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Physik » Elektrodynamik » E-Feld (kontinuierliche Ladungsverteilung): Lösen des Integrals
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Universität/Hochschule J E-Feld (kontinuierliche Ladungsverteilung): Lösen des Integrals
katharina82
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  Themenstart: 2008-10-27

Hallo ihr Lieben, ich hänge gerade an einer Aufgabe für theoretische Elektrodynamik Die Aufgabe war: Es ist eine Ladungsdichte gegeben \rho (r) = -e/(8\pi*a^3) * e^(-r/a) wobei das r ein Vektor ist. Das habe ich mit dem Formeleditor nicht erzeugen können. Nun soll man das E-Feld berechnen. Ich habe nun zuerst das Potential berechnet und dafür die Formel \phi2 ( r´) = int(\rho (r´) /abs(r-r´),V´,a,b) ich bin dann in Kugelkoordinaten übergegangen und habe den Betrag vom Abstand durch den Cosinussatz ersetzt. Dann sieht mein Integral so aus: \phi2 (r) = -e/(8\pi*a^3) *  int((e^(-r/a)*r^2*sin\theta)/sqrt(r^2+r^2´-2rr´cos\theta),rd\phi d\theta Aber wie kann ich dieses Integral jetzt lösen? Gibt es da irgendwelche Tricks? Würde mich sehr über Hilfe freuen Katharina


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katharina82
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

mir fällt gerade auf, dass ich den Vorfaktor 1/(4\pi\epsilon_0) vergessen habe...


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Spock
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  Beitrag No.2, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, Vektoren lassen sich mit dem fed z.B. so erzeugen r^> oder vec(r) Bei Deinem letzten Integral gehen die Integrationsvariablen etwas durcheinander. Entweder Du schreibst \phi2 (r) = -e/(8\pi*a^3) int((e^(-r'/a) r'^2*sin\theta ')/sqrt(r^2+r'^2-2rr'cos\theta '),r'd\phi ' d\theta ' oder \phi2 (r') = -e/(8\pi*a^3) int((e^(-r/a) r^2*sin\theta)/sqrt(r^2+r'^2-2rr'cos\theta),rd\phi d\theta Das Integral gab es hier schon mehrmals, aber ich vermute, Du willst es ohne nachzuschlagen lösen? Die \phi Integration hast Du schnell erledigt, versuche danach zunächst die Integration nach \theta. Tipp: Substituiere u=cos\theta Gruß Juergen


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katharina82
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

danke juergen. ich versuche das jetzt mal und schreibe dann hier mein ergebnis.


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katharina82
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

\phi2 (r) = -e/(16\pi*a^3*\epsilon_0) int((e^(-r'/a) r'^2)*sqrt(r^2+r'^2-2rr'cos\theta ')*(-1/rr´),r' das ist meine Lösung bei der Integration über \phi   habe ich ein 2\pi gewonnen. durch die substitution hat sich das sin\theta rausgekürzt. Nur wie setze ich die grenzen für das cos\theta ein? immer noch 0 bis \pi ?


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Spock
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  Beitrag No.5, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, ja, das ist richtig, vergiß nicht zu kürzen, und das eine r im Nenner des Integranden kann man rausziehen. Dann Grenzen einsetzen, und aufpassen bei den Wurzeln, da muß man eine Fallunterscheidung machen! Sieht alles ganz gut aus, was Du tust, also mach weiter, :-) Gruß Juergen


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katharina82
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

ich habe ein r´rausgekürzt und 1/r vor das Integral gezogen. Dann habe ich die Integrationsgrenzen \pi und 0 ausgerechnet. Mein Ergebnis ist dann \phi2 (vec(r)) = -e/(16\pi*a^3*\epsilon_0*r) * int((sqrt(r^2+ r´^2+2rr´)*r´*e^(-r´/a))-(sqrt(r^2+r´^2-2rr´)*r´*e^(-r´/a))dr´) Ist das soweit richtig? Mit Fallunterscheidung meinst du wahrscheinlich, dass ich unterscheiden muss, wann r>r´ bzw. umgekehrt... Im Fall, dass r=r´ fällt der 2te term weg.


