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Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: apfelbirne
gut teilbare Zahlen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-16
shadowking
 

Hallo apfelbirne,

da alle Primzahlen (außer 2) ungerade, also von der Form $p\,=\,2k+1$ sind, ergibt sich für deren Quadrat $p^2\,=\,4k^2+4k+1$. Darum sind alle Zahlen aus deiner Liste (auch wenn du sie vervollständigen würdest) durch 4 teilbar.

Schreibt man $p$ als $4k\pm1$ (dies geht für alle ungeraden), so lässt sich sogar festhalten, dass $p^2-1$ stets durch 8 teilbar ist.

Für alle Primzahlen außer 2 und 3 gilt, dass ihr Rest beim Teilen durch 12 entweder +1, +5, -1 oder -5 ist. Deren Quadrate lassen beim Teilen durch 12 alle einen Rest von 1. Darum ist das um 1 verminderte Quadrat solcher Primzahlen auch stets durch 12 teilbar. Insgesamt ergibt sich aus beidem der Satz:

Für alle Primzahlen $p>3$ gilt: $p^2-1$ ist durch 24 teilbar.

Man kann auch noch weitere Untersuchungen dieser Art anstellen, z.B. hinsichtlich der Reste beim Teilen durch 5. Dabei findet man, dass $p^2-1$ entweder 0 modulo 5 (also durch 5 teilbar, womit wir schon 120 als sicheren Teiler identifizieren können) oder 3 modulo 5 ist. Da es im letzteren Fall aber zugleich gerade ist (außer für $p=2$), muss es 8 modulo 10 sein.

Viel Spaß bei eigenen Verallgemeinerungen!

Gruß shadowking

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ne6ukadnezar
Nach Bogenlänge parametrisierte Kurve  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-16
shadowking
J

Hallo ne6ukadnezar,

kennst du die "Neilsche Parabel" $f(x)\,=\,\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}$? Man kann sie auch als $(x(t),y(t))\,=\,(t^2,\frac{2}{3}\cdot t^3)$ darstellen. Bei diesem Beispiel dürfte die Parametrisierung nach $s$ recht einfach werden.

Gruß shadowking

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Schule 
Thema eröffnet von: JoeM
* Länge im 5- Eck  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-16
shadowking
 


(Ggf. nach Vertauschen der Seiten $b$ und $c$, bzw. Ergänzen beider zum Rechteck) kann man Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten  $h\,=\,b\cup d$ und $c$ anwenden und erhält

als neue Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, so dass sich nach erneuter Anwendung des Pythagoras

ergibt.


Gruß shadowking

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kingdingeling
Minimalpolynom und Inverse eines Polynoms  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-14
shadowking
 

Hallo kingdingeling,

hier gilt es, die Inverse von $18X^3-3X+1$ innerhalb des Körpers $\mathbb{Q}[X]/(X^4-16X^2+4)$ zu finden. Aufgrund der Irreduzibilität des Minimalpolynoms $p=X^4-16X^2+4$ von $\alpha$ wissen wir, dass diese Inverse existiert und selbst ein Polynom in $\mathbb{Q}[X]$ ist, das höchstens den Grad 3 besitzt.

Wir wählen also den Ansatz

$\displaystyle
(q_3X^3+q_2X^2+q_1X+q_0)\cdot(18X^3-3X+1)\,\equiv\, 1\,\mathrm{mod}\,X^4-16X^2+4$

Wenn wir den linken Term (per CAS) ausmultiplizieren und dann eine Polynomdivision durchführen, bei der uns lediglich das Restpolynom zu interessieren braucht, erhalten wir für dessen Koeffizienten vier lineare Terme in $q_0,q_1,q_2,q_3$. Wenn wir diese alle gleich Null setzen (abgesehen von dem für den konstanten Koeffizienten; diesen setzen wir gleich 1), liefert die Lösung des LGS eine Darstellung von $\frac{1}{18\alpha^3-3\alpha+1}$ in $1,\alpha,\alpha^2$ und $\alpha^3$.

