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Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sina1357
Stetigkeit cos(1/x)  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24 21:33
sulky
 

Vielleicht noch folgendes:

Kennst du das "Folgenkriterium" für Stetigkeit?

die Funktion $cos(1/x)$ springt in der Nähe des Nullpunktes derart nervös vom positiven zum negativen, da lassen sich bestimmt Folgen konstruieren
mit welchen man die Unsetigkeit zeigen kann.

Ich vermute dass im Sinne des Aufgabenstellers die Idee ist die Anwendung des Folgenkriteriums zu üben.

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sina1357
Stetigkeit cos(1/x)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24 20:46
sulky
 

Hallo Sina,

Wenn ich richtig liege so sieht man mit der Tylorreihenentwicklung sofort dass es nicht stetig sein kann.

$\forall \epsilon >0 \; \exists \delta=\delta(\epsilon)$ sodass $|x|<\delta \rightarrow |cos(1/x)|< \epsilon $

$|cos(1/x)-1|$ lässt sich aber wunderschön als Tylorreihe schreiben. Insbesondere weil die Tylorreihe von $cos()$ schon mit einer $1$ beginnt.

$cos(1/x)-1=-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!}-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!}-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!}$

Bleibt zu zeigen dass dieser Ausruck sicher nicht gegen Null geht wenn $x\to 0$

Mein Ansatz wäre dann hier Zweiergrüppchen zu machen. Wenn diese Vorzeichengleich sind, dann

$=(-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!})+(-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!})+(-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!})...=\sum_{k=1}^\infty (-\frac{1}{x^{4k-2} (4k-2)!}+\frac{1}{x^{4k} (4k)!})$

Bei jedem dieser Zweiergrüppchen ist der rechtsseitige Ausdruck grösser als der Linksseitige sofoern $x$ genügend nah bei  Null lieg.
Somit ist jedes Zweiergrüppchen Positiv.

Der Gesamtausdruck ist somit grösser Null.

Irrtum vorbehalten. Bitte genau prüfen

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
unbekannter Operator  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19 23:07
sulky
J

Das ist nun klar.

Vielen Dank Ochen und Zippy

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
unbekannter Operator  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19 19:29
sulky
J

Hallo Zippy,

Ach so, jetzt verstehe ich.
Wenn ein Euro gewonnen ist,  dann ist fertig, wenn aber um Mitternacht das Casino schliesst und der Euro noch nicht gewonnen ist wird das spiel trotzdem beendet.

Dann werde ich jetzt diese Aufgabe nochmals erneut ansehen.

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
unbekannter Operator  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19 18:26
sulky
J

Zwei Spieler spielen "Kopf oder Zahl".
Spieler A setzt einen Euro auf Kopf und spielt so lange bis sein gesamtgewinn 1 Euro beträgt.

Sei $S_n=X_1+...+X_n$

Wobei $X_k\to \{-1,1\}$ die Zufallsvariablen sind, welche den $k$-ten Wurf beschreiben und wie folgt verteilt sind:
$p\delta_1+(1-p)\delta_{-1}$

Sei $Z_n$ die Zuvallsvariable, definiert durch $Z_0=1$ und

$Z_n=(\frac{1-p}{p})^{S_n}$ für $n\ge 1$.

Weiter sei $\mathcal{F}_n=\sigma(X_1,...,X_n)$

a) Zeige dass die Folge $(Z_n)_{n\ge 1}$ ein Martingal ist bezüglich der Filtrierung $(\mathcal{F})_{n\ge 1}$


b) Sei $T=inf\{n\ge 1;S_n=1\}$
Zeige dass $T$ eine Stopzeit ist und $T\land n$ auch



In Teilaufgabe c) wird bereits der Haltesatz von Doob angewendet mit der Begründung dass $T\land n$ beschränkt ist.

Meiner Meinung nach ist weder $T$ noch $n $ beschränkt und daher auch $T\land n$ nicht

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
unbekannter Operator  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19 17:43
sulky
J

Hallo Ochen, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Gleich zu beginn des Kurses steht ein Lemma welches besagt dass $f\land g:=min(f,g)$ unter gewissen Bedingungen.
Aber ich kann die Bedingungen nicht lesen weil ich dort schon nicht weiss was $\land$ bedeutet.


Ist aber $\land$ das Minimum, so verstehe ich $T\land n$ nicht

Beim genannten Beispiel ist ja $T$ sowieso immer grössergleich $n$.
Ausserdem wäre $T\land n$ ja sicher nicht beschränkt.

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
unbekannter Operator  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-19 17:23
sulky
J

Hallo Zusammen,

Ich verstehe den Operator $\land$ nicht.

