P_n(x)}$.

Um die Gleichheit der Koeffizienten $a_{nk}=A_{nk}$ nachzuweisen, brauchst Du eine Formel für $A_{nk}$.

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-03 21:23
rlk
J

Hallo Pukiluu,
es freut mich, dass ich Dir diesmal helfen konnte. Deinen früheren Beitrag hatte ich gelesen, aber damals fehlte mir die Zeit, eine Antwort zu schreiben.
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi Roland,
Danke für die Antwort.

Wenn ich die Regelstrecke als reines PT2-Glied darstellen möchte würde ich versuchen, über \(k_j\) den S-Term im Zähler zu eliminieren, also
\[k_j=\frac{k_zT_a}{k_aT_z}=0,2\] Stabil ist die Regelstrecke allerdings unabhängig von \(k_j\), da \(D=1,25\) ist - und das System somit aperiodisch verläuft.
Ja, so kannst Du die Forderung nach einem PT2-Verhalten erfüllen. Die Regelstrecke mit dem Eingang $\Delta u$ und dem Ausgang $\Delta q$ ist stabil, aber eigentlich interessiert uns doch die Höhe $\Delta h$ des Wasserspiegels, die in der Aufgabe auch mit $y$ bezeichnet wird. Ich habe die Aufgabe weiter unten eingefügt, damit wir leichter nachsehen können.
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Gleichzeitig sollte natürlich das Becken weder über- noch leerlaufen, weshalb der Volumenstrom eigentlich \(\Delta V=0\) sein sollte, womit
\[k_j=\frac{k_z}{k_a}=0,8\] sein müsste - beides gleichzeitig geht allerdings nicht.
Diese Gleichung ergibt sich, wenn Du den konstanten Term im Zähler gleich Null setzt. Was meinst Du mit mit "beide gleichzeitig"?
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Und laut Prof soll letztere Gleichung wohl nicht legitim zur Bestimmung vpn \(k_j\) sein, sofern ich es richtig verstanden habe, auch wenn es mir intuitiv erscheint.
Kannst Du Deine Überlegungen etwas ausführen?
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Leider bin ich jetzt in meinen Zweifeln mehr bestätigt als alles andere, da ich einfach keine Idee habe, wie ich die Aufgabe interpretieren soll bzw. wie ich auf einen vernünftigen Ansatz für \(k_j\) komme, ohne Widersprüche wie oben zu erzeugen 😵
Ich vermute, dass sich Deine Zweifel und die vermeintlichen Widersprüche beseitigen lassen, wenn Du die vom Professor gemeinte Übertragungsfunktion
$$ F(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}$$ untersuchst.
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich das unter der Bedingung "kein s im Zähler" weiter Spinne bedeutet das ja, das mein System eine Gesamtverstärkung von \(k_z-0,2k_a=,006\frac{m^3}{V s}\) besitzt, also sich das Volumen im Becken bei 1V Steuerspannung pro Sekunde um \(0,006 m^3\) erhöht bzw. der Wasserstand um 3mm steigt (bei einer Grundfläche von \(2 m^2\). Oder habe ich hier was falsch interpretiert?
Die Zahlenwerte habe ich nicht nachgerechnet, aber die Einheit ist richtig. Sie sollte Dir helfen, den fehlenden Faktor in der Übertragungsfunktion $F(s)$ zu finden.
2021-01-03 12:54 - Pukiluu in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu deinem PS: hab ich mal direkt ergänzt, danke für den Hinweis. Und meinst du wegen b) den fehlenden Faktor \(\frac{1}{A}\) um vom Volumen auf die Höhe zu kommen? Oder ist die Übertragungsfunktion als solche etwa schon quark?
In der Übertragungsfunktion fehlt ein nicht konstanter Faktor. Beachte den Unterschied zwischen Volumen und Volumenstrom.




Servus,
Roland
 
PS: Noch ein paar Hinweise zur $\LaTeX$-Formatierung. Wie bei vielen anderen Programmen aus dem angloamerikanischen Raum ist bei $\LaTeX$ das Dezimaltrennzeichen der Punkt, nicht das Komma. Vergleiche $0.2$ und $0,2$. Wenn Du ein Dezimalkomma verwenden willst, kannst Du mit 0\mathord,2 dafür sorgen, dass der richtige Abstand verwendet wird: $0\mathord,2$.

In der Norm ISO 1000 [1] ist festgelegt, dass Einheitenzeichen in aufrechter Schrift mit einem Leerzeichen zwischen Maßzahl und Einheit zu schreiben sind, also $2.9~\mathrm{m/s}$ statt $2.9 m/s$. Ich habe das zuerst in dem interessanten Artikel [2] gelesen.

[1] ISO 1000 “SI units and recommendations for the use
of their multiples and of certain other units”. In
ISO Standards Handbook N. 2. International Organization
for Standardization, Geneva, 2nd edition, 1982.

