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Universität/Hochschule Summenformel für Partialsummen der harmonischen Reihe
TensorTij Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Themenstart: 2009-05-24

Ich habe mich mal etwas im Internet umgesehen bezüglich einer Summenformel für die harmonische Reihe

fed-Code einblenden

(die ja insgesamt divergiert),
wenn man die Summation bei einem bestimmten beliebigen n abbricht.
Intuitiv sollte man doch erwarten, daß sich dafür ein geschlossener
Audruck von bekannten Funktionen angeben läßt in den man nur das n einsetzt und den Wert, der ja sicher eine rationale Zahl ist, erhält.
Ich meine ebenso z. B. wie bei der Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen, die Gauss als Schüler entdeckt hat oder allgemeiner die ersten n natürlichen Zahlen mit natürlichen Exponenten p, also

fed-Code einblenden

(Faulhabersche Formeln, Siehe de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel)

Eine solche Formel ist wohl nicht bekannt.
Kann man den beweisen, daß eine solcher Ausdruck nicht existieren kann.
Und wenn ja, worin liegt der tiefere Grund dafür.


Ebenso verhält es sich z.B. bei einer Summenformel für
z.B.
fed-Code einblenden
oder
fed-Code einblenden
Dafür konnte ich auch nirgends geschlossene Ausdrücke von
bekannten Funktionen finden, obwohl ja nur ganz einfach
natürliche Zahlen aufaddiert werden.

Das wirkt auf mich sehr geheimnisvoll!!!

Weiß jemand mehr dazu.

Mfg

[ Nachricht wurde editiert von TensorTij am 24.05.2009 11:02:24 ]



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owk Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.1, eingetragen 2009-05-24

Hallo. Man kann bei der ersten Summe zumindest ein Gefuehl fuer das Problem bekommen: Sie hat ungefaehr den Wert ln n, aber man kennt keine einfachen Ausdruecke mit diesem Wachstumsverhalten, die gleichzeitig ausschliesslich rationale Zahlen liefern. (Natuerlich gibt es
fed-Code einblenden
aber das ist nicht "einfach" genug, um richtig zu sein.) owk



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Kay_S Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2009-05-24

2009-05-24 10:11 - TensorTij im Themenstart schreibt:
Ich habe mich mal etwas im Internet umgesehen bezüglich einer Summenformel für die harmonische Reihe

fed-Code einblenden

Diese Summenformel hat mich auch mal interessiert, da im Buch "Algebra" von Michael Artin auf Seite 686 genau diese in einer Übungsaufgabe (!) angegeben werden soll.

Ich kann dir nur sagen, dass die Partialsummen die Koeffizienten der Taylorreihe von ln(1-x)/(x-1) sind:

fed-Code einblenden

Eine geschlossene Formel kenne ich aber nicht.

Kay



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teilnehmer Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.3, eingetragen 2009-05-24

Hallo,

es gibt eine Formel mithilfe der Gamma-Funktion:

mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

fed-Code einblenden

Ich habe mir sogar mal eine Herleitung überlegt... ich poste sie vielleicht morgen mal.

Viele Grüße,
Mirko
[ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 24.05.2009 21:38:23 ]



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GeorgZ Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Beitrag No.4, eingetragen 2009-05-30

In "Proofs that really count" von Quinn/Benjamin steht folgende schöne Formel:
fed-Code einblenden



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
OliverFuchs Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-11

Hallo zusammen,
meine Frage schließt daran an. Ich bin gerade auf der Suche nach
eienr Formel für
$\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{1}{k}}=\sum_{i=1}^n k^{-\frac{1}{2}} $
Das entspricht der schon erwähnten Formel
$\sum_{i=1}^n k^p$ für $p=-1/2$. Die ursprungsfrage war ja für $p\in\mathbb{N}$
gestellt. Aber $p\in\mathbb{Z}$ wäre auch angenehm zu kennen. Da aber
das Probelm schon für $p\in\mathbb{N}$ so kompliziert ist. Muss ich mir wohl einen Alternative Suchen.