Aufgetreten ist dieser im Zusammenhang von Stopzeiten und im Haltesatz von Doob.

Was bedeutet bei zwei Stopzeiten $S,T$ der Ausdruck $S\land T$?


Insbesondere ist im Beispiel einer Irrfahrt $T\land n$ beschränkt.
Dabei ist $T=inf\{n\ge 1;S_n=1\}$ und $S_n=\sum_{k=1}^n{X_k}$ und $X_k\to \{-1,1\}$

$T$ und $n$ sind offensichtlich nicht beschränkt, $T\land n$ aber schon.

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-16 23:09
sulky
 

2021-01-16 19:39 - syngola in Beitrag No. 3 schreibt:

Jetzt ist aber das $Y_{n+1}$ unabhängig von den $X_0,\ldots,X_n$ (Warum?) So folgt
$$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)=\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j)=\mathbb P(i+Y_{n+1}=j)=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)$$

Ja, um die Unabhängigkeit zu zeigen kennen wir einige Möglichkeiten.
wenn ich mich richtig errinnere, dann ist gerade bei Summen die Charakteristische Funktion sehr geeignet.
Wenn $\phi_{X_{n+1}}(s)=\phi_{Y_{n+1}+X_{n}}(s)=\phi_{Y_{n+1}}(s)\cdot \phi_{X_n}(s)$ dann sind $Y_{n+1}$ und $X_n$ unabhängig, aber sicher bin ich mir nicht.
Aber ich vermute du siehst das irgendwie schneller.


Nun dank der Unabhängigkeit sehe ich zumindest mal dass:
$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)$ $=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)\cdot \mathbb{P}(X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)$


Jetzt habe ich aber noch einen Faktoren zuviel. Aber wir können das Manöver wiederholen:

$=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)\cdot \mathbb{P}(X_n=i|X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)\cdot \mathbb{P}(X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)$



$=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)\cdot \mathbb{P}(Y_n+X_{n-1}=i|X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)\cdot \mathbb{P}(X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)$

Es geht mir einfach irgendwie nicht auf


Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-16 21:16
sulky
 

Vielen Dank für die Ausführungen Peter,

Folgende Gleichung verstehe ich leider nicht:

$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)=\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j)$

Hier wurde ja einfach $X_{n+1}$ durch $f(i,Y_{n+1})$ ersetzt.
Was erlaubt uns nun dem langen Ausdruck den Schwanz abzuschneiden?


Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-16 18:39
sulky
 

Hallo Peter,
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Stimmt, die sind noch unabhängig. Das erste i. steht für "independant"



Die gesammte Aufgabenstellung ist recht kurz gefasst.

Mit kurzem googeln habe ich an verschiedenen Stellen die "Irrfahrt" gefunden, teilweise exakt so definiert wie im Beispiel.

Jedoch war ich erstaunt das nicht überall gleich der Beweis folgt, dass die Irrfahrt ein Markovprozess ist.

Ich habe folgendes versucht:

Induktionsannahme:
$\mathbb{P}(X_{n+1}=e_{n+1}|X_{n}=e_n\cap...\cap X_0=0)=\mathbb{P}(X_{n+1}=e_{n+1}|X_{n}=e_n)$

Weiteres matehematisches Beweiswerkzeug:
 
$X_{k+1}=X_{k}+Y_{k+1}$

$\mathbb{P}(Y_k=-1)=\mathbb{P}(Y_k=1=\frac{1}{2})$

$\mathbb{P}(X_{n+1}=e_{n+1}|X_{n}=e_n\cap...\cap X_0=0)=\frac{\mathbb{P}(X_{n+1}=e_{n+1}\cap X_{n}=e_n\cap...\cap X_0=0)}{\mathbb{P}(X_{n}=e_n\cap...\cap X_0=0)}$

Damit zu folgern dass:

$\mathbb{P}(X_{n+2}=e_{n+2}|X_{n+1}=e_{n+1}\cap...\cap X_0=0)=\mathbb{P}(X_{n+2}=e_{n+2}|X_{n+1}=e_{n+1})$

Habe etwa eine halbe stunde probiert, bin leider nicht darauf gekommen.
Normalerweise gebe ich nach einer halben Stunde noch nicht auf.
Aber es ist ja nicht Teil der Aufgabenstellung zu beeisen dass die Irrfahrt ein Markovprozess ist. Dies ist vorausgesetzt.




Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-16 15:20
sulky
 

Hallo Zusammen,

Bei folgender Aufgabe verstehe ich trotz Musterlösung eigentlich gar nichts und brauche Hilfe.

