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Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-24 09:58
sulky
 

Vielen Dank für die Antwort seligmann,

ja, ich habe die Ungleichungszeichen korrigiert.

Nun folgt im Beweis dass wegen der Stetigkeit von $f_n$ folgt dass
es existiert $V'\in \mathcal{V}$ sodass für alle $y \in V'$ gilt $d(f_n(y),f_n(x))\le \frac{1}{k}$

Dies ist grundsätzlich die Definition von Stetigkeit. Dazu aber zwei Unklarheiten.

- Ich bin erstaunt dass es $\le \frac{1}{k}$ heisst anstatt $< \frac{1}{k}$

- Es steht aben auch noch dass $V'\subset V$. Dies wirft mich auf eine Grundsatzfrage von Topologischen Räumen zurück. Hätten wir einen metrischen Raum, so könnte ich dieses $V'$ beliebig verfeinern sodass die Stetigkeitsbedingung noch immer erfüllt bliebe. Aber geht das bei einem Topologischen Raum wie $X$ auch? Wenn ich die Definition des topologischen Raumes nochmals anschaue, so fällt auf, dass es TR gibt, die aus nur endlich vielen Teilmengen bestehen. Dann ist eine Verfeinerung einer Umgebung nur bedingt möglich.  Wie erklärt sich $V'\subset V$?



Noch eine Frage zur Definition eines $\mathcal{G}_\delta$: Gibt es eigentlich ein Offen in $(E,\tau)$ der kein $\mathcal{G}_\delta$
ist?

Sei $u\in \tau$ und wir konstruieren die Folge $(O_k)_{k\in \mathbb{N}}\subset \tau$ sodass $O_1=u$ und $O_k=E$ für $k\neq 1$

Dann ist doch $u=\bigcap_{n=1}^\infty=u$ ein $\mathcal{G}_\delta$
Stimmt das nicht?

Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-24 00:51
sulky
 

Guter Tipp, Seligmann,
dem werde ich gleich nachgehen.

Aber leider ist mir dein Weg ein bisschen zu Zielorientiert, sodass ich nicht mehr durchblicke, welche $\Omega$-eigenschaften zu diesem Vorgehen berechtigen.

Aber vorallem sollte man ja schon das verstehen, was im Lehrmittel steht.

Ich sehe einfach noch immer nicht weshalb hier gilt:


$\forall k \ge 1 \; \exists n\ge 1 \;\exists V \in \mathcal{V}(x) \; \forall y\in V \; \forall m,l \ge n \; d(f_m(y),f_l(y))\le \frac{1}{k} $

Wie kommt er auf die existenz dieses $V\in\mathcal{V}(x)$?

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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-23 19:33
sulky
 

Ich brauche nochmals Hilfe.

Wir sind also bei $X=\bigcup_{n=1}^\infty F_{n,k}$ woraus einem vorhergehenden Satz folgt dass $\Omega_k=\bigcup_{n=1}^\infty {F_{n,k}}^\circ$ ist offen und dicht.
Und durch erneute Anwendung des Satzes von Baire folgt:

$\Omega=\bigcap_{k=1}^\infty \Omega_k$ ist ein dichter $\mathcal{G}$ von $X$

Nun soll gezeigt werden dass $\Omega \subset \text{cont}(f)$. Sei also $x\in \Omega$

Sowei konnte ich das verstehen, aber jetzt ist wieder endstation.

$\forall k \ge 1 \; \exists n\ge 1 \;\exists V \in \mathcal{V}(x) \; \forall y\in V \; \forall m,l \ge n \; d(f_m(y),f_l(y))\le \frac{1}{k} $

Ich sehe schon, dass wegen der Stetigkeit die Ungleichung $d(f_m(y),f_l(y))\le \frac{1}{k}$ -wenn sie erfüllt ist- immer auch in einer offenen Umgebung erfüllt ist.

Aber es gelingt mir nicht mit dem Vorhergehenden in verbindung zu bringen, dass $\exists V \in \mathcal{V}(x) \; \forall y\in V...$ schliesslich wurde begonnen, dass $x\in \Omega$.
Ich sehe gerade nicht, dass dieses $\Omega$ die Existenz dieser Umgebung $V$ garantiert.


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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-23 16:08
sulky
 

Gut bemerkt Seligmann und Wally,

Es ist ein Abschreibfehler meinerseits. Es heisst $\le$ und nicht $<$.

Der Beweis fasziniert mich. Er enthät eine enorme Vielfalt von Elementen der Mathematik.