-----------------
Ing. Oliver Fuchs
Gymnasiumstrasse 12/6
A1180 Wien
Tel.: +43(0)6802025158
Mail: oliver@oliverfuchs.at



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MartinN Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-25

Eine Idee, die mir käme, wäre etwa, wenn man die ersten k Glieder berechnet:
\(a_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} = a_k + \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{\sqrt{i}}\)

Und den hinteren Teil kann man jetzt abschätzen:
\(\frac{1}{\sqrt{i}} < \frac{2}{\sqrt{i} + \sqrt{i-1}} = 2(\sqrt{i} - \sqrt{i-1})\\
\sum_{i=k+1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} < \sum_{i=k+1}^n 2(\sqrt{i} - \sqrt{i-1}) = 2 \sqrt{n} - 2 \sqrt{k}\)

Und:
\(\frac{1}{\sqrt{i}} > \frac{2}{\sqrt{i+1} + \sqrt{i}} = 2(\sqrt{i+1} - \sqrt{i})\\
\sum_{i=k+1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} > \sum_{i=k+1}^n 2(\sqrt{i+1} - \sqrt{i}) = 2 \sqrt{n+1} - 2 \sqrt{k+1}\)


Somit:
\(a_k + 2 \sqrt{n+1} - 2 \sqrt{k+1} < a_n < a_k + 2 \sqrt{n} - 2 \sqrt{k}\)


Wäre zumindest eine Näherung... je größer man k wählt, um so näher ist man.
Etwa k = 16; n = 100:
\(a_{16} = 6,6639946082374430767799317920154\\
a_{16} + 2(\sqrt{101} - \sqrt{17}) =  18,517534599243902517575641905586\\
a_{16} + 2(\sqrt{100} - \sqrt{16}) =  18,663994608237443076779931792015\)


Man kann sicherlich zeigen, dass:
\(2(\sqrt{i} - \sqrt{i-1}) \cdot 2(\sqrt{i+1} - \sqrt{i}) > \frac{1}{i}\)
Somit ist das geometrische Mittel aus beiden Grenzen auch noch größer als der reale Wert:
\(a_{100} < 18,590620374751846829626607853148\)

Damit kommt man schon recht nahe an den wahren Wert, auch wenn nur eine Schätzung ^^



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Kay_S Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-25

Hi,

Besonders genau ist die "Mittelversion"

\[a_n \approx a_k + 2 \sqrt{n+\frac{1}{2}} - 2 \sqrt{k+\frac{1}{2}} = a_k + \int_{k+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x\]
Die zu nähernde Summe ist gerade die zusammengesetzte Mittelpunktregel für das Integral.

Für die exakte Darstellung dürfte es aber schwerlich etwas 'Schönes' geben.

Kay



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MartinN Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-26

Oh... das ist auch schön ^^



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-26

Ja, unter
HarmonicNumber
findet man 127 Formeln dazu!

Ich mag die mit hypergeometrischen Funktionen, da man nicht nur ganzzahlige, sondern auch reelle & komplexe Argumente einsetzen kann:
hier mit hypergeometrischer Funktion

Eigentlich ist es ein Spezialfall der PolyGamma Funktion:
HarmonicNumber[z] = PolyGamma[z + 1] + EulerGamma

Interessieren Dich bestimmte Argumente?

HarmonicNumber[10^8]=18.99789641385389832441711039422398284185097124497...



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-26

2009-05-30 09:40 - GeorgZ in Beitrag No. 4 schreibt:
In "Proofs that really count" von Quinn/Benjamin steht folgende schöne Formel:
fed-Code einblenden


Bei Mathematica/WolframAlpha fehlt noch das Absolutzeichen, da
StirlingS1 alternierendes Vorzeichen hat:

HarmonicNumber[n] = Abs[StirlingS1[n + 1, 2]]/n! ; n hier nur ganzzahlig



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-27

Unter RechnerMitUmkehrfunktion

hatte ich ja damals einen Rechner hochgeladen, weil WolframAlpha viele Funktionen oder besondere Argumente nicht konnte. Beim Vergleich heute stimmen alle Nachkommastellen exakt überein:



Mit der Summe aus Kehrwerten könnte man so etwas nicht mehr auf 33 Nachkommastellen berechnen!

