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Mac
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.10.2003
Mitteilungen: 101
  Themenstart: 2003-12-24

Hi, Folgende Aufgabe: Finde alle Lösungen x von 3x = 9 in \IZ_105 . Tipp: Verwende den chinesischen Restsatz. Mein Problem ist: Ich würde die Sache ganz einfach so lösen: 3x == 9 mod 105 -> x=3 \IL = {alle x \el \IZ \| z=3+z*105 mit z \el \IZ } Mein Problem: Wo habe ich den Tipp mit dem chinesischen Restsatz ausgenutzt? Wenn der Tipp gegeben ist, dann ist die Lösung so wohl zu einfach, oder? cu Mac [ Nachricht wurde editiert von Mac am 2003-12-24 18:05 ]

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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
  Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-26

So einfach ist das mit den Restklassen nicht: 36 ist z.B. eine weitere Basislösung in N gilt: 3*36=108 =>in Z_105|:3*36=3 (mod 105) => alle 36+k*105 (mit k \el Z) sind Lösungen Was den chin. Restsatz anbelangt: Vielleicht hilft dir die Identität (a*b) mod m=(a mod m)*(b mod m) weiter. [ Nachricht wurde editiert von Gockel am 2003-12-26 14:09 ]

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arthur
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Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2003-12-26

@gockel: 36 ist keine lösung der gleichung. die gleichung lautet nämlich 3x=9 mod 105 und nicht 3x=3 mod 105. @mac: deine gleichung hat in \IZ_105 genau 3 lösungen: x_1=3 x_2=38 x_3=73 vom chinesischen restsatz hab ich ehrlich gesagt noch nichts gehört und ich wüsste auch nicht wieso man das hier nicht auch ohne den hinbekommen sollte. gruß arthur

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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
  Beitrag No.3, eingetragen 2003-12-26

Hi! Vielleicht noch warum es keine weiteren Lösungen gibt: Du musst die Gleichung 3x=9 in \IZ_105 lösen. Das heißt wir suchen alle x \el \IZ_105 , für die 3x den gleichen Rest beim Teilen druch 105 hinterlässt wie 9.   Nun, 9 hinterlässt den Rest 9. Also müssen wir 3x mod 105 = 9 nach x auflösen. Das ist genau dann der Fall, wenn es ein z \el \IZ mit 3x=z*105+9, d.h. x=35z+3 gibt.   Wegen x <= 104 kommen dafür z=0, z=1 oder z=2 in Frage, eingesetzt ergibt das x=3,x=38 oder x=73. Damit lautet die Lösungsmenge menge(3,38,73). Gruß martin

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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
  Beitrag No.4, eingetragen 2003-12-26

Ich wollte auch auf die Lösung 38 hinaus, hab dann aber die Taste verfehl und mit dem Fehler weitergerechnet. Tschuldigung.

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cyrania
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Dabei seit: 19.10.2003
Mitteilungen: 2383
Wohnort: früher Berlin - heute Bayern
  Beitrag No.5, eingetragen 2003-12-26

Martin hat die Lösung schon beschrieben und da steckt auch der Restsatz drin. z=3 #wegen 105:5=3*7 105:7=3*5 # folgt x_0=3+0*5*7 x_1=3+1*5*7 x_2=3+2*5*7

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