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  geometrische Folgen / Reihen und Finanzmathematik |
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Leben
Ehemals Aktiv 
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Mitteilungen: 135
Wohnort: Altensteig
 |  Themenstart: 2003-12-13
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Hallo!
Ich bin nicht gerade mathematisch besiedelt und hab hier mal ein paar Fragen. Ist bestimmt ganz einfach fuer euch, aber ich hab halt keine Ahnung. Danke schon mal fuer eure Hilfe, ich schaetze das sehr.Ich weiss es ist viel. Aber das sind die Fragen die ich noch zum Teil A meines GFS habe.
1)Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, heisst das dann, dass sie ein bestimmtes 'Ziel' erreichen wird?
Bsp. Floh
Floh springt im 1. Sprung 1 m, in den jeweils folgenden Spruengen springt er nur noch 50 % des vorherigen Sprunges.
Wird er jemals 10 m erreichen? wird er unendlich weit springen koennen?
Antwort: Nein, Der Floh wird die 2m nie erreichen noch wird er sie ueberspringen.
heisst das jetzt, dass es keinen Grenzwert hat, da es ja die 2 m nie erreicht, oder gibt es einen GW?
Irgendwie verwirrend.
2) die rekursive Zuordnungsvorschrift 1 von geo.reihen ist ja:
Sn+1=Sn+a1×q hoch n
Zuordnungsvorschrift 2: a1+Sn×q
erstmal ist das doch das selbe, oder?!
gibt es auch eine explizite Zuordnungsvorschrift (oder wie das heisst)? Wenn ja, wie lautet die?
Sind die Zuordnungsvorschriften fuer geom. Reihen und geom. Folgen das gleiche?
WAS ist der Unterschied zwischen (geom.)Reihen und (geom.)Folgen , also Folgen und Reihen, eigendlich?
3) Jetzt kommt die Finanzmathematik
ich weiss hier nicht, wie weit ich die aufgabe richtig gemacht hab und hab dann noch ein paar Fragen dazu.
Aufg: herr Meyer schliesst einen Ratensparvertrag mit seiner Sparkasse ab. Zu Beginn eines Jahres zahlt er €5000 ein.Der Zinssatzbetraegt 3.5%. Die Zinsen werden ebenfalls zu Beginn eines Jahres dem Kapital zugeschlagen. Sn sei das Kapitital zu Beginn des n-ten Jahres nach Einzahlung der Sparrate und Uebertragung der Zinsen.
a) Geben sie das Anfangsglieg S1 und eine Rekursionsgleichung fuer die Folge (Sn) an.Um was fuer eine Folge handelt es sich? Berechnen sie S2.S3.....Sn.
b)Ueber welche Laufzeit muss der Sparvertrag mindestens abgeschlossen werden,um ein Kaptital von 50 000 € anzusparen?
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a) S1=a1=5000 q=1.035(3.5%)
Sn+1=Sn+5000×1.035 hoch n
oder
Sn+1=5000+Sn×1.035
1.Jahr : S1=a1=5000 €
2.Jahr : S2=a1+a1×q
=5000+5000×1.035=10.175 (mann muss mit den , beim Trechner n bissl aufpassen)
3.Jahr: S3=a1+S2×q²
=5000+10.175×1.035= 15 532,125
muesste es dann aber nicht 1.035² sein? Meine Freundin hat diese Aufg. auf ihrem handout gehabt und hatte da kein ² und es wurde auch nicht verbesser?! was denkt ihr?
um was fuer eine Folge handelt es sich? um eine geom.folge?!
b) mit der Summenformel:
Sn=5000×1.035 hoch n -1 (also das -1 nicht als hochzahl)/1.035-1
50 000 = 5000×1.035 hoch n -1 /1.035-1
lg 1.35/lg 1.035 = n
n=8.72
A: Kaptital von etwa € 50 000 nach ca. 9 Jahren
Warum muss man da log nehmen? Und vorallem wie kommt man drauf da log zu nehmen? und wie kommt man von der Summenformel zu log? einfach das hoch n und -1 jeweils weglassen?
Ich weiss, dass sind viele Fragen, wahrscheinlich auch total einfache. Aber ich sass davor und hab es nun mal net geblickt.
Waere toll, wenn ihr mir weiter helfen koenntet, ist echt wichtig!!
Vielen, vielen Dank! Bitte sperrt den Post nicht nach einer Weile ab, da ich gerne so viele, wie moegliche verschiedene Antworten haette, weil es bei mir immer ein bissl braucht bis ich was in Mathe kapier.
Danke schoen.
Machts gut!
LEBEN
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SchuBi
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-13
|
Hallo, Leben!
Wir helfen gerne. Wir sperren normalerweise keine Threads.
2003-12-13 11:05: Leben schreibt:
Bitte sperrt den Post nicht nach einer Weile ab.
Aber in dem Fall lag ein Doppelposting vor und du hättest im alten Thread weitermachen sollen.
Schöner sieht es natürlich im Formeleditor fed aus, vor allem die Rechnungen.
ad 1)
Hier hast du einen Grenzwert, nämlich 2. Der Floh kommt nämlich den 2 Metern beliebig nahe.
ad 2)
die rekursive Zuordnungsvorschrift von geo.Reihen ist
S_(n+1)=S_n+a_1*q^n
Zuordnungsvorschrift 2:
S_(n+1)= a_1+S_n*q
\red\Hier stand Blödsinn!
\blue\Das liefert auch die richtigen Werte.
Eine explizite Zuordnungsvorschrift für die geometrische Reihe ist
S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)
\blue\Sind die Zuordnungsvorschriften für geom. Reihen und geom. Folgen das gleiche?
