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Aussagenlogik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Rurien9713
Vorgehen Beweis  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-02 20:48
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Wenn man $\lnot A$ beweist, widerlegt man $A$.
\(\endgroup\)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Milad
Isomorphismus  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-02 14:12
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ich gehe mal davon aus, du meinst $G=\langle(1\ 2\ 3\ 4)\rangle$ und $H = \langle(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4)\rangle$.
Wenn man es mit endlichen Gruppen zu tun hat, kann man sich diverse einfache Dinge anschauen, um zu widerlegen, dass zwei Gruppen isomorph sind. Dazu gehören zum Beispiel:
* die Anzahl der Elemente,
* die Anzahl der selbstinversen Elemente,
* die Anzahl der idempotenten Elemente (das ist, zugegeben, interessanter in Halbgruppen/Monoiden, die keine Gruppen sind).

Wenn also etwa die Anzahl der selbstinversen Elemente von G ungleich der Anzahl der selbstinversen Elemente von H ist, können G und H nicht isomorph sein. (Dazu muss ggf. noch bewiesen werden, dass sich Isomorphismen auf Bijektionen zwischen den entsprechenden Teilmengen einschränken.)

Zähle doch mal.
\(\endgroup\)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: fhannes
Beweis mit Körperaxiomen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-24 22:22
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Körperaxiome sprechen nicht über $|-|$ oder $\geq$.
\(\endgroup\)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: fhannes
Vollständige Induktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-24 22:18
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Es ist $$\sum_{k=0}^n 1/k!\le 3-1/n$$ gemeint, wie man anhand des Nachrichtenquelltexts erraten kann.
\(\endgroup\)

Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: JamesNguyen
Java, Exception und Schleife  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-21 18:38
tactac
 

Die Dokumentation enthält die gewünschte Information.
Die Methode nextInt überliest im Fehlerfall den anliegenden Input nicht. Man könnte also, falls das Lesen eines ints fehlschlägt, etwas anderes zu lesen versuchen.
nextLine liest den Input bis hinter einen Zeilenumbruch.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Prädikatenlogik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Simon_St2
Anzahl an Quantoren  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-21 16:19
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Setzt man $\forall x$ vor eine Formel $\phi$, werden damit alle freien Vorkommen von $x$ in $\phi$ gebunden. Falls ein $x$ in $\phi$ gebunden vorkommt, ist es sozusagen ein anderes $x$.
Programmiersprachen-Jargon dafür ist "Shadowing".
\(\endgroup\)

Prädikatenlogik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Simon_St2
Anzahl an Quantoren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-20 22:10
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Wenn $\phi$ eine Formel ist, in der $x$ nicht frei vorkommt, kann man aus $\phi$ üblicherweise $\forall x.\ \phi$ schließen.
\(\endgroup\)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: JamesNguyen
Aussagen über Verknüpfungen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 15:27
tactac
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Man weiß, dass $(x \diamond y)^{-1}$ "das inverse Element" von $x \diamond y$ ist, sobald man diese Schreibweise eingeführt hat. Diese Schreib- und Sprechweise ist allerdings bei der von dir angegebenen Axiomatisierung erst richtig statthaft, wenn man vorher noch beweist, dass es zu jedem $x \in G$ genau ein $y\in G$ gibt mit $x \diamond y = e = y \diamond x$.
\(\endgroup\)

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: Wario
Zahlenfolge 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1  
Beitrag No.57 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-17 12:23
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-11-17 11:36 - viertel in Beitrag No. 54 schreibt:
2020-11-17 11:22 - gonz in Beitrag No. 53 schreibt:
Die Collatzfolge mit Startwert 3304 ergibt mod 2 die gesuchte Folge.
fed-Code einblenden
Oder auch nicht 🙁
Wie kommst du von 413 auf 620 😲?
Ungerade $n$ gehen bei gonz nach $\lfloor 3n/2\rfloor+1$. Ist doch auch nett! 😁

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.55 begonnen.]
\(\endgroup\)

Mengenlehre
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: elbantar
Abbildung von ℕ₀ auf die Potenzmenge(ℕ₀)  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16 16:54
tactac
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Für eine echt aufsteigende Kette habe ich eine Lösung, die $x$ eine Menge zuordnet, die aus den ersten Primzahlen $p_0,p_1,\cdots,p_x$ entsteht.
\(\endgroup\)

