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Analysis » Stetigkeit » lokal Lipschitz-stetig => Lipschitz-stetig auf Kompaktum
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Universität/Hochschule lokal Lipschitz-stetig => Lipschitz-stetig auf Kompaktum
Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2008-07-04


Hallo zusammen,


sei f : D -> R^n, (D Teilmenge von R^m) eine lokal Lipschitz-Stetige Funktion. Wie zeige ich nun, dass f auf einem beliebigen Kompaktum K (K Teilmenge von D) Lipschitz-Stetig ist?

Bei konvexem K leuchtet mir das ganz ein, wenn mir mal annehmen, dass f stetig diffbar ist, und ich den Mittelwertsatz verwende. Ab was mache ich wenn K nicht konvex (evtl. nicht wegzusammenhängend ist, z.b. aus zwei Teilen besteht)?


Danke

P.S.: Ich weiß, dass die Frage nicht ganz sauber gestellt ist, aber ich hoffe die Experten
kennen die dementsprechenden Satzvariationen und Beweismöglichkeiten zu diesem Thema.



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gaussmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2008-07-04


Hallo und herzlich willkommen,

wird die Diff'barkeit vorausgesetzt? Was den Rand betrifft, habe ich so meine Bedenken. Ich lasse mich aber gerne überraschen.  smile

gaussmath




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marvinius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2008-07-04


salut Epimenides23,

auch von mir ein herzliches willkommen auf dem matheplaneten smile

ist dir denn klar, was "kompakt" bedeutet? kennst du die überdeckungs-beschreibung von kompaktheit?

beste grüße,
rené.



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Ja, diese Begriffe habe ich eigentlich alle ganz gut intus. Ich steh bloß beim Beweis für
nicht konvexe Kompakta aufm Schlauch. Vielleicht könnte jemand ne Beweisskizze andeuten, damit ich meinen Fehler im Ansatz sehe.



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2008-07-04


Ich glaub die Erwähnung der Überdeckungsdefinition von Kompaktheit war schon ein 5m-Zaunspfahl. Mindestens.



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marvinius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2008-07-04


konvex oder nicht - das hat damit erstmal gar nix zu tun.

"lokal lipschitz-stetig" bedeutet doch, daß jeder punkt x eine offene umgebung U_x hat, innerhalb derer die funktion mit einer gewissen konstanten L_x lipschitz stetig ist. mit diesen umgebungen überdecke mal dein kompaktum wink



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Ja, klar und weiter ... wie siehts nun aus wenn ich mir aus die Lipschitz Konstante aus den endlich vielen lokalen Überdeckungskonstanten definiere? Muss ich zwischen

| f(x) - f(y) | < ... < L | x - y |

Dreiecksungleichung anwenden, oder wie lauft das an dieser Stelle?



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2008-07-04


Wenn eine Funktion lipschitzstetig zu einem Parameter L ist, dann natürlich auch zu allen Parametern L' > L. Du brauchst dir aus den endlich vielen Lipschitzkonstanten der endlichen Teilüberdeckung nur die richtige aussuchen.



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Hallo ... mir ist klar das ich per Maximumsbildung ein L als globale Lipschitz-Konstante aus der endlichen Überdeckung definieren kann. Ich sehe bloß nicht wie für beliebige x,y in K damit

| f(x) - f(y) | < ... < L * | x - y|

gelten soll (bei den Punkten liegt das Problem)
Kann da keiner ner kurze Zeile hinschreiben, es reicht ja wohl nicht einfach zu sagen mit diesem L passt alles.



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2008-07-04


Ah jetzt verstehe ich dein Problem, das ist ja wirklich nicht so einfach. Sorry für den irreführenden Hinweis.

Ich denke man wird noch irgendwie zu jeder Umgebung ihren Durchmesser
d=sup|x-y| für x,y aus U mit in die globale Konstante reinbasteln müssen, und danach irgendwie mit der Dreiecksungleichung arbeiten.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 04.07.2008 11:57:16 ]



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Den besten Ansatz kenne ich im Groben von Früher noch mittels:

... erst für konvexe Kompakta zeigen und dann beliebiges Kompaktum mittels konveker Kompakta überdecken ... aber an der Stelle komm ich ebenfalls nicht weiter. (Die Dreiecksungleichung schätzt da bei mir leider in die falsche Richtung ab).



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marvinius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2008-07-04


na, ein bißchen umständlicher ist es wohl schon. vielleicht hilft es, wenn du benutzt, daß das bild f(K) auch kompakt ist - also beschränkt im R^n. und dann:

fed-Code einblenden

edit: D's durch K's ersetzt

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von marvinius am 04.07.2008 12:39:56 ]



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Okay, jetzt wirds klarer:

Es gilt

| f(x) - f(y) | < M

da f(K) kompakt.

falls also | x - y | > epsilon_0/2 dann gilt

| f(x) - f(y) | < M <= M 2/epsilon_0 * | x  -  y |

Setze also

L := max{M 2/epsilon_0, lokale Lipschitz-Konstanten aus endlicher Überdeckung}



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marvinius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2008-07-04


genau. das mußt du jetzt nur noch sauber ausformulieren smile

liebe grüße,
rené.



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Epimenides23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2008-07-04


Vielen Dank!



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Wally
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Ich bin mir nicht sicher, ob das so einfach geht.

Bitte vergleicht mal mit der Diskussion  hier

Wally



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2008-07-04


Nach eine PM-Diskussion mit Marvinius ziehe ich meine Einwände zurück.

Mir war erst nicht klar geworden, dass die globale Konstante sich aus dem Maximum endlich vieler lokaler UND einer globalen für den Fall, dass die Punkte eben nicht dicht beieinanderliegen, zusammensetzt.

Wally



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Keyowah
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2016-06-12


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marvinius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2016-06-13


2016-06-12 19:27 - Keyowah in Beitrag No. 17 schreibt:
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Sieht so aus.

2008-07-04 11:55 - marvinius in Beitrag No. 11 schreibt:

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2016-06-12 19:27 - Keyowah in Beitrag No. 17 schreibt:
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Dann ist der Ball offenbar ein <math>\frac{\varepsilon}{2}</math>-Ball. Im zugehörigen <math>\varepsilon</math>-Ball liegen  beide.




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Es gibt keine letzte Wahrheit.
Es gibt nur den Krieg darum.
(Heiner Müller)



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Keyowah
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2016-06-13 14:35 - marvinius in Beitrag No. 18 schreibt:
Im zugehörigen <math>\varepsilon</math>-Ball liegen  beide.

Aaaah, ich habe vorher nicht verstanden, warum Du mit <math>\varepsilon/2</math>-Umgebungen überdeckst. Jetzt ist alles klar. Vielen Dank für die schnelle Antwort in diesem alten Thread.



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