Beispielsweise dass $X=\bigcup_{n=1}^\infty F_{n,k}$ wo ich mir auch jetzt nicht vorstellen kann dass diese Mengenvereinigung tatsächlich $X$ ergibt, verwendet dass $F_{n,k}$ für gestgehaltene $k$ für und für alle $x\in X$ der Definition der Cauchyfolge entspricht.

Jetzt wo ich es gesehen habe finde ich es ganz faszinierend.
Herr Baire war ein Künstler.

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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-23 08:41
sulky
 

Hallo Seligmann,

Der Beweis stammt aus unseren Vorlesungsunterlagen.
Ich weiss nicht aus welchem Buch der Professor dies abgeschrieben hat.

Für festgehaltene $m,l$ ist

$\{x\in X| d(f_m(x),f_l(x))\le\frac{1}{k}\}$

als stetige Umkehrabbildung eines Abgeschlossenen wirder Abgeschlossen.

$F_{n,k}$ ist dann die abzählbare vereinigung von Abgeschlossenen und daher wieder abgeschlossen

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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-22 21:49
sulky
 

Ja, ich habe da wohl ein Blackout gehabt.
Nun sehe ich die Antworten auf meine Fragen messerscharf.

Trotzdem bin ich nicht sicher, ob ich es auch sehen würde ohne Denkanstoss von Wally und Vega.

Ich warte noch mit dem Häckchen, denn der Beweis ist hier noch lange nicht zu ende


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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-22 13:40
sulky
 

Hallo Wally,

Ich denke nun kommt licht ins dunkle.

Also jede cauchyfolge konvergiert, aber es fragt sich wohin sie konvergiert.
Die Existenz eines Grenzwertes ist nur dann gewiss wenn der Raum komplett ist.

Meinst du das?

In diesem Sinne wäre Konvergenz sogar die stärkere Aussage als cauchy.
Weil konvergent bereits die Existenz des Grenzwertes beinhaltet.
Stimmt das so?

Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-22 12:45
sulky
 

Hallo Vega,

Ja ich kenne die Definition der Cauchyfolge. Hingegen wird die Definition von Konvergenz in den meisten Mathebüchern vernachlässigt.

Ich sehe aus der Formulierung einfach nicht was das mit den $F_{n,k}$ zu tun haben soll. $F_{n,k}$ ist eine Mengenfamilie, welche in der weitern Beweisführung verwendet wird. Aber abgesehen von der Definition wurde mit $F_{n,k}$ ja noch gar nichts gemacht.


Punkweise oder einfache Konvergenz verstehe ich so, dass eben für festgehaltenes $x$ die Familie $(f_n(x))_n$ gegen einen Grenzwert konvergiert.

Aber Cauchy ist ja bereits eine stärkere Eigenschaft als Konvergent.

Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Beweis des Satzes von Baire  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-22 10:56
sulky
 

Hallo Zusammen,

Ich bin gerade beim Beweis des Satzes Baire für stetige Funktionen steckengeblieben und brauche Hilfe.

Der Satz lautet:
Sei $X$ ein topologischer Baireraum, $(Y,d)$ ein metrischer Raum und $f_n$ eine Folge von stetigen Funktionen von $X$ nach $Y$ die einfach gegen $f$ konvergiert.

Dann ist die Menge der Punkte wo f stetig ist ($\text{cont}(f)$ genannt), ein ein dichter $\mathcal{G}_{\delta}$ von $X$.


Beweis:
Für $n,k$ in $\mathbb{N}^*$ sei:
$F_{n,k}=\{x\in X| \forall m,l \ge n \; d(f_m(x),f_l(x))\le\frac{1}{k}\}$

Weil die $f_j$ stetig sind, ist $F_{n,k}$ abgeschlossen in $X$.

Weiter ist für alle $x \in X$ die Folge $(f_n(x))_n$ eine Cauchyfolge.

.....Das verstehe ich nicht. ISt ja noch gar nichts passiert im Beweis, wie kann man dann hier schon so was behaupten? Ich kann nicht erkennen weshalb aus der punktweisen konvergenz von $f_n$ folgen soll dass für fesgehaltenes $x$ die Folge $(f_n(x))_n$ cauchy ist.



Weiter im Beweis: Somit gilt für jedes $k\in \mathbb{N}^*$, $X=\bigcup_{n=1}^\infty F_{n,k}$....wieso?

für festgehaltenes $k$ wird doch die Menge $F_{n,k}$ mit wachsendem $n$ immer kleiner und es gilt $\bigcup_{n=1}^\infty F_{n,k}=F_{1,k}$
oder liege ich da falsch?