Mengenlehre
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: elbantar
Abbildung von ℕ₀ auf die Potenzmenge(ℕ₀)  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16 16:45
tactac
J

Ich schlage vor, wir geben absteigende *und* aufsteigende Ketten an, damit es nicht zur Verwirrung kommt, weil der eine einen Teil von Beitrag #0 gelesen hat, und der andere einen anderen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Mengenlehre
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: elbantar
Abbildung von ℕ₀ auf die Potenzmenge(ℕ₀)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16 16:17
tactac
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-11-16 15:25 - elbantar im Themenstart schreibt:
[...] und: \(x<y\Rightarrow g(x)\subsetneq g(y)\)
Ich verzweifle langsam daran, es müsste ja quasi eine Funktion sein, dass g(y) "weniger" Elemente besitzt als g(x), bzw. dass es in g(x) noch mehr Elemente welche aber nicht in g(y) sind, aber gleichzeitig y > x.
Hier passt der Text nicht zur Formel. Was ist nun wirklich gemeint?
\(\endgroup\)

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: tactac
Effiziente automatische Differentiation einfach gemacht durch Kategorientheorie  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16 13:37
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-11-16 10:50 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich habe mir die ersten 30 Minuten bisher angesehen (vermutlich wird es dabei bleiben; viele Sachen sind unpräzise und dazwischen gibt es zu viel Gelaber).

Ich sehe nicht, inwiefern die von ihm formulierte "kompositionelle" Kettenregel überhaupt wohlgeformt ist:

Seien $U,V,W$ normierte Räume (er behauptet anfangs, man bräuchte Banachräume, was nicht stimmt), $f : U \to V$, $g : V \to W$ differenzierbare Abbildungen. Die übliche Kettenregel (für die lineare Abbildung $D(f)(u) : U \to V$ für $u \in U$) sagt dann

$D(g \circ f)(u) = D(g)(f(u)) \circ D(f)(u)$

Er sagt nun, dass das nicht ganz "kompositionell" (gemeint "Funktorialität") ist, weil der Funktionswert $f(u)$ auftaucht.

Abhilfe schaffen soll die Abbildung

$\hat{D}(f) : U \to V \times \mathcal{L}(U,V),\,  u \mapsto (f(u),D(f)(u)),$

bei der man sich also noch den Funktionswert merkt. Es wird also behauptet, dass

$\hat{D}(g \circ f) = \hat{D}(g) \circ \hat{D}(f).$

Die rechte Seite hat aber keine sinnvolle Definition. Das Zielobjekt von $\hat{D}(f)$ ist $V \times \mathcal{L}(U,V)$, der Startobjekt von $\hat{D}(g)$ ist $V$.

Oder irre ich mich? Mich wundert das ziemlich, weil diese (falsche) Gleichung anscheinend die Grundlage seines Vortrags ist.
Wenn $f\colon U \to V$, dann ist $\hat {\mathcal D}(f) \in \mathsf D(U,V)$, wobei $\mathsf D$ eine Kategorie ist, wo ein Pfeil von $U$ nach $V$ in einer weiter unten liegenden Kategorie von $U$ nach $V \times \mathcal{L}(U,V)$ geht. Eine ähnliche Situation (oder das hier vorliegende ist eine Instanz, müsste man sich mal überlegen) hat man bei Kleisli-Kategorien für eine Monade.  Auf der rechten Seite steht $\circ$ für die Komposition in der Kategorie $\mathsf D$. Diese Komposition wird ungefähr bei 31:35 in der Kategorie-Instanz-Deklaration definiert.
\(\endgroup\)

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: tactac
Effiziente automatische Differentiation einfach gemacht durch Kategorientheorie  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14 20:38
tactac
 

In diesem Vortrag stellt Conal Elliot eine präzise Spezifikation und eine daraus berechnete Implementierung automatischer Differentiation vor.
Unter den fragenstellenden Zuhörern finden sich David Spivak und Paul Taylor.

