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Analysis » Funktionentheorie » elliptische Funktionen
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Universität/Hochschule J elliptische Funktionen
der_mathematiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2011-08-20


Hey, lerne gerade für ne Modulprüfung und stehe vor folgender Frage:

Ist die Ableitung einer elliptischen Funktion, elliptisch?
Vor allem: wie kann man das einsehen?

vielen Dank!


[ Nachricht wurde editiert von der_mathematiker am 20.08.2011 15:18:35 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2011-08-20


2011-08-20 15:18 - der_mathematiker im Themenstart schreibt:
Ist die Ableitung einer elliptischen Funktion, elliptisch?
Hi der_mathematiker,
ja.
Elliptische Funktionen sind nach Definition doppeltperiodische meromorphe Funktionen, und dass das Ableiten wieder Funktionen derselben Art ergibt, ist trivial.

Für die Stammfunktion elliptischer Funktionen gilt das nicht, zum Beispiel ist die Weierstraßsche Zetafunktion nicht elliptisch, obwohl sie eine wichtige Rolle in der Theorie dieser Funktionen spielt.
Gruß Buri



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der_mathematiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-20


2011-08-20 15:24 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
2011-08-20 15:18 - der_mathematiker im Themenstart schreibt:
Ist die Ableitung einer elliptischen Funktion, elliptisch?
Hi der_mathematiker,
ja.
Elliptische Funktionen sind nach Definition doppeltperiodische meromorphe Funktionen, und dass das Ableiten wieder Funktionen derselben Art ergibt, ist trivial.

Für die Stammfunktion elliptischer Funktionen gilt das nicht, zum Beispiel ist die Weierstraßsche Zetafunktion nicht elliptisch, obwohl sie eine wichtige Rolle in der Theorie dieser Funktionen spielt.
Gruß Buri

trivial?... für dich vllt schon, aber mir ist das noch nicht so klar...



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2011-08-21


Benutze die Kettenregel.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2011-08-21


2011-08-20 18:56 - der_mathematiker in Beitrag No. 2 schreibt:
trivial?... für dich vllt schon, aber mir ist das noch nicht so klar...
Hi der_mathematiker,
in dem von mir geschilderten Kontext ist es wirklich trivial.
Begründung:
- Die Ableitung doppeltperiodischer Funktionen ist wieder doppeltperiodisch, und
- Die Ableitung meromorpher Funktionen ist wieder meromorph.

Aber es wäre möglich, dass du eine andere Definition des Begriffes "elliptische Funktion" hast. Dann teile sie bitte mit.
Gruß Buri



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ThePolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-01-12


Hallo Buri,
ich hätte zu diesem Thema auch noch eine Frage.
Dass die Ableitung periodischer Funkionen wieder periodisch ist gilt doch weil: <math>\displaystyle f"(z+p)=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(z+p+k)-f(z+p)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(z+k)-f(z)}{k}=f"(z)</math> für Perioden <math>\displaystyle p\in P</math>.
Wie übersetzt sich das auf die Polstellen von meromorphen Funktionen.
Wie geht man mit Ableitungen an Polstellen um?
Wenn eine elliptische Fkt <math>\displaystyle f</math> nun von Grad k ist, also <math>\displaystyle f(z)=\infty</math> k viele Lösungen besitzt, kann ich dann etwas über den Grad von <math>\displaystyle f"</math> aussagen?

kann ich die laurentreihen entwicklung benutzen und
für einen pol vom grad n in z_0 schreiben:
<math>\displaystyle f(z)=\sum_{j=-n}^\infty a_j(z-z_0)^{j}</math>
gilt dann für die ableitung
<math>\displaystyle f"(z)=\sum_{j=-n-1}^\infty a_{j+1}(j+1)(z-z_0)^{j}</math>
und damit liegt der grad der ell. funktion zwischen 2k und k+1?
wie erklärt sich aber, dass der pol periodisch bleibt?

MfG




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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-01-12


2014-01-12 17:15 - ThePolo in Beitrag No. 5 schreibt:
1. ... kann ich dann etwas über den Grad von <math>\displaystyle f"</math> aussagen?
2. wie erklärt sich aber, dass der pol periodisch bleibt?
Hi ThePolo,
1. Natürlich. Beim Differenzieren erhöht sich die Ordnung aller Pole um 1.
Die Ordnung der Funktion erhöht sich also um so viel, wie es (von Perioden abgesehen) verschiedene Pole gibt, das ist mindestens 1 und sind höchstens k Pole.
Die Ableitung einer elliptischen Funktion der Ordnung k hat also eine Ordnung zwischen k+1 und 2k. Man spricht von der Ordnung, nicht vom Grad. Der Fall mit Ordnung 2k tritt genau dann ein, wenn alle Pole einfach sind.

2. Das ist etwas unklar ausgedrückt.
Es folgt aus der Periodizität.
Wenn z0 eine Polstelle und p eine Periode ist, dann ist auch z0+p eine Polstelle derselben Ordnung.
Gruß Buri



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