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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Q: Lineare Abbildungen und Matrizen
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Universität/Hochschule Q: Lineare Abbildungen und Matrizen
tstening
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-06-19


Hallo alle miteinander,

habe da eine Verständnisfrage:

Sei B=(b1,...,bn) eine Basis von V und sei f:V->V eine lineare Abbildung. Wenn man nun diese Abbildung als Matrix schreiben möchte, dann sind doch die Spaltenvektoren der Matrix die Vektoren
f(b1), f(b2), ..., f(bn) oder liege ich da falsch?

Wenn man dann nur die Matrix hätte und die Abbildung als Funktion f gegeben hätte, könnte man doch mit Hilfe der Umkehrfunktion und der Bildvektoren c1,...,cn die Basis berechnen mit f^-1(ci) = bi, oder?

Viele Grüße,
Tobias



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-06-19


Hi tstening,

beides 'Ja'.

Gruß
Matroid



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tstening
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-19


Ist es dabei völlig egal, ob es ein Isomorphismus oder nur ein Homomorphismus ist?

Gruss, Tobias



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-06-19


Durch die Bilder der Basisvektoren ist eine lineare Abbildung schon eindeutig festgelegt. Das gilt für alle linearen Abbildungen.



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tstening
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-19


Ah ja! Ich denke, ich habs kapiert!

Danke für die Antworten!

Tobi :-)



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LutzL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2002-06-19


dann sind doch die Spaltenvektoren der Matrix die Vektoren
f(b1), f(b2), ..., f(bn) oder liege ich da falsch?


Ja, falsch. Die Spalten der Matrix sind die Koordinaten der f(bi) in der gegebenen Basis (sonst wuerde die Jordan-Normalform keinen Spass machen).

Wenn man dann nur die Matrix hätte und die Abbildung als Funktion f gegeben hätte, könnte man doch mit Hilfe der Umkehrfunktion und der Bildvektoren c1,...,cn die Basis berechnen mit f^-1(ci) = bi, oder?

Das wird schon etwas schwieriger. Eine Basis liefert erstmal eine Abbildung

U: Rn  ->  V

Die Matrix ist dann also die Verknuepfung

Ax  =  U-1 (f(U(x))

Zu loesen waere also die Gleichung U A=f o U, was entsprechend verwirrender wird, wenn jetzt noch eine Ausgangsbasis hinzukommt, in der f definiert ist.

Ciao Lutz



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