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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Ordnung einer Gruppe, p-Sylowgruppen
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Autor
Universität/Hochschule Ordnung einer Gruppe, p-Sylowgruppen
Limes
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.11.2002
Mitteilungen: 195
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2003-11-06


Hi! Da bin ich mal wieder! ...natürlich mit ner Frage...:

Wie kann man allgemein die Ordnung der Gruppe GLn(Z/pZ) mit p prim angeben, also anders gefragt die Mächtigkeit der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit einträgen aus Z/pZ?
Bin da nicht weit gekommen, bin von dem Ansatz ausgegangen, dass sich jede invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen (also Matrizen, die Zeilenoperationen darstellen) schreiben lässt, damit müsste sich vielleicht was machen lassen, aber irgendwo bleib ich ständig hängen!
Und wie kann ich dazu explizit eine p-Sylowgruppe angeben? (Dazu fehlt mir leider komplett der Ansatz...)



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45972
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-06


Hi Limes,
Die gesuchte Anzahl ist gleich der Anzahl der Basen in einem n-dimensionalen Vektorraum über Zp (das soll Z/pZ bedeuten). Für das erste Basiselement gibt es pn-1 Möglichkeiten, dieser Vektor spannt einen Unterraum mit p Elementen auf, bleiben noch pn-p Elemente übrig. Aus diesen kann ich das zweite Basiselement beliebig wählen usw.
Auf diese Weise sieht man ganz leicht ein, daß die gesuchte Anzahl
fed-Code einblenden
beträgt.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-02-02 21:12 ]

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 28.02.2008 08:31:30 ]



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Limes
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.11.2002
Mitteilungen: 195
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-06


hm... das hab ich nach einigem Überlegen sogar verstanden! : ) Eigentlich recht einfach, wenn man sich das so überlegt... mal sehen, vielleicht bekomm ich die Sylowgruppe mit dem Ansatz irgendwie alleine hin! ...auch wenn ich von Sylowgruppen nicht wirklich ne Ahnung hab!

Danke, Limes



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 211
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-28


Ok, also wenn A eine invertierbare Matrix in M3(K) ist und  K=F2 der Körper mit zwei Elementen ist, dann gibt es folgende Anzahl an invertierbaren Matrizen oder?

(3^3-1)*(3^3-3)*(3^3-3^2)=11232



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 371
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-28


2019-06-28 20:23 - Bibi90 in Beitrag No. 3 schreibt:
$(3^3-1)*(3^3-3)*(3^3-3^2)=11232$
Nein, das ist die Anzahl der invertierbaren $3\times 3$ Matrizen über $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\mathbb{F}_3$. Du suchst ja aber die Anzahl der invertierbaren Matrizen über $\mathbb{F}_2$.


-----------------
Smile (:



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Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 211
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-28


Stimmt. Dann ist das bei mir
(2^3-1)*(2^3-2)*(2^3-2^2)=168

Oder?



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