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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Zusammenhang Ableitung/Integral  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15 21:28
traveller
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
2020-11-15 21:15 - Sandrob im Themenstart schreibt:
Jedoch haben wir in der Vorlesung das Riemann'sche Integral eingeführt und dies gibt ja bekanntlich eine Zahl (also Fläche unter dem Funktionsgraphen).

Naja, wenn man die obere Intervallgrenze $x$ nennt, dann gibt es halt für jedes erlaubte $x$ eine andere "Zahl", sprich man hat eine Funktion von $x$...
\(\endgroup\)

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Parallelogrammfläche und Spatvolumen bei ganzzahligen Koordinaten  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-08 15:01
traveller
 

@Dampfmaschine:

Gut, hier könnte man argumentieren, dass dies einfach an der Definition des Cosinus liegt...

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
"Riemann-Reihen" anstatt Riemann-Summen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-06 14:11
traveller
 

Hallo,

Angenommen, wir erweitern Riemann-Summen dahingehend, dass wir auch Reihen erlauben (also den Limes $n\rightarrow\infty$), solange diese konvergent sind. Damit könnte man auch Integrale der Form $\int_0^\infty$ direkt definieren, solange alle Folgen von konvergenten "Oberreihen" und "Unterreihen" zum gleichen Grenzewert konvergieren.

Etwa bei
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$ könnte man unendliche, nach links immer feiner werdende Zerlegungen betrachten, sodass die entsprechenden Reihen konvergieren (was bei endlich vielen Zerlegungen nicht geht).

Frage: Welche Menge an Funktionen wird damit Riemann-integrierbar, welche es vorher nicht war? Sind es gerade die uneigentlich Riemann-integrierbaren Funktionen? Oder mehr/weniger als diese?

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Geradentreue der zentrischen Streckung  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-03 06:10
traveller
 
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Hallo,

Sorry für die späte Antwort.

2020-10-24 14:47 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 7 schreibt:
2. Seien $P,Q$ zwei ungleiche Punkte, von denen auch keiner identisch zu $S$ ist, $g$ eine Gerade durch $S$, die parallel zu $PQ$ ist (existiert nach Parallelenpostulat). Dann ist auch $P'Q'$ parallel zu $g$, wobei $P',Q'$ die durch zentrische Streckung aus $P,Q$ entstandenen Punkte sind.

Das dürfte der kritische Punkt sein. Wie folgt das?
\(\endgroup\)

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Parallelogrammfläche und Spatvolumen bei ganzzahligen Koordinaten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-02 00:37
traveller
 

Hallo,

Betrachten wir Punkte im $\mathbb{Z}^3$, also mit ganzzahligen Koordinaten. Was mir auffällt ist, dass sowohl der Abstand zweier solcher Punkte als auch die Fläche eines Parallelogramms in $\mathbb{Z}^3$ irrational sein können (Quadratwurzeln), das Volumen eines Spates in $\mathbb{Z}^3$ jedoch immer eine ganze Zahl ist. Dies ergibt sich sofort aus den Formeln für Betrag, Vektor- und Spatprodukt.

Ist das "Zufall" oder gibt es hierfür irgendeine Interpretation?

Optik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Rene_21
Longitudinalwellen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-01 10:56
traveller
 

Da scheint es mir aber etwas Definitionsfrage zu sein, ob man dies überhaupt als "elektromagnetische Welle" bezeichnen sollte, Wikipedia etwa sagt:

"Maxwell's equations lead to the prediction of electromagnetic waves in a vacuum, which is strictly transverse waves, that is, the electric and magnetic fields of which the wave consists are perpendicular to the direction of the wave's propagation. However plasma waves are longitudinal since these are not electromagnetic waves but density waves of charged particles, but which can couple to the electromagnetic field."

Wie auch immer, OP hatte sicher nicht sowas im Sinne.

Optik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Rene_21
Longitudinalwellen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-31 19:22
traveller
 

Alle elektromagnetischen Wellen, insbesondere Licht, sind Transversalwellen und nie Longitudinalwellen.

LongitudinalMODEN gibt es aber sowohl bei Longitudinal- als auch bei Transversalwellen.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxxam
Verständnisproblem bei der Integration  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-31 11:02
traveller
 

Hallo,

Wikipedia sagt:
"Die in Standardschreibweisen wie $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}x $ für Integrale oder $\tfrac {{\mathrm d}f}{{\mathrm d}x}$ für Ableitungen auftretenden Differentiale werden heutzutage üblicherweise als bloßer Notationsbestandteil ohne eigenständige Bedeutung angesehen."