Gruß shadowking

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Wie sieht man schnell, dass r(p)=sin(p) ein Kreis ist?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-06
shadowking
 

Ich wusste das als Zehntklässler auch. Vermutlich weil ich damals wusste, wie man einen Funktionsplotter benutzt, oder weil ich es zeichnerisch umgesetzt und ohne Beweis gesehen hatte, dass die Figur sehr wahrscheinlich ein Kreis oder einem solchen äußerst ähnlich ist. Den mathematischen Beweis, dass es eine Kreisfigur ist, habe ich aber erst später führen können.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: shadowking
* Höherdimensionales Volumen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-06
shadowking
 

Gratuliere! MartinN, du hast dieselbe Lösung, die auch ich - mit zwei CAS überprüft - gefunden habe.

Möchte sonst noch jemand mitmachen?

Gruß shadowking

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: shadowking
* Höherdimensionales Volumen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-04
shadowking
 


@MartinN: Vertraue WolframAlpha nicht allzu sehr. Aus dem asymptotischen Verhalten der Terme ergibt sich, dass irgendwo auch ein Minimum existiert – und ab da steigt das Verhältnis $\frac{V_n(K)}{V_n(H)}$ wieder an.



Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: shadowking
* Höherdimensionales Volumen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-04
shadowking
 

@Kitaktus
Stimmt, berühren könnte die Kugel um den Mittelpunkt die äußeren Kugeln ja auch außen. Es ist aber der innere Berührpunkt (in der Skizze $R$) gemeint.

Ja, auch unter dieser Bedingung kann der Radius von $K$ in höheren Dimensionen so groß werden, dass $K$ nicht mehr in $H$ enthalten ist – und ab irgendeiner Dimension liegt auch ihr Volumen über dem von $H$. Würde man aufgrund der Skizze nicht vermuten, oder?

@MartinN:

Sieht schon gut aus. Allerdings soll $H$ den äußeren Hyperwürfel (Kantenlänge 1) bezeichnen, dessen Mittelpunkt mit dem von $K$ übereinstimmt; nicht einen der Teilwürfel.


Findet jemand das Video auf YT, das ich erwähnt habe?

Gruß shadowking

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: shadowking
* Höherdimensionales Volumen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-03
shadowking
 

Hallo Matheplanet,

folgende Situation soll auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden:



Ein $n$-dimensionaler Hyperwürfel $H$ wird in $2^n$ kleinere Würfel unterteilt und jedem dieser Teilwürfel eine $n$-dimensionale Kugel einbeschrieben, die sämtliche Seitenflächen berührt. Der Mittelpunkt von $H$ bildet den Mittelpunkt einer weiteren Hyperkugel $K$, und zwar so, dass diese jede der $2^n$ anderen Hyperkugeln innen (bei $R$) berührt.

Gefragt ist nach dem Volumen der inneren Kugel. Bezeichne $V_n$ die Volumenfunktion in $n$ Dimensionen. Wie hoch muss dann $n$ mindestens gewählt werden, so dass $V_n(K)\geq V_n(H)$?

(Es existiert ein YouTube-Video mit einer Antwort, die aber falsch ist; dessen Ersteller übernimmt auch ausdrücklich keine Gewähr für die Richtigkeit seiner Angabe.)

Viel Spaß beim Rechnen!
shadowking


Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: chenge
Nullstellen einer Schwingungsgleichung gesucht  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-25
shadowking
 

Hallo chenge,

falls das Verhältnis der Schwingungsfrequenzen $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ ein rationales ist (und die involvierten Zähler und Nenner teilerfremd und aus Praktikabilitätsgründen nicht allzu groß sind), kann man folgendermaßen vorgehen: man finde $n,m\in\mathbb{N},\omega\in\mathbb{R}$ mit $\omega_1=n\cdot\omega$ und $\omega_2=m\cdot\omega$. Dann lässt sich $\sin(\omega_1\cdot t)=\sin(n\cdot\omega\cdot t)$ durch (iteriertes) Anwenden der Additionstheoreme bzw. Doppelwinkelformel als Polynom $\sin(\omega_1\cdot t)=P_1(\sin(\omega\cdot t),\cos(\omega\cdot t))$ ausdrücken. In gleicher Weise gilt $\sin(m\cdot\omega\cdot t)=P_2(\sin(\omega\cdot t),\cos(\omega\cdot t))$. Dadurch wird die trigonometrische Gleichung zu einer Polynomgleichung, die möglicherweise direkt, jedenfalls aber numerisch lösbar ist.