Hinweise: Digamma(x) nennt Mathematica PolyGamma[x]
          EulerGamma siehe



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-27

Und bevor jemand lange sucht, wann die Summe (also der Funktionswert) nun 100 ergibt,
weil WolframAlpha bei HarmonicNumber[x] == 100
entweder nichts oder mit (auch) richtigen
-6.01023033892816152399069527477593684888 antwortet,
(und meine aHarmon... Umkehr-Funktion noch in Arbeit ist)
hier das andere Argument:
15092688622113788323693563264538101449859496.8641005837406089188294819076349348...
(reelle Zahl !)

Oder anders: beim Argument 15092688622113788323693563264538101449859497
liegt der Funktionswert erstmalig über 100.

Bei solch großen Argumenten rechnet auch keiner mehr mit Fakultäten oder Stirling-Zahlen.



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-27

Achso,
was zu Faulhaber...

bei mir HarmonZahl2 und bei Wolfram 92 Formeln dazu:

mathematica
sum k! ,k=1...n = (-1)^(n + 1) Gamma(n + 2) Subfactorial((-n - 2)) - Subfactorial((-1)) - 1


Für die Summe von k^k habe ich nichts gefunden.
Aber dafür das Integral (0...x) :
IntegralxPowX(x)=Sphd(x)



Dazu haben MontyPythagoras & ich hier schöne Summenformeln für große Argumente erstellt, die ich dann in den Rechner einbauen konnte.

IntegralxPowX(1000)=1.264601595738165809315204691057 e2999
( e2999 bedeutet * 10^2999 )



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Beitrag No.14, eingetragen 2020-10-28

Diese Frage hat mich doch dazu motiviert, die Umkehrfunktion
aHarmonZahl(x)
in  RechnerMitUmkehrfunktion
fertig zu programmieren.

Wie üblich mit reellen Argumenten & etwa 32...38 Ziffern Genauigkeit.

aHarmonZahl(-0.5)=-0.24658678869296183683238628721592
denn
HarmonZahl(-0.24658678869296183683238628721592)=-0.4999999999999999999999999999999905

aHarmonZahl(150)=78251146140316563265964883207237888417284512921428158434215513945
{38 richtige Stellen}
denn
HarmonZahl(78251146140316563265964883207237888417284512921428158434215513945)=150.000000000000000000000000



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Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-07 21:04

Weil ich gerade ermutigt wurde, hier mal das Ergebnis, ab wann die Summe der Kehrwerte die 10000 Marke überschreitet:
mathematica
In[12]:= a=Ceiling[N[aHarmonAprox[10000],4900]]
IntegerLength[a]
Out[12]= 494467161284813593...die 4343 Ziffern sind zu viel für diesen Editor...4759360
Out[13]= 4343

In unter 1 Sekunde! Hintere Stellen stimmen!
mathematica
In[12]:= a=Ceiling[N[aHarmonAprox[50000],22000]]
IntegerLength[a]
Out[12]= 29744973370641863434593...die 21715 Ziffern sind zu viel für diesen Editor...600609087
Out[13]= 21715



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MartinN Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-09 15:29

Im Beitrag #5 ging es aber um die Summer reziproker Wurzelausdrücke. Nur mal so als Hinweis ;) [weiß nämlich nicht, was du hier genau gerade berechnest]



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hyperG Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-09 21:42

Dass meine Online-Rechner ignoriert werden habe ich ja schon bei vielen bemerkt. Deshalb habe ich alle wichtigen Formeln im Beitrag 11 noch als Bild hinterlegt.

