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Stochastik und Statistik  | |
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Hallo Sulky,
Schau Dir die erste Gleichung an, dort steht in der zweiten Zeile eine Funktion nur von $Y_{n+1}$. Nach Voraussetzung sind die Ypsilöner aber unabhängig untereinander und die $X_i$ Funktionen nur von $Y_1,\ldots,Y_n$. Die Zufallsvariablen $X_0,\ldots,X_n$ sind damit unabhängig von $Y_{n+1}$.
Ich hätte besser
$$\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)=\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j)$$
schreiben sollen.
Ist es jetzt klarer?
Gruß, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo Sulky,
Ich folge mal dem Beweis aus Bremauld "Markov Chains", S.58.
Satz 2.1. behauptet folgendes: Sei $(Y_n)_{n\geq1}$ eine iid Folge von Zufallsvariable mit Werten in F und $X_0$ eine von der Folge unabhängige Zufallsvariable mit Werten in E. Sei weiter f eine Funktion (für dein Beispiel ist f einfach die Summe) mit $f:E\times F\rightarrow E$. Dann wird durch die Rekursion
$$X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1})=X_n+Y_{n+1}$$
eine Markovkette definiert.
Der Beweis ist recht einfach.
$$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)=
\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)$$
Jetzt ist aber das $Y_{n+1}$ unabhängig von den $X_0,\ldots,X_n$ (Warum?) So folgt
$$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=1)=\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j)=\mathbb P(i+Y_{n+1}=j)=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)$$
Mit einer ähnlichen Rechnung zeigt man
$$\mathbb P(X_{n+1}=j|X_n=i)=\mathbb P(f(i,Y_{n+1})=j)$$
Es ergibt sich daraus schon die Eigenschaft, dass die Folge $(X_n)_{n\geq 0}$ eine zeithomogene Markovkette ist mit Übergangswahrscheinlichkeiten
$$p_{i,j}=\mathbb P(Y_{n+1}=j-i)$$
Hilft Dir das erstmal weiter?
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Notationen, Zeichen, Begriffe  | |
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Ich hatte ähnlich reagiert, als ich "Mitternachtsformel" zum ersten Mal gehört hatte.
Ich hatte auch schon ausländische Nachhilfestudenten, die mir zum Teil ganz andere Formeln und Lösungsstrategien beigebracht haben für quadratische Gleichungen. Von daher lernt man nie aus ;)
Grüße, P |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo Sulky,
für die Markoveigenschaft braucht man noch die Unabhängigkeit der $Y_i$. Das steht bestimmt irgendwo? Dann kannst Du die Markoveigenschaft direkt nachweisen.
Insgesamt definiert man so einen klassischen Random Walk (Irrfahrt) auf den ganzen Zahlen. Hier gibt es einen Satz über unabhängige Zuwächse den man benutzen könnte (Jeder stoch. Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist Markov)
Die Notation im Rest macht meiner Meinung nach keinen Sinn. Hast Du eine Quelle dazu, in die man hineinschauen könnte?
Ansonsten, du findest die Herleitung dieser erzeugenden Funktion auch in Nicolas Privault "understanding Markov Chains", Kapitel 3 (Er hat eine ausführliche, frei zugängliche Version auf seiner Webseite).
Grüße, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo,
in dem Fall gibt man gewöhnlich nur die Wahrscheinlichkeiten an.
Also zum Bleistift $p_{n,n+1}=p$ und $p_{n,n-1}=1-p=:q$ und null sonst. Die $n$'s könnte man dann aus $N$ oder $Z$ wählen.
Dann kann man $P$ die Übergangsmatrix formal so aufschreiben $$P=(p_{i,j})_{i,j\in\mathcal S}$$ wobei $\mathcal S$ der Zustandsraum ist.
Bei so großen Zustandsräumen macht es meistens keinen wirklichen Sinn mehr Matrizen zu schreiben. Habe auch nur ein Buch gesehen, wo das aus pädagogischen Gründen einmal gemacht wird.
