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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » *(*) Binomialidentität mit Zweien
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Universität/Hochschule *(*) Binomialidentität mit Zweien
sense
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-07-10


Hallo,
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[ Nachricht wurde editiert von sense am 10.07.2011 17:16:09 ]



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Bitte poste Lösungen zu dieser Aufgabe nur dann im Forum, wenn der Themensteller das verbal in seinem Aufgabentext erwähnt hat. Sonst antworte ihm in einer privaten Nachricht. (Hinweis: Diese Knobelaufgabe wurde gestellt, bevor es die explizite Einstellung 'Antworten nur mit privater Nachricht' gab.)
sense
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-29


Gold geht an endy. Er hat sogar zwei grundsätzlich verschiedene Lösungen gefunden.

Silber hat sich Naphthalin gesichert.

Herzlichen Glückwunsch!


Es gibt bei dieser Aufgabe mehrere Ansätze aus verschiedenen mathematischen Disziplinen. Es ist jeder eingeladen weitere Lösungsvorschläge einzusenden.


MfG
sense


PS: Diese Lösungen habe ich schon vor einigen Wochen erhalten.
[ Nachricht wurde editiert von sense am 29.08.2011 23:21:07 ]



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sense
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-30


Wer sich noch an dieser Identität versuchen möchte, kann mir gerne seine Lösung zusenden. Mir sind bisher drei verschiedene Lösungen bekannt (stochastisch, algebraisch, analytisch). Ich bin gespannt, ob es noch weitere Lösungen gibt.


[ Nachricht wurde editiert von sense am 30.09.2011 14:43:42 ]



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-26


Eine kombinatorische Lösung :



Ich habe Töpfe A und B. In A seien n Kugeln Vanilleeis und in B n Kugeln Himbereis.Mit verbunden Augen greife ich solange in die Töpfe bis ein Topf leer ist.In dem anderen Topf sind dann k Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit p(k).Ich habe <math>n+(n-k)</math> mal in einem  Topf gegriffen und n-k Kugeln einer Eissorte herausgeholt,also folgt
<math>p(k)=\binom{2n-k}{n-k} \cdot \dfrac 1 2^{2n-k}</math>.Trivialerweise gilt <math>\sum_{k=0}^n p(k) =1</math>.
Mit der Substitution <math>j=n-k</math> ergibt sich deine Identität.



Eine algebraische Lösung :



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endy


-----------------
Peter Scholze Fields Medal 2018 :
Sometimes I have some vague intuitive idea on how things should work, and I try to reconcile this with the known theory. In some cases the new perspective leads to new insights(CMI 2012).



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-29


Ein weiterer Beweis.

Computeralgebra:



Man siehe Klick mich.

mathematica
(* In *)
 
f[n_, k_] := 1/2^(k + n)*Binomial[n + k, n]
g[n_, k_] := -k/(1 + n)*f[n, k]
wilfZeilbergerPairQ[{f[n, k], g[n, k]}, {n, k}]
 
(* Out *)
 
True
 

Man kann dies natürlich auch per Hand nachrechnen.



endy



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Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-18


2018-04-26 20:26 - endy in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine kombinatorische Lösung :



Ich habe Töpfe A und B. In A seien n Kugeln Vanilleeis und in B n Kugeln Himbereis.Mit verbunden Augen greife ich solange in die Töpfe bis ein Topf leer ist.In dem anderen Topf sind dann k Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit p(k).Ich habe <math>n+(n-k)</math> mal in einem  Topf gegriffen und n-k Kugeln einer Eissorte herausgeholt,also folgt
<math>p(k)=\binom{2n-k}{n-k} \cdot \dfrac 1 2^{2n-k}</math>.Trivialerweise gilt <math>\sum_{k=0}^n p(k) =1</math>.
Mit der Substitution <math>j=n-k</math> ergibt sich deine Identität.



Eine algebraische Lösung :



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endy



Die Kombinatorische Lösung ist zwar sehr elegant, jedoch stimmt da noch was nicht:


(1)
Bei den <math>\binom{2n-k}{n-k}</math>   vielen Möglichkeiten die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>\dfrac 1 2^{2n-k} </math> auftreten, kann es passieren daß die n-k Eiskugeln ganz zum Schluß gezogen werden... ABER:

Dann würde das Spiel bereits nach n Schritten zuende sein.


(2)  p(0) ist doch im wahren Spiel unmöglich (Wahrscheinlichkeit 0). In Deiner Formel eingesetzt ergibt p(0) aber nicht 0





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sense hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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