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Spock
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  Beitrag No.7, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, ja, das stimmt so. Man kann es noch etwas übersichtlicher schreiben, \phi2 (vec(r))=-e/(16\pi a^3 \epsilon_0 r) int((sqrt(r^2+r'^2+2rr')-sqrt(r^2+r'^2-2rr')) r' e^(-r'/a),r') und wenn Du Dir mal die Ausdrücke unter den Wurzeln anschaust, sollte Dir vor der Fallunterscheidung etwas auffallen? Gruß Juergen


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katharina82
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

hmm, ich habe mir überlegt, dass die 2 Terme sich ja nur vom Vorzeichen des 3ten Teiles unterscheiden. Kann man dann trotz Wurzel einfach sagen, dass lediglich der Term sqrt(4rr´) über bleibt? Dann würde ich sagen, solange rr´ ist die Gesamtladung enthalten und es bleibt sqrt(4r´^2) Vielen Dank für deine Geduld! [ Nachricht wurde editiert von katharina82 am 27.10.2008 17:14:55 ]


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KingGeorge
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  Beitrag No.9, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, ich verstehe von E-Dynamik so viel wie eine Kuh vom Fliegen, aber helfen bei der Fallunterscheidung nicht die binomischen Formeln r^2+r'^2+2rr'=(r+r')^2 r^2+r'^2-2rr'=(r-r')^2 lg Georg


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katharina82
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

hallo, auf die idee bin ich auch schon gekommen. aber ich weiss leider nicht, wie ich dann weiterkomme. vielen dank für deine mithilfe;)


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rlk
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  Beitrag No.11, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, die Wurzel aus einem Quadrat ist ...? Worauf muss man dabei achten? Das führt Dich auf die von Juergen erwähnte Fallunterscheidung. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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katharina82
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

oh mensch. manchmal steht man echt auf dem schlauch!!! vielen dank euch allen!!! ich habe 2rr´ für r´>r und 2r´² für r>r´


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Spock
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  Beitrag No.13, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, wenn Du das r' des Integranden außerhalb der Wurzeln noch dazu nimmst, bin ich einverstanden. Dir ist aber klar, daß Du auch die Integrationsgrenzen entsprechend anpassen mußt? Ich vertraue Dir mal, und setze dann etwas später wieder das Häkchen, :-) Gruß Juergen [ Nachricht wurde editiert von Spock am 27.10.2008 20:22:41 ]


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katharina82
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

Hallo Spock, ja, ich hatte das r´ einfach dazu genommen. Wenn r>R ist R meine pbere Grenze, falls R>r muss ich in 2 Integrale aufteilen. Ich bin gerade noch dabei die Integrale für beide Fälle zu lösen


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Spock
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  Beitrag No.15, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, ich setze das Häkchen dann lieber doch nicht, vertraue aber nach wie vor darauf, daß Du das hinbekommst. Du mußt auf jeden Fall das Integral in zwei Teilintegrale aufspalten, aber was ist plötzlich "R", bisher hatten wir doch nur r und r'? Gruß Juergen [ Nachricht wurde editiert von Spock am 27.10.2008 20:40:48 ]


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katharina82
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2008-10-27

ich hatte R gewählt als Maximum von r´. Das Ganze hatte ich mir als Kugel vorgestellt oder kann ich diese Vereinfachung nicht treffen?


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Spock
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  Beitrag No.17, eingetragen 2008-10-27

Hallo Katharina, Deine Vorstellung ist sicher nicht verkehrt, es ist eine rotationssymmetrische Ladungsverteilung, aber sie hat nicht wirklich eine Grenze an der Stelle r=r'=R Vorschlag: Soweit ich das sehen konnte, hast Du heute wirklich hart an dieser Aufgabe gearbeitet. Vielleicht machst Du einfach mal eine Pause, denkst danach nochmal über die Bedeutung von r und r' nach, und über diese Aufspaltung: \phi2(r)~int(?,r',0,\inf)=int(?,r',0,r)+int(?,r',r,\inf) Gruß Juergen


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katharina82 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
katharina82 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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