Grüße, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Hi,
generell spielt es erstmal keine Rolle, wie die Zustände bezeichnet werden. In der Matrix beginnt man immer mit dem "ersten" Zustand, wie immer Du den auch bezeichnest. Hier zum Beispiel 0.
Schwierig an der Sache ist eher, dass der Zustandsraum die ganzen natürlichen Zahlen umfasst inklusive null, so dass deine Übergangsmatrix zu einem linearen Operator wird.
Was soll denn ausgerechnet werden?
Grüße, Peter |
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Notationen, Zeichen, Begriffe | |
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Ich frage mich nur, wie sinnvoll es ist "neue" Begriffe zu erfinden für etwas das schon einen Namen hat.
Vermutlich ist der zentrale GWS einfach zu schwierig für die Schule? |
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Notationen, Zeichen, Begriffe | |
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Hallo,
danke für die Antworten :D
Ich habe den Begriff heute im Rahmenlehrplan Berlin-Brandenburg gelesen und konnte damit nichts anfangen. Es scheint offiziell zu sein. Gehört habe ich den Begriff noch in gar keinem Kontext ;)
Danke euch beiden, damit komme ich weiter!
Grüße, Peter |
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Notationen, Zeichen, Begriffe | |
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Hallo alle,
kurze Frage: Ein Begriff der im Rahmenlehrplan Brandenburg auftaucht ist das "1 durch Wurzel n Gesetz". Ist das ein Schulbegriff für den zentralen Grenzwertsatz??
Grüße, Peter |
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Erfahrungsaustausch | |
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Hallo,
die Tutoren und Dozenten sind größtenteils über Skype zu erreichen. Das jetzt niemand bereit sei mit Dir zu sprechen kann ich mir kaum vorstellen.
Gruß, Peter |
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Mathematische Physik | |
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Hallo,
es gibt natürlich auch Grenzwertsätze, die auch für die Cauchy-Verteilung gelten. Im ZGWS ist der Skalierungsfaktor n^(1/2), die Idee ist einen anderen Faktor zu benutzen.
Hier findest du auf Seite 24 die verallgemeinerte Version:
Klick
Natürlich ist das nur ein Anhaltspunkt, ich denke ganz am Schluß wird nochmal gezeigt als Anwendungsbeispiel, dass die Cauchy-ZVen wieder gegen die Cauchy-Verteilung konvergieren.
Gruß, Peter |
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Stochastik und Statistik  | |
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Hi,
bei einer Regression möchte man einen Zusammenhang finden zwischen gegebenen Daten, hier x und y. Dabei ist die Annahme, dass die Daten an sich mit einem Rauschen belegt sind. Dieses Rauschen steckt in den "e" Termen. Dieser sagt nichts darüber aus, wie die xse und ypsilöner zusammenhängen, sondern nur, dass es einen zufälligen Messfehler gegeben hat.
Welcher Zusammenhang tatsächlich besteht (linear, quadratisch, irgendeine andere Funktion) kann man nur durch Regressionsverfahren abscätzen und dann bewerten, wie gut die Regression/Approximation war. Unter Umständen muss man dann die Regressionsannahmen ändern und korrigieren.
Hilft Dir das erstmal weiter? Vllt. ist es nützlicher das an Deinem konkreten Problem/Deiner Aufgabe zu besprechen?
Gruß, Peter |
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Sonstiges | |
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Hab grad "The Handmaid's Tale" von Margaret Atkins gelesen. Ist aus den 80ern und wurde grad von Amazon verfilmt. Das Buch lohnt sich, es geht um die Rolle der Frau in einer totalitären Theokratie.
Frohes Neues! |
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Stochastik und Statistik | |
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Hi,
nur um das mal zu ergänzen. Sorry fürs rauskramen, mir ist grad langweilig ;)
Der Stichproben- oder Ergebnisraum ist hier die Menge aller Mischungen der 52 Karten. Also alle möglichen 52-Tupel, wovon es 52! gibt. $\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{52})\in\{♣A,♣K,♣D,\ldots,♣2,♠A,\ldots,♠2,♥A,\ldots,♥2,♦A,\ldots,♦2\}^{52}:\omega_i\neq\omega j\}$
Nun gehört zu einem Wahrscheinlichkeitsraum auch die Definition des Maßes, das hier der Einfachheit halber einfach die Gleichverteilung ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für jede Sequenz von Karten (Mischung) gleich 1/52!