Was verstehst du also unter $\dd x$, wenn dies nicht in einem dieser beiden Ausdrücke vorkommt?

Ist $\dd x$ endlich, so würde man eher $\Delta x$ schreiben und dann gilt unter den üblichen Voraussetzungen
$$\int_x^{x+\Delta x} \! f(x) \, \dd x = F(x+\Delta x)-F(x) \approx f(x)\Delta x\enspace .$$
Für andere Interpretationen müsste man wohl die Nichtstandardanalysis bemühen.

Kryptologie
Ausbildung 
Thema eröffnet von: StrgAltEntf
Online-Fortbildung  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-30 03:12
traveller
 

Ebenfalls ein Skript von EducETH.

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Vektorgeometrie: Abstand Punkt – Gerade auf verschiedene Arten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-26
traveller
 

Hallo,

Ich hab mir gerade überlegt, wie viele Methoden ich kenne, um den Abstand eines Punktes $Q$ von einer Geraden $g:\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t\cdot\vec{u}$ zu berechnen und hab gleich noch ein paar mehr gefunden:

1. Die Lot-Fusspunktmethode: Die Bedingung $\overrightarrow{XQ}\cdot\vec{u}=0$ führt auf eine lineare Gleichung in $t$.
2. Mit Vektorprodukt: Die Fläche des von $\overrightarrow{PQ}$ und $\vec{u}$ aufgespannten Parallelogramms lässt sich auf zwei Arten berechnen:
$$\left|\overrightarrow{PQ}\times\vec{u}\right|=A=d\cdot\left|\vec{u}\right|\enspace,$$ wobei $d$ die Höhe des Parallelogramms und damit auch der gesuchte Abstand ist.
3. Man betrachte die Ebenenschar mit $\vec{u}$ als Normalenvektor und finde diejenige, welche auch $P$ enthält. Der Durchstosspunkt von $g$ durch diese Ebene ist der Lot-Fusspunkt.
4. $\left|\overrightarrow{XQ}\right|^2=\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OX}\right|^2$ führt auf eine quadratische Funktion in $t$, welche man minimieren kann.
5. Sei $\vec{u}_0=\frac{\vec{u}}{\left|\vec{u}\right|}$. Dann sieht man mit einer Skizze schnell, dass aus dem Satz von Pythagoras folgt
$$d=\sqrt{\overrightarrow{PQ}^2-\left(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{u}_0\right)^2}\enspace .$$
Natürlich sind diese Wege nicht alle voneinander unabhängig, 2 und 5 etwa gehen über Vektorprodukt-Skalarprodukt-Zusammenhänge auseinander hervor. Oder 1 kriegt man aus 4 durch Ableiten. Trotzdem fand ich die Anzahl Möglichkeiten interessant, gibt es vielleicht noch mehr?

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Geradentreue der zentrischen Streckung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-24
traveller
 

Was muss ich grossartig einführen, wenn ein markiertes Lineal verwendet wird und die normale Multiplikation im Körper $(\mathbb{R},+,\cdot)$? Insbesondere, wieso benötige ich dort bereits ein Koordinatensystem, das ja schon mindestens zweidimensional sein müsste?

Oder was, wenn wir uns erstmal auf ganzzahlige Streckfaktoren beschränken? Dafür braucht man auch bei der Konstruktion keine Strahlensätze.

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Geradentreue der zentrischen Streckung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-24
traveller
 
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2020-10-24 00:00 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Außerdem scheinst du auch bereits zu sein, kartesische Koordinatensysteme zu verwenden.

Darauf würde ich lieber verzichten. Mir scheint, dass da schon einiges an Annahmen einfliesst, etwa: Man liesst die $y$-Koordinate eines Punktes ab, indem man eine Parallele zur $x$-Achse durch den Punkt legt und den Schnittpunkt auf der $y$-Achse sucht. Da stecken schon Begriffe wie Gerade, Parallelität und evtl. sogar der zweite Strahlensatz drin.

Man gebe einem Kind ein Lineal, einen Stift und ein Blatt Papier, auf welchem neben einem Streckzentrum $S$ Punkte $P$, $Q$ und $R$ gezeichnet sind, welche auf einer Geraden liegen (was mit dem Lineal nachgeprüft werden kann). Nun soll es die in Beitrag 2 beschriebene Konstruktion ausführen. Es wird feststellen, dass $P'$, $Q'$ und $R'$ auch wieder auf einer Geraden liegen.

Ich habe für die Formulierung dieser Aufgabe keine Koordinatensysteme, affine Räume, usw. gebraucht und hoffe, dass auch der Beweis ohne auskommen kann. Bei all den anderen Eigenschaften von zentrischen Streckungen wie Parallelen- und Winkeltreue ist dies schliesslich auch möglich, aber all diese benutzen bereits die Geradentreue.