Aufgabe: Seien $Y_1, Y_2,...$ identlisch verteile ZV, sodass
$\mathbb{P}(Y_1=1)=\mathbb{P}(Y_1=-1)=\frac{1}{2}$

Sei $X_0=1$, $X_n=X_0+Y_1+...+Y_n$ für $n\ge 1$ und

$H_0=inf\{n\ge 0: X_n=0\}$

Bestimme die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion $\phi(s)=\mathbb{E}(s^{H_0})$ von $H_0$




Zunächst wird bemerkt dass $(X_n)_{n\ge 0}$ eine Markovkette ist mit der Matrix $p_{k,k-1}=p_{k,k+1}=\frac{1}{2}$

Wie bemerkt man das? Dies alleine wäre eine Interessante Aufgabe, die es zu beweisen gäbe und ich habe mir einige Gedanken dazu gemacht.
Aber hier wird es einfach nur bemerkt. Vermutlich gibt es da einen Satz, an den ich gerade nicht denke. Wie erkennt man dass $(X_n)_{n\ge 0}$ eine Markovkette ist?


Musterlösung geht weiter: Verwenden wir nun dass $P$ invariant bezüglich Translation ist.

Sei $H_j=inf\{n\ge 0;X_n=j\}$

Sei $s\in ]0,1[$. Aufgrund der Markoveigenschaft gilt:

$\phi(s)= \mathbb{E}_{X_0=1}(\mathbb{E}^{H_0})$

Hier verstehe ich überhaupt nichts. Ich weiss nicht was das tiefgestellte $\mathbb{E}_{X_0=1}$ bedeutet noch was das hochgestellte $\mathbb{E}^{H_0}$ bedeutet.

Ich verstehe die Notation schon gar nicht und bin mir in diesem Zusammenhang nicht einmal sicher ob $\mathbb{E}$ für die Erwartung steht.

Ich bin mit dieser Aufgabe total überfordert und benötige Hilfe

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Darstellung einer Markovkette, die bei Null beginnt  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-14 18:26
sulky
 

Ok, aber $i,j\in \mathcal{S}$ ist mir noch unklar.
Die Spalten und Zeilenanzahl einer Matrix sind ja definitionsgemäss eine
Natürliche Zahl.

Ich habe mir überlegt ob ich jetzt irgendwie eine Bijektion von $\mathbb{Z}$ nach $\mathbb{N}$ konstruieren muss.


Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Darstellung einer Markovkette, die bei Null beginnt  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-14 16:11
sulky
 

Hallo syngola.

Nei es gibt keine Rechenaufgabe.

Aber jetzt ganz konkret. Angenommen die Bank gibt mir Kredit.
Wie sieht dann die Matrix aus?


Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Darstellung einer Markovkette, die bei Null beginnt  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-14 15:12
sulky
 

Hallo Zusammen,

Wir haben eine ganz einfach Aufgabe zu einer Markovkette, zu welcher die Musterlösung fehlt. Mit anderen Worten Prüfungsaufgabe sein wird.

Glückspiel. Ich beginne mit dem Guthaben a Euro. mit der Wahrscheinlichkeit $p$ gewinne ich einen weiteren Euro.
Mit $q=1-p$ verliere ich aber einen Euro.

Das Spiel ist aus wenn ich bei $0$ bin.

Blödes spiel. Mit anderen Worten. Im besten Falle verliere ich a Euro aber im schlechtesten Fall bleibe ich für immer im Casino. Aber darum geht es nicht.

Jetzt ist meine Frage wie ich dies sauber darstellen kann.
Ich kann ja mein aktuelles Guthaben $a_n$ nicht synonym verwenden mit dem $n$-ten Zustand.

Damit ich die Kette durch eine Matrix ausdrücken kann brauche ich ja $\mathbb{N}$ Zustände.  Eine Stochastische Matrix hat keine $0$-te Zeile.

In diesem Falle wäre es sehr einfach. ich könnte Ganz einfach die zuordnung $e_n=a_n+1$ machen.

Nur habe ich dies in unserem ganzen Unterricht nie gesehen. Deswegen frage ich lieber nach wie man das richtig macht.



Schwieriger wäre die Sache wenn mir die Bank kredit geben würde und auch negativa $a_n$ zulässig wären.
Dann wäre die Zuordnung von $\mathbb{Z}$ auf $\mathbb{N}$ kompliziert.


Wer hat damit Erfahrung?


Differentiation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
In welchen Punkten ist diese Funktion komplex differenzierbar?  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-13 19:06
sulky
 

Sehr gute Bemerkung Vercassivelaunos.

Also gemäss unseren Unterlagen heisst es $f\in \mathcal{C}^1$  und cauchy Riemann erfüllt $\Rightarrow$ $f$ ist holomorph.

