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| Autor |
  Differenzierbar an x_0? |
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norman_timo
Junior 
Dabei seit: 22.09.2003
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2003-09-22
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Habe folgende Aufgabenstellung:
f(x)=e Ù - Betrag(x)
sprich: e hoch (minus Betrag von x)
Prüfen Sie ob f an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist?
Hierzu folgende Methode:
lim f(x) - f(x0)
------------
x->x0 x - x0
oder:
lim f(x0+h) - f(x0)
---------------
h->0 h
Komme einfach nicht auf die Lösung, vielleicht Ihr :-?
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 Profil
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Martin_Infinite
Senior 
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-09-22
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Hi norman_timo!
Die Funktion ist nicht bei x=0 diff'bar. Dazu betrachte den
Differentialquotient für x < 0 bzw. x > 0 und die Definition:
abs(x)=fdef(x wenn x >= 0;-x wenn x < 0)
Es werden verschiedene Ergebnisse rauskommen.
Geometrisch kann man sich das so veranschaulichen:
\geoon
xy(-2,2)
plot(exp(-abs(x))
\geooff
geoprint()
Gruß
Martin
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-09-22 20:34 ]
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Profil
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norman_timo
Junior
Dabei seit: 22.09.2003
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-22
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Vielen dank für die schnelle Hilfe.
Soweit hatte ich auch gedacht, aber mir fehlt die Rechnung die das belegt (auch wenn ich das Ergebnis weiß!)
bis zur Aufstellung der Rechnung bin ich gekommen:
lim(x->x0,(e^(-x)-e^x0)/(x-x0))
Und dann???
Für eine Antwort wäre ich sehr, sehr dankbar!
CU
Norman-Timo
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2003-09-22
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Hallo, norman_timo!
\ee^abs(x)=fdef(\ee^x,x>=0;\ee^(-x),x<0)
Dann gilt für deinen Differenzenquotienten
(f(0+h)-f(0))/h=fdef(\ee^h/h,h>0;\ee^(-h)/h,h<0)
Für h>0 gilt: lim(h->0,\ee^h/h)=1
\blue (1) \black Für h<0 gilt: \ee^(-h)/h<0
=> lim(h->0,\ee^(-h)/h)<=0<>1, falls der GW existiert.
bzw.
\blue (2) \black \ee^(-h)/h=-(\ee^(-h)/(-h))
=>lim(h->0,\ee^(-h)/h)=lim(h->0,-(\ee^(-h)/(-h)))=-lim(h->0,\ee^(-h)/(-h))=-1
weil lim(h->0,\ee^(-h)/(-h))=lim(h->0,\ee^h/h)=1
Also ist f in 0 nicht differenzierbar.
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-09-22
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Hallo!
Du willst doch an einer bestimmten Stelle die Differenzierbarkeit überprüfen, und zwar bei
x_0 = 0
Also mußt du in deiner Formel einsetzen:
lim(x->x_0, (e^(-abs(x))-e^(-abs(x_0)))/(x-x_0) = lim(x->0, (e^(-abs(x))-e^(-abs(0)))/(x-0) = lim(x->0, (e^(-abs(x))-1)/(x))
Und jetzt, wie Martin sagte, einmal von unten und einmal von oben x an 0 annähern.
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norman_timo
Junior
Dabei seit: 22.09.2003
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-22
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Herzlichen Dank mit großer Erleuchtung!!
Stand wohl n bissl auf der Leitung!
Ciao
Norman-Timo
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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