[2] Massimo Guiggiani and Lapo F. Mori
Suggestions on how not to mishandle mathematical formulæ
TUGboat 29, 2

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pukiluu
Charakterisierung einer Regelstrecke  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-02 02:46
rlk
J

Hallo Pukiluu,
2021-01-01 18:33 - Pukiluu im Themenstart schreibt:
Für die Regelstrecke habe ich aus der Volumenstrombilanz

\[\Delta V(s)=\Delta Q_z(s)-\Delta Q_a(s) = \left(\frac{k_z}{T_zs+1}-\frac{k_ak_j}{T_as+1}\right)\Delta U(s)\]
die Übertragungsfunktion

\[G(s)=\frac{(k_zT_a-k_ak_jT_z)s+k_z-k_ak_j}{T_aT_zs^2+(T_a+T_z)s+1}\]
bestimmt. Nun zu meinen eigentlichen Frage: Handelt es sich überhaupt um eine PT2-Strecke, wenn im Zähler ein S auftaucht?
Nein, der zu $s$ proportionale Summand im Zähler liefert ja einen D-Anteil, damit hast Du kein PT2-System.
2021-01-01 18:33 - Pukiluu im Themenstart schreibt:
Nach meinem Verständnis: ja, da dies über den Nenner definiert wird. Aber: Was hat \(k_j\) dann mit der Stabilität zu tun? Hierzu ist doch lediglich die Dämpfung (über den Nenner als Koeffizientenvergleich mit \(T^2s^2+2DTs+1\) relevant, soweit ich weiß? Das System ist ja noch so einfach das man getrost auf Dinge wie Hurwitz verzichten kann.
Deine Überlegungen zur Stabilität sind richtig. Die Stabilität ist aber nur eine der Bedingungen, die hier gestellt werden.
2021-01-01 18:33 - Pukiluu im Themenstart schreibt:
Die einzige Stelle, bei welcher \(k_j\) meiner Meinung nach Einfluss hat ist die Gesamtverstärkung, wobei natürlich darauf geachtet werden muss, den Wert nicht zu groß zu wählen, damit das Becken/ der Abfluss nicht trocken läuft - einen wirklichen Wert würde ich aber auf den ersten Blick nur durch Vergleich von \(k_z\) und \(k_a\) bestimmen, sodass das Becken eine konstante Wasserhöhe hält.
Welchen Wert muss der Volumenstrom $\Delta V$ haben, damit die Wasserhöhe $h$ konstant bleibt?
2021-01-01 18:33 - Pukiluu im Themenstart schreibt:
Laut Prof soll das aber eben nicht gehen, nur verstehe ich nicht warum?
Was genau soll nicht gehen?
Ich
2021-01-01 18:33 - Pukiluu im Themenstart schreibt:
Wie muss ich hier den S-Term im Zähler berücksichtigen bzw. wie ist der zu interpretieren?

Ich würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir hier jemand weiter helfen kann, bisher verzweifelt der ganze Kurs an der Aufgabe...
Wie gesagt liefert der zu $s$ proportionale Term im Zähler eine Abweichung vom gewünschten PT2-Verhalten. Wie kannst Du ihn eliminieren?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland

PS: Auch wenn Deine erste Frage zu diesem Thema unbeantwortet blieb, solltest Du sie erwähnen, weil dort zusätzliche Informationen wie z.B. die vollständige Aufgaben zu finden sind, die für die Helfer von Nutzen sein werden.
LinkParametrisierung einer Regelstrecke
In Frage b wird nach einer anderen Übertragungsfunktion gefragt.

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Momentenfunktional
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-01 23:51
rlk
 

Hallo Momentenfunktional,
Du kannst die Frage hier stellen.

Servus,
Roland

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Momentenfunktional
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-31 22:10
rlk
 

Hallo Momentenfunktional,
in dem Buch Mathematics for the Physical Sciences von Herbert Wilf werden orthogonale Polynome behandelt, es ist aber schon einige Jahre her, dass ich es gelesen habe. Von einem Experten bin ich weit enfernt, aber wenn Du konkrete Fragen stellst, finden sich vermutlich  Leute, die Dir helfen können.

Ich wünsche Dir viel Erfolg und ein gutes Jahr 2021!
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
Kₚ und Tᵥ eines PD-Reglers bestimmen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-31 21:56
rlk
 

Hallo maxmustermann9991,
das hängt von Deinen Vorkenntnissen ab. Habt ihr einfache Schaltungen mit Operationsverstärkern besprochen? Wie würdest Du die zweite Stufe berechnen, wenn das nicht durch die Bezeichnungen von Ein- und Ausgangsspannungen vorweggenommen worden wäre?

Servus,
Roland

Signale und Systeme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: boro3
Komplexe Zahlen, DFT, Fourier, ADC  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-27 21:41
rlk
 

Hallo boro3,
ich verwende die DFT-Definition aus Beitrag 3.
fed-Code einblenden
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
 

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