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  Integritätsbereiche werden isomorph nach Lokalisierung |
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Saki17
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 | \(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec}
\newcommand{\O}{\mathcal{O}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,
gegeben seien zwei Integritätsbereiche $A$, $B$ so, dass es ein $f\in Frac(B)$ gibt sodass $A[f]\subset B$ und $Frac(B)=Frac(A)[f]$ (im Notfall nehme noch an, dass $Frac(B)$ separabel über $Frac(A)$ ist). Meine Frage ist, (wieso) gibt es ein $g\in A$ sodass $B\subset A_g[f]$? (es folgt dann $B_g=A_g[f]$)
Die Frage stammt aus einem konkreten Beweis, ich hoffe dass ich alle notwendigen Bedingungen genannt habe.\(\endgroup\)
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19
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Gegenbeispiel: $B = k[x_1,x_2,\dotsc]$, $A = k[x_1, x_1^2 x_2, x_1^3 x_3,\dotsc]$, $f = 0$.
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Triceratops
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| Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-19
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Wenn $A,B$ beides $k$-Algebren sind für einen kommutativen Ring $k$ und $B$ endlich-erzeugt ist, dann gilt die Aussage natürlich.
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Saki17
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|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
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\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec}
\newcommand{\O}{\mathcal{O}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2020-10-19 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn $A,B$ beides $k$-Algebren sind für einen kommutativen Ring $k$ und $B$ endlich-erzeugt ist, dann gilt die Aussage natürlich. Danke, das ist das Entscheidende.
Ich hoffe ich hab's kapiert: Unter der zusätzlichen zitierten Bedingung kann man die Erzeuger $b_j$ von $B$ zunächst als $Frac(A)$-lineare Kombinationen der $f^i$ schreiben, etwa $b_j=\sum_i c_{ij}f^i=\frac{1}{g_j}\sum_i a_{ij}f^i$, $a_{ij}\in A$ (Hauptnenner). Weil $B$ endlich-erzeugt ist und $A, B$ $k$-Algebren sind, folgt die Behauptung (betrachte den Hauptnenner der $g_j$).\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-20
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Bevor du weitere solche Rechnungen durchführst, lohnt es sich, den allgemeinen Begriff eines endlich-erzeugten Objektes anzuschauen. Eine endlich-erzeugte $k$-Algebra $B$ hat diese Eigenschaft. Nun beachte man
$Frac(A)[f] = \mathrm{colim}_{g \in A \setminus \{0\}} A_g[f].$
Die Inklusion $B \to Frac(A)[f]$ faktorisiert also über ein $A_g[f]$.
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Saki17
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20
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