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: Wario
Zahlenfolge 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1  
Beitrag No.26 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-13 16:11
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Noch eine nette Möglichkeit, die in $\{0,1\}$ bleibt: $f\colon \IN \to \{0,1\}$, $$f(k) = \begin{cases}
 0 & k < 3 \\
 1 & k = 3 \\
 \max (f(k-3),f(k-4)) & \text{sonst}
\end{cases}$$
\(\endgroup\)

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: Wario
Zahlenfolge 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-13 00:14
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-11-12 23:48 - hyperG in Beitrag No. 18 schreibt:
2020-11-12 21:43 - tactac in Beitrag No. 17 schreibt:
Haskell
map snd $ tail $ iterate ((`divMod`2).fst) (3784,undefined)


Klingt interessant, aber diese Sprache ist wirklich sehr weit vom mathematischen Syntax entfernt.
DivMod ist zwar eine bekannte Funktion, aber wo werden hier die 3 nötigen Funktionsparameter übergeben
divMod nimmt 2 Argumente und gibt ein Paar von Zahlen zurück. Sie setzt Division mit Rest um (etwa ist divMod 17 4 gleich (4,1)). (`divMod`2) ist die daraus entstehende Funktion, indem das zweite Argument auf 2 fixiert wird. Das ist dann also eine Funktion (mehr oder weniger) $\IZ \to \IZ\times \IZ$. Ihr wird eine Projektion (fst) präkomponiert (mit ., was für $\circ$ steht), wodurch eine Funktion $\IZ\times \IZ \to \IZ\times \IZ$ entsteht,

und von wo bis wo läuft der Index zur Erzeugung der Tabelle?
die man ausgehend von irgendeinem Startwert (hier: (3784, undefined)) iterieren kann (das macht iterate) und so die Folge *aller* Iterationsschritte geliefert bekommen kann. Das erste Folgenglied interessiert uns nicht, drum werfen wir das weg (per tail), und von den anderen interessiert uns nur die zweite Komponente (map snd), da diese die Divisionsreste enthält.

Wenigstens die Ergebnis-Ausgabe sollte schon mit angegeben werden.
Grüße Gerd
Es gibt keine Ergebnisausgabe. Es handelt sich um eine unendlich lange Folge, die mit 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1 beginnt und mit der man machen kann, was man will (natürlich auch ausgeben).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
\(\endgroup\)

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: Wario
Zahlenfolge 0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-12 21:43
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Haskell
map snd $ tail $ iterate ((`divMod`2).fst) (3784,undefined)
\(\endgroup\)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: JamesNguyen
Was ist mit Monoidstrukturen gemeint?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-11 15:46
tactac
J

2020-11-11 15:34 - JamesNguyen in Beitrag No. 2 schreibt:
Wäre das die Lösung für die ein elementige Menge?

Du solltest vielleicht noch die Verknüpfung ° expliziter angeben; mindestens so explizit wie das neutrale Element.
Jedoch hast du dann auch nur gezeigt, dass es auf einelementigen Mengen eine Monoid-Struktur gibt. Laut Aufgabenstellung sollst du aber alle angeben. (Was dasselbe sein kann, wie eine anzugeben und zu argumentieren, dass man nirgends eine Wahl hatte.)

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kokosnuss001
Regulärer Ausdruck  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-09 02:50
tactac
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ok. Der obere Teil mit ein paar Ergänzungen ist das, was ich weiter oben als "normale Schleife" bezeichnet habe. Einer der Zustände dort muss natürlich noch Endzustand werden und vom Zustand 0 muss es auch mit der Ziffer 0 irgendwohin gehen. Da $0\cdot 2 + 0 = 0$, sollte klar sein, wohin.

Zu guter letzt benötigt Zustand 3 einen Übergang für die Ziffer 1. Tipp: "11" soll akzeptiert werden.
\(\endgroup\)

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kokosnuss001
Regulärer Ausdruck  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-09 00:42
tactac
 

Akzeptiert werden sollen die Strings, die die "normale" binäre Darstellung durch 3 teilbarer Zahlen sind. Also:
0 (0)
11 (3)
110 (6)
1001 (9)
1100 (12)
1111 (15)
10010 (18)
10101 (21)
11000 (24)
11011 (27)
usw.

Nicht akzeptiert werden soll jeder andere String, also der Leerstring und z.B.
00
1
01
000
010
011
0110
100
101
111
 

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