Natürlich ist mir schon klar, dass in die obrige Konstruktion bereits diverse Annahmen einfliessen, und die kritische wird wohl sein, wie "Gerade" bzw. das "Lineal" definiert sind, bzw. was für ein Axiomensystem man dazu braucht. Aber die alten Griechen kannten diese ja auch schon ohne Koordinatensysteme oder affine Räume.
\(\endgroup\)

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Geradentreue der zentrischen Streckung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-23
traveller
 

Hallo,

Ich möchte alles so elementargeometrisch wie möglich halten um zu vermeiden, dass ich die Aussage irgendwo bereits benutze und damit ein Zirkelschluss besteht.

Ich definiere die zentrische Streckung mal über die Konstruktion: Um einen Punkt $P$ an einem gegebenen Streckzentrum $S$ mit dem Streckfaktor $k>0$ zentrisch zu strecken, messe man $\overline{SP}$, berechne $k\cdot\overline{SP}$ und trage diese Strecke auf der Halbgerade von $S$ durch $P$ ab.
Es soll gezeigt werden: Liegen $P$, $Q$ und $R$ auf einer Geraden, so tun dies auch $P'$, $Q'$ und $R'$.

Die Frage ist wohl, in welchem möglichst einfachen Axiomensystem man diese Definition formulieren kann.

Bette ich das Ganze etwa in ein Koordinatensystem ein mit Streckzentrum im Ursprung, so verwendet man doch bereits einen zweiten Strahlensatz wenn man nur schon $P(x|y)\rightarrow P'(kx|ky)$ benutzt...

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Geradentreue der zentrischen Streckung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-23
traveller
 

Hallo,

Wie beweist man die Geradentreue der zentrischen Streckung? Egal was ich versuche, irgendwo stosse ich immer wieder auf einen Strahlensatz, Ähnlichkeit oder Winkeltreue, was alles ja üblicherweise über die Geradentreue bewiesen wird.

Riemannsche Summen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobias150801
Wie heißt diese Formel/Satz/Theorem?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20
traveller
J

Diese spezielle Gleichung wohl nicht, aber allgemeiner handelt es sich hier um ein Riemann-Integral.

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: TinoRitter
Request for discussion : Beal Conjecture  
Beitrag No.25 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-11
traveller
 

2020-10-11 12:43 - Slash in Beitrag No. 18 schreibt:
Für Tino hier

Wo wir mit Kezers Beitrag bei Rechtschreibung angelangt wären, ein Rechtschreibfehler auf dem Titelblatt einer solchen Arbeit ist schon heftig 😲
Ausser, es geht hier um das Lehramt in Agrarwissenschaften ...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Unendliche Reihe in Integral umwandeln  
Beitrag No.24 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-11
traveller
 

Ja, das wäre dann das Zählmass (man entschuldige meine helvetische Nichtverwendung des scharfen S).

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: luisaS
Geometrische Verteilung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-11
traveller
 

2020-10-11 00:35 - luisaS im Themenstart schreibt:
Ich frage mich da nun warum man $P(Y>9)$ schreibt, weil es sicher ist, dass der Algorithmus 9x nicht terminieren wird und ab $10$ wäre es möglich? Aber er könnte doch auch 10 mal nicht terminieren und dann beim 11 mal?

Natürlich, es steht ja nicht $P(Y=9)=(1-p)^8 p$, sondern
$$P(Y>9)=\sum_{k=10} ^\infty P(Y=k)=\sum_{k=10} ^\infty (1-p)^{k-1} p=\dots=(1-p)^9\enspace,$$ wobei man den Schritt "$\dotsm$" erst mal beweisen muss, was ihr wohl aber gemacht habt.

Analog ist dann
$$P(Y\leq 10)=\sum_{k=1} ^{10} P(Y=k)=1-\sum_{k=11} ^\infty=1-(1-p)^{10
}\enspace.$$

Folgen und Reihen, Induktion
Schule 
Thema eröffnet von: Spedex
Summe einer Folge vereinfachen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
traveller
J

2020-10-10 21:39 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Eine Formel für $\sum_{k=0}^{n} q^k$ kennst du sicherlich schon. 😉

Wollt ich eigentlich auch schreiben, aber ich vermute es geht schlussendlich darum, diese herzuleiten...

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Kurvenintegral  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
traveller
J

2020-10-10 12:37 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
Durch klassisches Auflösen des Kurvenintegrals komme ich nicht drauf.

Das geht aber, schreib doch mal deinen Rechenweg hier auf.
 

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