Die Zuordnungsvorschriften sind unterschiedlich.
Für die geometrische Folge erhältst du als Zuordnungsvorschrift
a_n=a_1*q^(n-1)
Bei einer Reihe addierst du die Folgenglieder (bildest also eine Summe)
S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n
ad 3)
Herr Meyer schliesst einen Ratensparvertrag mit seiner Sparkasse ab.
Zu Beginn eines Jahres zahlt er 5000 ein. Der Zinssatz beträgt 3.5%.
Die Zinsen werden ebenfalls zu Beginn eines Jahres dem Kapital zugeschlagen.
S_n sei das Kapital zu Beginn des n\-ten Jahres nach Einzahlung der Sparrate
und Übertragung der Zinsen.
a) Geben sie das Anfangsglied S_1 und eine Rekursionsgleichung fuer die Folge (S_n) an.
Um was für eine Folge handelt es sich? Berechnen sie S_2 , S_3 ... S_n.
b) Über welche Laufzeit muss der Sparvertrag mindestens abgeschlossen werden, um ein Kapital von 50 000 anzusparen?
\blue\Ich benutze jetzt die Formel S_(n+1)=a_1*(q^n-1)/(q-1)
\blue\ad a) S_1=a_1=5000 q=1.035 (3.5%)
S_(n+1)=S_n+5000*1.035^n
1.Jahr : S_1=a_1=5000
\blue ist bei mir gleich
2.Jahr : S_2=a_1+S_1*q=5000+5000*1.035=10175
\blue S_2= a_1*(q^2-1)/(q-1)=10175
3.Jahr: S_3=a_1+S_2*q^2<>\red5000+10175*1.035=15 532.125
sondern nach deiner Rechnung = 5000+10175*1.035^2=15899,714375
richtig wäre: S_3=a_1+S_2*q
\blue S_3=a_1*(q^3-1)/(q-1)=5000*(1.035^3-1)/0.035=15531.125~=15531.13
\blue\Es handelt sich um eine geometrische Reihe,
\blue\weil du Zahlen addierst.
b) mit der Summenformel:
S_n=5000*(1.035 ^n-1)/(1.035-1)
Auflösen nach 1.035^n
50 000= 5000*(1.035 ^n-1)/(1.035-1) \| *1/5000
10=(1.035 ^n-1)/0.035 \|*0.035
0.35=1.035^n-1 \|+1
1.35=1.035^n
Jetzt mußt du logarithmieren, weil der Logarithmus
die Umkehrung der Exponentialfunktion ist.
log(10,1.35)=log(10,1.035 ^n)
Anwendung der Lograithmengesetze liefert
log(10,1.35)=n*log(10,1.035)\|*1/log(10,1.035)
n= log(10,1.35)/log(10,1.035)~=8.72
0.72 Jahre sind ca. 9 Monate
A: Kapital von etwa € 50 000 nach ca. 9 Jahren
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hirngeschwandter
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Wohnort: Darmstadt (z.Z. in Dresden)
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-12-13
|
Hallo,
2003-12-13 11:05: Leben schreibt:
Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, heisst das dann, dass sie ein bestimmtes 'Ziel' erreichen wird?
Im unendlichen ja, im endlichen evtl. In Deinem Bsp. liegt der Floh zwar nach endlich vielen Schritten immer noch echt unter der 2m Marke aber wenn wir ihm beliebig viel Zeit geben wird dieser Abstand immer kleiner. D.h. man kann keine Marke unterhalb der 2m angeben, die er nicht irgendwann (bei beliebig langen Leben und nie erschöpfender Hüpffreudigkeit) überspringen würde. Daher wird auch hier 2m als der Grenzwert der Folge betrachtet. Würde der Floh z.B. nach 1m direkt auf die 2m Marke springen und dann dort verharren, wäre der Grenzwert ebenfalls 2m nur wäre es hier für Dich vermutlich einsichtiger.
2) die rekursive Zuordnungsvorschrift 1 von geo.reihen ist ja:
S_(n+1)=S_n+a_1*q^n
Zuordnungsvorschrift 2:
S_(n+1)=a_1+S_n*q
erstmal ist das doch das selbe, oder?!
Es stimmt, wenn man die erste Zuordnungsvorschrift zu
S_(n+1)=S_n+a_1*q^(n+1)
ändert und in beiden Fällen S0 = a1 setzt.
gibt es auch eine explizite Zuordnungsvorschrift (oder wie das heisst)?
eine nicht-rekursive. Z.B. via
S_n=sum(a_1*q^i,i=0,n) oder S_n=a_1*(q^(n+1)-1)/(q+1)
Sind die Zuordnungsvorschriften fuer geom. Reihen und geom. Folgen das gleiche?
WAS ist der Unterschied zwischen (geom.)Reihen und (geom.)Folgen , also Folgen und Reihen, eigendlich?
Eine geometrische Reihe beschreibt fortlaufende Summen einer geometrischen Folge. Fangen wir mit letzteren an. Die Bedingung an eine geometrische Folge ist, daß die Folgeglieder durch einen konstanten Faktor ineinander übergehen, also
a_(n+1)/a_n=q
Explizit kann man das n-te Folgeglied daher durch
a_n=a_1*q^(n-1)
angeben. Die geometrische Reihe dazu wäre
S_n=sum(a_i,i=1,n)=a_1*(q^n-1)/(q-1)
Die Aufgaben sollten sich damit erschlagen lassen.
Gruss
[ Nachricht wurde editiert von hirngeschwandter am 2003-12-13 12:06 ]
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