Ich denke das trifft sich in etwa mit dem was du gesagt hast.


Dies korrekt anzuwenden überfordert mich gerade. Den Begriff $\mathcal{C}^1$ kenne ich aus der reelen Analysis und eine Erweiterung des Begriffes auf Teilbereich der komplexen Zahlenebene ist mit nicht bekannt.

Wie kann man prüfen ob $f:\Omega\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ in $\mathcal{C}^1$ liegt? Ich habe das nochmals bei Wikipedia nachgelesen.
Dort geht man im allgemeinen davon aus dass es sich um Reele Funktionen handelt

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sulky
richtiges Verständnis der stationären Verteilung einer Markovkette  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-12 20:55
sulky
J

Ach so, jetzt vermute ich es verstanden zu haben.

hier geht es um eine Folge von Verteilungen der Kette und nicht um
die Verteilungen der Einzelnen Kettenglieder.

und dann wenn man die kette bereits zu einem $\pi$- verteilten Zufallszustand startet, dann ist nach jedem schritt die Verteilung $\pi$

Jetzt bin ich mir ziemlich sicher es verstdanden zu haben.

Erinnerst du dich an folgendes Thema?
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=109128&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Aber ich habe jetzt wirklich was verstanden was ich zuvor nicht verstanden habe.

Vielen Dank Annakath

Differentiation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
In welchen Punkten ist diese Funktion komplex differenzierbar?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-12 20:20
sulky
 

Ja, du hast korrekt aus der Cauchy-Riemann gleichung gefolgert:

$x\cdot cos(x^2+y^2)=iy\cdot cos(x^2+y^2)$

Dabei hast du richtig gesehen dass dies erfüllt ist wenn $(x,y)=(0,0)$
Ich habe es durchgelesen, habe aber auch gerade übersehen, dass die Geleichung auch dann erfüllt ist wenn $cos(x^2+y^2)=0$ daher der Ausdruck mit $|z|=\sqrt{\frac{1}{2}+k}\;\pi$

Das man die Cauchy-Riemann Gleichung auch mit Partieller Ableitung nach $\overline{z}$ schreiben kann wusste ich auch nicht.
Aber scheint auf dasselbe zu kommen

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sulky
richtiges Verständnis der stationären Verteilung einer Markovkette  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-11 22:17
sulky
J

Ach so ja,  Das $\pi_n$ist ja nichts anderes als der Ausdruck für bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Trotzdem, Am Beispiel von Beitrag 4 und z.B. $k=2$ folgt doch dann:
$\frac{1}{2}=\mathbb{P}(X_1=2)= \sum_{n\in E}(X_1=2,X_0=n)=\sum_{n\in E}p_{n,2} \pi_n=\pi_2=\frac{1}{3}$

Hier klebe ich noch immer fest

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sulky
richtiges Verständnis der stationären Verteilung einer Markovkette  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-11 19:48
sulky
J

Ja, dass gilt:
$p_{n,k} = P(X_{j+1}=k | X_{j} = n)$
das ist schon klar, aber es steht ja:

$p_{n,k} \cdot \pi_n= P(X_{j+1}=k | X_{j} = n) $

Ich habe keine Ahnung wie sich dieses $\pi_n$ in die Gleichung schleichen konnte.

Aber anhand deiner Notation überlege ich etwas anderes.
Du schreibst $\pi_1= (0, \frac12 , \frac12 )$.

Du verwendest den Index $k$ von $\pi_k$ als die Nummerierung der Verteilungen. Also $\pi_k$ ist die Verteilung nach dem $k$-ten Schritt.

Bisher dachte ich dass $\pi_k $ die $k$-te Komponente des Zeilenvektores $\pi$ ist.

Kommt vielleicht daher das Missverständnis?

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sulky
richtiges Verständnis der stationären Verteilung einer Markovkette  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-11 16:11
sulky
J

ok, jetzt kommt licht ins Dunkle.


Aber nun haben wir im Lehrmittel  (nicht als bewiesener Satz formuliert):

$\mathbb{P}(X_1=k)=\sum_{n\in E} \mathbb{P}(X_1=k,X_0=n)=\sum_{n\in E}p_{n,k}\pi_n=\pi_k$

Das erste und das dritte "$=$" ist mir klar.
Dass zweite  "$=$" habe ich mir notiert dass ich es früher mal verstanden habe, aber jetzt sehe ich es nicht mehr.

In meinem Handgeschriebenen Beispiel aus Beitrag 4 müsste somit doch
$\mathbb{P}_{X_1}=\pi$ sein. Ist aber nicht und ich sehe nicht weshalb.
 

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