Polynome
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Thema eröffnet von: sulky
Kommutativität von Polynomen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
sulky
 

Genau. Vielen Dank Kezer. Bei der Definition der Banachalgebra war es nicht, aber die BA baut ja auf der "Algebra über einem Körper" auf und dort stehts.
 Hab ich gerade nochmals nachgelesen.

Vielen Dank

Polynome
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Thema eröffnet von: sulky
Kommutativität von Polynomen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
sulky
 

Vielen Dank für eure schnellen Antworten Vercassivelaunos und Kezer,

Ok. Ich sehe nun auch, dass bei der Multiplikation der Polynome die $X$ eigentlich nur mit sich selber kommutieren müssen.

Aber: für $a \in A$ und $\lambda \in \mathbb{K}$ ist es nicht beweispflichtig dass $(\lambda a)a=a(\lambda a)$?

Ohne das Gegenteil zu behaupten finde ich dass dies nicht offensichtlich ist und argumentiert werden sollte.


Polynome
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Thema eröffnet von: sulky
Kommutativität von Polynomen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
sulky
 

Hallo Zusammen,

Sei $\lambda \in \mathbb{C}$ und $P\in \mathbb{C}[X]$. Weil $\lambda$ eine Nullstelle des Polynomes $P-P(\lambda)$ ist, existiert $Q\in \mathbb{C}[X]$ sodass $P-P(\lambda)=(X-\lambda)Q=Q(X-\lambda)$


Soweit scheint mir dies Korrekt. Ich verstehe $\mathbb{C}[X]$ als die sympolische Schreibweise für die Polynome, deren Koeffizienten in $\mathbb{C}$ liegen. $X$ sehe ich keiner speziellen Menge zugeordnet.
Trotzdem muss X sowohl über $+$ als auch über $*$ mit einer komplexen Zahl
verknüpft werden können. Sonnst können ja keine Polynome gebildet werden.  
Aber da bin ich mir nicht mehr sicher. Jedenfall betrachte ich $X$ nicht unbedingt als komplexe Zahl.
Es folgt:

$P(x)-P(\lambda)=(x-\lambda)Q(x)=Q(x)(x-\lambda)$
wobei $x\in A$, eine unitäre Banachalgebra, sei.

Wie erklärt sich hier die Kommutativität? Hier wird aus einem Polynom eine Polynomfunktion gemacht und eine Definitionsmenge verwendet, deren Kommutativität nicht sichergestellt ist.

Ist das wirklich korrekt so?


Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Satz von Ascoli  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-10
sulky
 

Hallo zusammen,

Ich habe Fragen zum Beweis des Satzes von Ascoli.


Satz:
Sei $(X,d)$ ein kompakter, metrischer Raum und $(Y,\delta)$ ein metrischer Raum und $(f_n)_{n=0}^\infty$ eine Folge in $\mathcal{C}(X,Y)$ sodass:

(i) $\{f_n, n\in\mathbb{N}\}$  ist äquistetig auf X
(ii) Für jedes $x\in X$, $\{f_n(x),n\in \mathbb{N}\}$ ist relativ kompakt in $Y$
Dann gilt:
$f_n)_{n=0}^\infty$ besitzt eine Unterfolge die gleichmässig auf $X$ konvergiert.


Beweis:
Weil $(X,d)$ kompakt und metrisch ist besitzt es eine Untermenge, die abzählbar und dicht ist,
denn für jedes $n\in \mathbb{N}^*$, X besitzt ein endliches$\frac{1}{n}$-Netz .

Soweit verstanden

Die Vereinigung dieser Netze ist abzählbar...

Wieso?
Erstens war in der vorherigen Zeile die Rede von einem solchen Netz und nun spricht man schon in der Mehrzahl.
Kompaktheit garantiert, dass einer offenen überdeckung (mindestens!) eine endliche Unterüberdeckung entnommen werden kann.
Vielleicht existieren aber auch unendlich viele endliche Unterüberdeckungen. Die Vereinigung aller dieser endlichen Unterüberdeckungen ist die wirklich immer abzählbar?


Weiter ist diese Vereinigung (von nun an $D\subset X$ genannt) dicht.

Bestimmt gibt es in unseren Unterlagen irgend einen Satz, welcher diesen Sachverhalt erklärt, aber ich kann es nicht finden...


 



Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Folgengrenzwerte auf dem Abschluss (war: "adherenz")  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-07
sulky
J

Ach so ja, jetzt sehe ich es.