Jetzt muss man nur noch abzählen, wie viele der 52! Mischungen an der k-ten Stelle das erste Ass zeigen (das Ereignis kann man $A_k$ nennen):
$$P(A_k)=\frac{\#A_k}{52!}=\frac{48\cdot\ldots\cdot (48-(k-1))\cdot 4\cdot (52-k)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1}{52!}
=\frac4{52}\cdot\frac{\binom{48}{k-1}}{\binom{51}{k-1}}$$
Wer möchte kann noch $\sum_{k=1}^{49}P(A_k)=1$ nachrechnen.
Man kann solche Probleme also stets auch ohne Zufallsvariable lösen indem man den Laplaceansatz wählt (Anzahl günstige durch Anzahl mögliche Elementarereignisse).
4/52 ist übrigens auch die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt ein Ass an der k-ten Stelle kommt, es muss nicht das erste sein.
Studenten haben in der Regel damit Probleme, weil entweder die Modellierung mit dem Wahrscheinlichkeitsraum ungewohnt ist, oder weil das Ergebnis intuitiv ist, aber nicht formal gemacht werden kann.
Gruß, Peter
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo,
Du brauchst zunächst eine Vermutung was das X für eine Zufallsvariable sein könnte.
Wie sähe denn eine Bernoullivariable mit Parameter 0 aus?
Gruß, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Für c) würde ich die Transformationsformel für Dichten vorschlagen. Mit der Faltungsformel kommt man hier nirgendwo hin.
Alternativ ginge es auch mit dem bedingten Erwartungswert.
Gruß, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo,
wie es aussieht zieht man hier n-mal eine schwarze mit wkeit p oder eine weiße Kugel mit Wkeit 1-p aus einer Urne (ziehen mit Zurücklegen). Dann lautet die Bedingung „in den n Ziehungen gab es genau eine schwarze Kugel und n-1 weiße“.
Da die Kugeln nacheinander gezogen werden ist T definitiv geometrisch verteilt.
Ohne es nachgerechnet zu haben könnte ich mir denken, dass hier der Satz von Bayes weiterhilft...
Gruß, Peter |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo,
Du könntest damit anfangen die Verteilung von  zu bestimmen. Zum Beispiel über die Transformationsformel oder ganz einfach:
Ableiten ergibt dann die Dichte von . Dafür musst Du die Verteilungsfunktion nicht direkt benutzen, denk aber an die Kettenregel!
Das Ergebnis ist die inverse Gamma-Verteilung. Diese hat für die von Dir noch zu bestimmenden Parameter einen endlichen Erwartungswert (nämlich 1/2k).
Mit der Definition der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und der Markov-Ungleichung solltest Du damit zum Ziel kommen.
Das mal als Fahrplan :D
Hilft Dir das weiter?
Gruß, Peter |
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Schulmathematik | |
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Hi,
@Viertel, es gibt keinen Kontext. Ich frage nach der Bedeutung eines Fachbegriffs. Es ist keine Rätselaufgabe ;)
@cyrix, Danke. Das scheint es zu sein. :D Ich wundere mich nur, dass Google dazu nichts geliefert.
Danke Euch :D
Gruß, Peter |
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Schulmathematik | |
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Hi,
falls sich jemand in der internationalen besonders englischsprachigen Lehre auskennt, ich suche nach einer adäquaten Übersetzung von "2 digit static decimal" und ähnlich "2 digt movable decimal".
Leider bin ich da selbst überfragt, das Internet findet dazu auch nichts. Jedenfalls nicht in dieser Konstellation.
Gruß, Peter
PS: das müsste irgendwo noch in die elementary school passen, auf deutsch jedenfalls vor Klasse 8. |
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