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Mathematik » Analysis » Fraktionelle Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Fraktionelle Differentialgleichung
maddio14
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  Themenstart: 2011-10-23

Hallo alle miteinander, Vor kurzem habe ich schonmal eine Frage hinsichtlich einer Fraktionalen Differentialgleichung gestellt, bei der man mir antwortete, dass diese in der allgemeinen Form - so wie ich sie gesucht habe - nicht lösbar ist. Nun habe ich eine andere Differentialgleichung, die meiner Meinung nach einfacher aussieht; von der ich jedoch auch nicht weiß, wie ich hier eine Lösung finden soll: f(x)+g(x)*D_0^\alpha f(x)=0 Es handelt sich hierbei um den Riemann-Liouville-Ansatz. Auch hier habe ich wieder quasi keine Angaben hinsichtlich g(x). Gibt es hier dennoch eine Lösungsmethode? Wenn ja, würde ich mich sehr über eine Antwort freuen. Mfg maddio14


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maddio14
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-24

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Bozzo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2011-10-24

Warum die 0 in D0?  In welchem Bereich liegt α?  Was weist du über die Nullstellen von g? [ Nachricht wurde editiert von Bozzo am 24.10.2011 16:35:16 ]


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maddio14
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-24

Hallo Bozzo, Es soll 0<=\alpha<1 gelten. Entsprechend gilt ja für Riemann-Liouville $D_{a}^{\alpha}\, f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma\left(1-\alpha\right)}\cdot\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int}}\left(x-t\right)^{-\alpha}\cdot f\left(t\right)dt$. Für a = 0 erhält man dann $D_{0}^{\alpha}\, f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma\left(1-\alpha\right)}\cdot\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int}}\left(x-t\right)^{-\alpha}\cdot f\left(t\right)dt$, was ich in meiner Frage meine. Über g(x) ist eigentlich nichts  bekannt, da ich eine allgemeine Lösung des Problems suche und g(x) entsprechend nicht definiert habe. Inwiefern sind denn die Nullstellen von Relevanz? Vielleicht könnte ich g(x) ja dann in bestimmter Hinsicht einschränken. Mfg maddio14


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Bozzo
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  Beitrag No.4, eingetragen 2011-10-24

Prinzipiell musst du die Gleichung an den Nullstellen und Polen von g gesondert untersuchen.  Wenn sie soetwas in dem gesuchten Bereich nicht hat, erleichtert das alles wesentlich. Untersuche stattdessen besser die Gleichung   D0α f(x) + h(x) f(x) = 0 Einmaliges integrieren liefert nun   $\underset{0}{\overset{x}{\int}}\left(\frac{(x-t)^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}+h(t)\right)f(t)\,dt = 0$ Bin nicht sicher, ob ich nicht irgendwo einen Anfangswert verloren habe, oder ob es den erst ab α ≥ 1 braucht.  Jedenfalls ist das jetzt eine homogen Volterra-Integralgleichung 1. Art und kann nun mit der Fredholm-Theorie behandelt werden.


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maddio14
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-24

Danke Bozzo für deine Bemühungen. Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen. Zuletzt noch eine Frage: Kennst du vielleicht Literatur, die sich mit diesem Thema auseinandersetzt, und die gut zu lesen ist? Ich würde nähmlich gerne mehr zu dieser Art von Differentialgleichungen erfahren. Mfg maddio14


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Bozzo
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  Beitrag No.6, eingetragen 2011-10-24

Du kannst vielleicht mal in The Analysis of Fractional Differtial Equations von Kai Diethelm gucken.  Ich hab es hier in meiner online Bib, und auf den ersten Blick macht es gar keinen schlechten Eindruck.


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maddio14
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-24

Danke!


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