Wenn man die Definition der Norm $\|\cdot\|_\infty$ ausschreibt, dann haben wir automatisch die gleichmässige Konvergenz.

Jetzt habe ich wieder echt etwas gelernt.

Vielen Dank Zippy

Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Folgengrenzwerte auf dem Abschluss (war: "adherenz")  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-07
sulky
J

super, vielen Dank Zippy,

Nun folgt dass $\|\lambda f_n+g_n -(\lambda f +g)\|\to 0$ und daher ist $\overline{A}$ schon mal ein Vektorraum.


Um die Stabilität bezüglich der Multiplikation zu zeigen muss

$\|f_ng_n-fg\|\le\|f_n-f\|\|g_n\|+\|f\|\|g_n-g\|$
 gegen Null gehen.

Nun steht da:
Weil $g_n$ gleichmässig auf $K$ kompakt konvergiert ist $g_n$ auch gleichmässig beschränkt.

Dies war mir nicht bekannt. Wenn eine FOlge stetiger Funktionen auf einem Kompakt konvergiert, ist dann die Konvergenz bereits automatisch gleichmässig? Das wusste ich nicht. Stimmt das so wirklich?

Was bedeutet "gleichmässig beschränkt"?



Topologie
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Thema eröffnet von: sulky
Folgengrenzwerte auf dem Abschluss (war: "adherenz")  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-07
sulky
J

Hallo zusammen,

Es gibt da einen Zusammenhang, dass wenn $f\in \overline{A}$ dann gibt es eine Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ die nach $f$ konvergiert.

Ich errinnere mich daran dies gelesen zu haben, kann es aber nicht mehr finden. Aber der Reihe nach:


Sei $K$ ein topologischer Kompaktraum und $A$ eine Unteralgebra von $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$.
Zeige dass die Adherenz von $A$ eine Unteralgebra  von $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$ ist bezüglich $\|\cdot\|_{\infty}$


Musterlösung:
Weil $A$ nicht leer ist, ist $\overline{A}$ auch nicht leer.
Sei $\lambda \in \mathbb{R}$ und $f,g\in \overline{A}$. Somit existieren Folgen $f_n$ und $g_n$ in $A$ sodass $\|f_n-f\|\to 0$ und $\|g_n-g\|\to 0$

Dies ist zwar offensichtlich, da aber diese Gegebenheit in der Fortsetzung des Beweises erneut verwendet wird, suche ich dennoch nach einem Satz, welcher die Existenz dieser Folgen sauber beschreibt.

Stochastik und Statistik
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Thema eröffnet von: sulky
rechtsstetige Markovprozesse  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-25
sulky
 

Ja genau, vielen Dank zippy,

Das ist genau das stichwort, welches ich brauchte.

Bezüglich der Explosionszeit habe ich noch eine ähnliche Frage aber ich schaue nun erst mal selber ob sich das nciht bereits geklärt hat

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
rechtsstetige Markovprozesse  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-25
sulky
 

hallo Zippy,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Aber eben, es existiert ein Zeitintervall $\epsilon >0$ in dem sich der Zustand nicht ändern kann.

Gemäss exponentialverteilung ändert sich doch der Zustand im Zeitintervall $\frac{\epsilon}{2}$ mit einer Wahrscheinlichkeit grösser null.


Stimmt das nicht?

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
rechtsstetige Markovprozesse  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-24
sulky
 

Hallo zusammen?

Ich habe eine Verständnissfrage zu rechts-stetigen MK.

Gemäss Definition gilt: dass für jedes $\omega\in \Omega$ ein $\epsilon$ existiert, sodass: $X_s(\omega)=X_t(\omega)$ für $t\le s \le t+\epsilon$.

Im Kontext von dem was Vorausgeht nehme ich an dass $X_s$ und $X_t$ exponentiell verteilt sind.

Bedeutet die Bedingung nicht etwa? dass sich für eine Zeitdauer $\epsilon >0$ der Zustand nicht ändert?

Falls ja, liegt dies nicht im Wiederspruch zur exponentialverteilung?

Schwarzes Brett
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Thema eröffnet von: sulky
Unterstützung für Kontinuierliche Markovketten gesucht  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-24
sulky
 

Ich bin enttäuscht dass sich niemand meldet.
Hier sind doch so viele Mathematiker in diesem Forum.

Manch einer hat einen guten Posten an einer Uni und kennt doch bestimmt einen guten Studenten oder einen Doktoranden der/die froh wäre etwas Geld verdienen zu können.
 

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