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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukt von Vektoren
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Universität/Hochschule J Skalarprodukt von Vektoren
diemaus
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  Themenstart: 2003-10-26

Hallo Leute Folgende Aufgabe soll ich lösen: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert durch a * b = ai*bi wobei ai die Komponenten von a in einem Orthonormalsystem sind. Zeigen sie , dass dieses Skalarprodukt nie größer als |a| * |b| sein kann. Normalerweise würde ich sagen da das Skalarprodukt ja auch definiert als a * b = ab cos(phi), wenn phi der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist, kann das Skalarproduk wegen |cos(phi)|<= 1 nie größer als |a| * |b| sein. Aber irgendwie müssen wir das wohl über die Komponentenschreibweise machen und ich weiss nicht so richtig wie ich das anstellen soll Wer klasse wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen würde Britta


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shadowking
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-26

Hallo Britta. Dies ist in der Tat nicht ganz einfach zu zeigen. Die Gleichung abs (< a,b> ) <= abs(a)*abs(b) heißt Cauchy-Bunyakowskii-Schwarzsche Ungleichung. Jede Auswahl und Reihenfolge dieser drei Namen (außer der leeren) taucht in der Literatur auf. (Kleine Übung am Rand: Wie viele sind das?) Zum Beweis: 0 <= \< a+tb, a+tb\> = \< a,a\> ^2 + 2t*\< a,b\> + \< b,b\> ^2*t^2 = (abs(a))^2 + 2t*\ + t^2*abs(b)^2 mit einem reellen Parameter t. Für die normierte quadratische Funktion f(t) = t^2 + 2*\< a,b\> /abs(b)^2 *t + abs(a)^2/abs(b)^2 gilt dasselbe; es hat höchstens eine Nullstelle. Rechnet man die mit der (p,q)-Formel aus, so muss der Term unter der Wurzel negativ, höchstens aber Null sein. Wie sieht dieser Term aus? Gruß shadowking ----------------- [ Nachricht wurde editiert von SplendourMN am 2003-10-26 16:01 ]


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diemaus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-29

Hi Hmmmm ja, aber das beantwortet irgendwie nicht meine Frage, oder hab ich was übersehen?? diemaus


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decoder
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  Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-29

also ohne jetzt dem splendour zu widersprechen, der sicher 100x mehr weiß wie ich weil ich ja noch zur schule geh, würd ich versuchen, dass zu lösen, indem ich abs(a) = sqrt(a1+a2) setzen würd bzw. falls du mit 3-komponentigen Vektoren arbeitest abs(a) = sqrt(a1+a2+a3) wenn man dann das ganze einsetzt könnt vielleicht was sinnvolles rauskommen wo man das erkennt, aber ich bin grad zu müde ums auszuprobieren :P aber vielleicht hilfts ja :D btw @ splendour: nen längeren namen für die ungleichung gibts net? ;) ciao chris


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shadowking
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  Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-30

OK, ich hab mir fast gedacht, dass diese "akademische Kürze" nicht so gut ankommt. Britta, gehst Du noch zur Schule oder studierst Du? Egal, ich erkläre mal etwas dazu. < a,b> bezeichnet das Skalarprodukt der Vektoren a und b. Das Verhältnis von < a,b> zu |a|*|b| heißt Cosinus des eingeschlossenen Winkels. Die Aussage, dass dieser Cosinus niemals größer ist als Eins, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass < a,b>  niemals größer ist als |a|*|b|. Soweit klar? Ferner wird verwendet, dass für jeden Vektor v per Definition gilt: < v,v> = |v|². Dies gilt für beliebige Vektoren in Räumen mit Skalarprodukt, ist also viel allgemeiner als die entsprechende Aussage für den IR² oder IR³. Da |v|² ein Quadrat einer reellen Zahl ist, ist es nichtnegativ, also schlimmstenfalls 0. Wir setzen v = a + t*b, mit einem reellen Parameter t. Das Skalarprodukt < a+tb,a+tb> wird dadurch zu einer quadratischen Funktion mit der Variablen t, von der wir wissen, dass höchstens eine Nullstelle existiert. Die Nullstellen der normierten quadratischen Funktion x²+px+q (das man durch Dividieren durch den Koeffizienten vor dem Quadrat der Variablen erhält) berechnet man mit der (p,q)-Formel: x_(1,2) = -p/2 +- sqrt((p/2)^2-q) "Maximal eine Nullstelle" bedeutet, dass die Diskriminante (das, was in der Formel unter dem Wurzelzeichen steht) kleiner oder gleich Null ist. Für das Polynom < a+t*b,a+t*b> /(abs(b))^2 wird die Aussage (p/2)^2-q <= 0 zu (2*< a,b> )^2/(2*(abs(b))^2)^2-(abs(a))^2/(abs(b))^2 <= 0 <=> (< a,b> )^2 /(abs(b))^4 <= (abs(a))^2/(abs(b))^2 <=> (< a,b> )^2 <= (abs(a))^2*(abs(b))^2 <=> abs(< a,b>) <= abs(a)*abs(b) <=> <= abs(a)*abs(b) So, wird es jetzt etwas klarer? Decoder, ich kann mir nicht denken, dass es da einen wesentlich einfacheren Weg gäbe dies zu zeigen. Alle drei Mathematiker, nach denen die Ungleichung heißt, sind relativ unabhängig und fast gleichzeitig drauf gekommen. Natürlich bevorzugt man in Frankreich den Namen Cauchysche, in Russland Bunyakowskiische und in Deutschland Schwarzsche Ungleichung. Insgesamt gibt es 15 Möglichkeiten, dieser Ungleichung einen Namen zu geben: drei mit einem, sechs mit zwei und sechs mit allen drei Namen (Reihenfolge ist auch wichtig!). Gruß und gute Nacht shadowking


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decoder
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  Beitrag No.5, eingetragen 2003-10-30

hehe, ich denke mir wenn diese mathematiker draufkommen, alle 3, dann kanns nicht so gehen wie ich gesagt habe *g* aber so würde ichs machen... aber wir hatten in der schule ja nichtmal vektorrechnung, die kommt erst noch, hab nur an der uni im vorkurs ne zusammenfassung gehört über alles von vektor bis matrix... :D Der name hört sich aber lustig an *ggg* gute nacht auch dir :D chris


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