Im Beitrag 14 habe ich dann noch mit Hin- & Rückrechnung an Beispielen gezeigt, wie die Umkehrfunktion funktioniert.

Es sind auch nicht "von mir ausgedachte Funktionsnamen" oder "Sonderfunktionen von Mathematica", sondern gehören zum Grundwissen von Mathematikern:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number

Ich verstehe aber, dass es nicht alle verstehen, und schreibe also nochmal (hoffentlich unmissverständlich):
Mathematik
aHarmonZahl(n)=InverseHarmonicNumber(n)= Umkehrfunktion der Summe der Kehrwerte von k=1...n 
 
aHarmonicNumber[2.0833333333333333333333333333...]=4 da
HarmonicNumber[4]=1/1+1/2+1/3+1/4=25/12=2.0833333333333333333333333333...

aHarmonAprox = aHarmonZahl=InverseHarmonicNumber berechnet mit dem Algorithmus "asymptotische Formel"
also analog zur
für die Fakultät, die mit steigenden Argumenten immer genauer wird.
aHarmonAprox ist oberhalb von Funktionsparametern (Argumenten) > 100 wesentlich genauer als für eine ganze Zahl nötig,
so dass die Aufrundung mit Ceiling genau dem ganzzahligen n entspricht, wo die Summe gerade überschritten wurde.
Ceiling[[aHarmonAprox[2]]=4 weil aHarmonAprox[2]=3.638675849525133679178 -> aufgerundet 4
oder anders: erst bei 4 Kehrwerten liegt die Summe bei >=2, denn 1/1+1/2+1/3+1/4=25/12=2.0833333333333333..

Der Rekord, den ich für exakte Funktionsergebnisse im Internet gefunden hatte lag bei Argumenten um 2303.
Ich konnte Argumente um 50000 in unter 1 s berechnen.

Nun zu "Eurem Sonderfall Beitrag #5":
HarmonZahl2(n,1/2)=HarmonicNumber(n,1/2)
{der nur von 2 oder 3 Leuten in 3 Beiträgen kurz behandelt wurde}

Auch diese ist längst bekannt und unter Wolframs Funktionen findet man 92 Formeln (Algorithmen).

Da viele hier auf Reihen stehen, hier mal eine:
HarmonicNumber(n,1/2)=2 sqrt(n) + Zeta(1/2) + sqrt(1/n)/2 - 1/24 (1/n)^(3/2) + 1/384 (1/n)^(7/2) - (1/n)^(11/2)/1024 + (143 (1/n)^(15/2))/163840 - (1105 (1/n)^(19/2))/786432 + (223193 (1/n)^(23/2))/62914560 - (1300075 (1/n)^(27/2))/100663296 + (137514723 (1/n)^(31/2))/2147483648 + O-Rest((1/n)^(33/2))
Beispiel n=100
HarmonicNumber(100,1/2)
=18.58960382478415342235816310930641473160012676893972993156489...
 
2sqrt(n)+Zeta(1/2)+sqrt(1/n)/2-1/24(1/n)^(3/2)+1/384(1/n)^(7/2)-(1/n)^(11/2)/1024+(143(1/n)^(15/2))/163840-(1105(1/n)^(19/2))/786432+(223193(1/n)^(23/2))/62914560-(1300075(1/n)^(27/2))/100663296,n=100
=18.5896038247841534223581631093064083322167357161879393427904...
also 33 richtige Stellen oder 31 richtige Nachkommastellen



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Beitrag No.18, eingetragen 2020-11-09 21:56

Noch ein Beispiel:

HarmonicNumber(1000)
=7.48547086055034491265651820433390017652167916970880366577362674996..
(log(n) + EulerGamma)+1/(2 n)-1/(12 n^2)+1/(120 n^4)-1/(252 n^6)+1/(240 n^8) - 1/(132 n^10)+691/(32760 n^12)-1/(12 n^14)+3617/(8160 n^16),n=1000
=7.4854708605503449126565182043339001765216791697088036688 53 richtige Nachkommastellen



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