Evtl. kann es praktischer sein, die Gleichung $0=\sin(\omega_1\cdot t)+a\cdot\sin(\omega_2\cdot t)$ zuerst zu $a^2\cdot\sin^2(m\cdot\omega\cdot t)=\sin^2(n\cdot\omega\cdot t)$ umzuformen, denn $P_1^2$ und $P_2^2$ lassen sich (durch Ausnutzen der Beziehung $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$) auf jeden Fall als Polynome mit nur einem Argument $\sin(\omega\cdot t)$ ausdrücken. Durch das anfängliche Quadrieren ergeben sich allerdings zusätzliche "Lösungen", die die Ausgangsgleichung nicht lösen (diese lösen die modifizierte Gleichung, in der $+a$ durch $-a$ ersetzt ist), so dass man alle gefundenen Lösungen überprüfen muss.

Zum Beispiel lässt sich mit dem geschilderten Verfahren die Gleichung

$\displaystyle
\:\:\sin(3\cdot t)+2\cdot\sin(4\cdot t)\,=\,0$

in die Polynomgleichung in $s\,:=\,\sin^2(t)$

$\displaystyle
\:\:256\cdot s^3-496\cdot s^2+296\cdot s-55\,=\,0$

überführen und unter Verwendung von algebraischen und Arkusfunktionen exakt lösen; eine Lösung lautet z.B.

$\begin{align*}
t\,&=\,\arcsin\left(\sqrt{\frac{31}{48}-\frac{\sqrt{73}\cdot\sin\left(\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{379\cdot\sqrt{426}}{10\,224}\right)\right)}{24}}\right) \\
&=\,0,8545612466\ldots
\end{align*}$

Gruß shadowking

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: Squire
** Leise rieselt der Schnee – Squires Adventrätsel Folge 4  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-31
shadowking
J

Hallo squire und die anderen,

ich wollte mich ebenfalls für die vier netten kleinen Rätsel bedanken, die zu lösen mir Spaß beim Warten aufs Christkind gemacht hat.

Kommt gut ins nächste Jahr und Gruß

shadowking

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shurian
Reihe mit Produkt Logarithmus zum Quadrat und Kehrwert  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-24
shadowking
J

Hallo Shurian,

kennst du das Integralvergleichskriterium?



Damit lässt sich zumindest die Frage nach Konvergenz/Divergenz klären.

Gruß shadowking

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nudelsalat
Wie kann ich den Ausdruck des Cosinus Hyperbolicus vereinfachen?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-19
shadowking
 

Du bist auf der richtigen Spur :-)

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nudelsalat
Wie kann ich den Ausdruck des Cosinus Hyperbolicus vereinfachen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-19
shadowking
 

Hallo Nudelsalat,

setz' doch mal für $n$ ein: 0, 1, 2,...

Vielleicht bekommst du dadurch einen Verdacht, welche Sorte von Termen in der Summe übrig bleibt.
Und das, was übrig bleibt, kannst du dann vereinfachen.

Gruß shadowking

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
shadowking
 

Noch ein paar abschließende Bemerkungen:

Das hier entwickelte Verfahren zur Auffindung der Residuen funktioniert genau dann, wenn die Taylorentwicklung der Funktion im Zähler bei der $n$-ten und jene der Funktion im Nenner bei der $n+1$-ten Potenz von $z$ beginnen, d.h. der Unterschied in den Graden, wie oft man aus Zähler- und Nennerfunktion jeweils den Linearfaktor der Polstelle ausklammern kann, genau 1 beträgt.

Bei einer Funktion wie z.B. $\frac{1}{\sin(z)^3}$ würde man allerdings vorschnell meinen, dass ihr Residuum in $z=0$ Null wäre, weil die Funktion "lokal wie $\frac{1}{z^3}$ aussieht", für die das Residuum in $z=0$ tatsächlich Null ist – doch in Wahrheit ist es $\frac{1}{2}$. Man beachte auch bei der hier behandelten Funktion, dass zwar die Ordnung der Polstellen unterschiedlich ist, ihre Residuen aber – bis auf das alternierende Vorzeichen – gleich sind.

Der direkteste Weg, für eine Funktion $\frac{g(z)}{h(z)}$, bei der $g$ und $h$ in einer Umgebung $U\subset\mathbb{C}$ von $z_0$ holomorph sind und $h$ in $z_0$ eine Nullstelle besitzt, deren Ordnung um mehr als 1 höher ist als jene von $g$ an derselben Stelle, das Residuum in $z_0$ zu ermitteln, scheint zu sein, die "angepasste" Funktion $\frac{g(z)\cdot(z-z_0)^m}{h(z)}$ um $z=z_0$ in eine Taylorreihe zu entwickeln (als Ganzes; nicht getrennt nach Zähler und Nenner, weshalb es trotzdem kompliziert werden kann), wobei $m\in\mathbb{N}$ so zu wählen ist, dass die Singularität in $z_0$ hebbar wird. Deren $m-1$-ter Koeffizient bildet dann das Residuum.

Gruß shadowking

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
shadowking
 

Das Residuum von $f$ in 0 ist aber auch $-\frac{1}{2}$; du brauchst dafür keine Ausnahme machen.

Gute Nacht, shadowking

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
shadowking
 

Exakt aufgeschrieben ist $\mathrm{res}_{z=0}\,f\,=\,\frac{g(0)}{h(0)}$.

Wir brauchen in der Entwicklung von $g$ bzw. $h$ nur noch das Glied 5. Grades aus dem Zähler und das 6. Grades aus dem Nenner, weil die höheren Glieder nach Ausklammern und Kürzen in $z=0$ verschwinden.

Und was wir bisher haben, ist

$\displaystyle g(x)\,=\,-\frac{1}{2}+\ldots,$

$\displaystyle h(x)\,=\ldots$.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-12
shadowking
 

Beim Residuum nimmst du einen Kreis von beliebig kleinem Radius um die Polstelle und integrierst einmal um dessen Peripherie. Dabei liefert nur der Term $\frac{a_{-1}}{z}$ aus der Laurententwicklung des Integranden einen Beitrag, und zwar $2\pi\,\mathrm{i}\cdot a_{-1}$. Für den Wert des Residuums ist also nur das lokale Aussehen des Integranden an der Polstelle interessant. Wie wir an der Reihenentwicklung des Zählers (wir brauchen auch die des Nenners, aber die ist ganz ähnlich zu machen) erkennen, können wir $\frac{1}{z^3}-\frac{1}{\sin(z)^3}$ als

$\displaystyle \frac{z^5\cdot g(z)}{z^6\cdot h(z)}\,=\,\frac{1}{z}\cdot\frac{g(z)}{h(z)}$

schreiben, wobei $g$ und $h$ Funktionen sind, die in $z=0$ endliche Werte ungleich Null annehmen. Deren Quotient stellt also das Residuum dar.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-12
shadowking
 

Achtung, Fehler. Das Residuum an den anderen Polstellen ist nicht Null.

Wenn du das Residuum in $z=0$ kennst (im Grunde steht es schon da; es ist der Koeffizient zu $z^5$ im Zähler, da sich der Nenner $z^3\cdot\sin(z)^3$ hier wie $z^6$ verhält), dann kannst du für die anderen Residuen

$\displaystyle\frac{1}{\sin(k\cdot\pi+z)}\,=\,(-1)^k\cdot\frac{1}{\sin(z)}$

verwenden und erhältst, dass an den anderem Polstellen der Betrag des Residuums derselbe ist wie in $z=0$, jedoch das Vorzeichen alterniert.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Art und Residuum der Singularitäten bestimmen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-12
shadowking
 

Ja, bei $z=0$ hast du nur einen Pol 1. Ordnung.
 

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