Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Grenzwerte » Grenzwert sin x / x
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Grenzwert sin x / x
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-02-03


Hallo!

Kann mir jemand helfen?
Ich versuche gerade zu beweisen, dass das Differential von sin x, cos x ist. Aber leider komme ich nicht weiter.
Mir fehlt der Grenzwert von:
fed-Code einblenden

Ich habe mal was mit:
fed-Code einblenden

oder so ähnlich gesehen.
Das habe ich allerdings nicht ganz verstanden...
Bin für jede Hilfe dankbar...


natürlich auch für eine Alternative

Gruß
DQ



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
SchuBi
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-03


Hallo, Dark_Querulant!
Es gibt eine schöne Herleitung von Friedrich Laher in Ableitungen Trigonometrie.


[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2004-02-03 21:55 ]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2004-02-03


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-04


Danke!
Ich finde beide Beweise wirklich gut, doch leider habe ich noch ein paar Fragen:

ich gehe jetzt mal davon aus, dass:
fed-Code einblenden

die Grenzwerte von:
fed-Code einblenden
sind?!

Gibt es einen Beweis dafür?
und gibt es einen Beweis für:

fed-Code einblenden

Arthur sagt, dass es Definitionen sind, aber gibt es einen Beweis, zwischen dem Zusammenhang der geometrischen Deutung und der exakten Definition?

Vielen Dank im Voraus!

Gruß
DQ



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2004-02-04


Ja es gibt Beweise dafür. Das eine sind die sogenannte Taylorreihen, die du dir selbst in diese Form entwickeln könntest.
Es andere folgt aus der Eulerschen Identität
fed-Code einblenden
Die wiederrum mit Hilfe der Reihenentwicklung bewiesen werden kann.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2004-02-04


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-04


Ich bin Schüler ...
10. Klasse.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2004-02-04


hui,...10.klasse. nagut, dann ist meine lösung wohl nicht die art von lösung, die euer lehrer sehen will. aber macht ja nix. er guckt bestimmt nicht schlecht, wenn du ihm den sinus als potenzreihe vor die nase setzt...  ;-)

gruß arthur



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-04


Bei der eulerschen Identität komme ich nicht weiter:
fed-Code einblenden
wenn das Stimmen sollte, müsste:

fed-Code einblenden

sein. Was ja auch stimmt, nur leider ist es das was ich beweisen will...

Das Einsetzen von
fed-Code einblenden
will mir auch nicht ganz gelingen.

Die Taylorreihe, ja, die kenn ich flüchtig...
Habe mal versucht mich damit auseinanderzusetzen. Das hat nicht so gut geklappt, da das einzige was ich gefunden habe, irgendwelche Skripte der TU-Berlin waren.

[ Nachricht wurde editiert von Dark_Querulant am 2004-02-04 18:32 ]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2004-02-04


Schlimm ists dann nur, wenn er sagt: "Kannst du das denn beweisen?". Die Entwicklung in eine Potenzreihe ist gar nicht so einfach ohne komplexe Zahlen und Eulersche Identität (die man in der 10ten wohl eher nicht kennt)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-04


Es sind keine Hausaufgaben...
Es ist Freizeitmathe.
Also macht es nichts, dass ihr komplexe Zahlen und die Taylorreihen in euren Erklärungen gebraucht.

Gruß
DQ



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2004-02-04


fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 2004-02-05 14:00 ]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2004-02-04


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-04


Das mit dem Sinus hat geklappt :D

nur leider fehlt jetzt noch die Eulersche Identität ...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2004-02-04


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dark_Querulant
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.06.2002
Mitteilungen: 245
Wohnort: Flensburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-05


hm...

Also der Beweis leuchtet mir schon ein, nur haben wir nicht:

/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))

Mit der eulerschen Identität bewiesen?
Man kann doch nicht aus einer Aussage 'A', die nicht bewiesen ist, eine Aussage 'B' beweisen und anschließend aus der Aussage 'B', die ja total auf 'A' aufbaut, 'A' beweisen...

also entweder braucht man einen beweis für:
/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))
ohne die eulersche Identität oder einen für die eulersche Identität ohne:
/fedsin(x):=1/2i*(e^ix-e^(-ix))
oder sehe ich das falsch?`

Gruß
DQ



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2004-02-05


Wenn du die Reihe von e^ix entwickelst, wirst du feststellen, dass die Identität dabei herauskommt. Dazu musst du beachten, dass i^2=-1 ist und du musst die Reihenglieder geschickt umstellen.
Bei mathworld ist das sehr spartanisch angerissen, dafür aber mit einer schönen alternativen Methode über ein Integral bewiesen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
arthur
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.11.2003
Mitteilungen: 2510
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2004-02-05


hi DQ!

es handelt sich um 2 definitionen! diese sind nicht zu beweisen.
alles was aus diesen defintionen folgt, ist zu beweisen, z.b. die eulersche identität, die potenzreihenentwicklung usw.
genau das haben wir gemacht...
die definitionen musst du einfach so hinnehmen.

gruß arthur



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2004-02-05


Ich dachte immer, es wäre umgekehrt: Die Potenzreihen von e^x, sin und cos werden entwickelt und daraus hat er die Identität und alles andere abgeleitet.
Schließlich kann man die Reihen von cos und sin ja auch ohne die Exponential-Definition gewinnen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Fabi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4572
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2004-02-05


Hi!

Wie man es jetzt definiert, ist im Endeffekt egal.

In meinem Analysis-Buch steht auch als Definition:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Mit ein wenig Mühe leitet man daraus die Formel her, die arthur als Definition genommen hat. Daraus ergibt sich dann auch die geometrische Interpretation.

Dieser Weg ist bequemer, aber sicher nicht der historische.  Historisch wurden sin und cos geometrisch eingeführt, später die Potenzreihenentwicklung, dann konnte Euler durch Vergleich der Potenzreihen seine Gleichung beweisen.

Gruß
Fabi



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gockel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25545
Wohnort: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2004-02-05


Meinte ich doch. :-D



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Epsilon_groesser_0
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.02.2021
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-02-28


nun kannst du leicht deine beiden problemchen lösen:

lim(x->0,sin(x)/x)=lim(x->0,(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...)/x)
=lim(x->0,1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+...)=1


fed-Code einblenden


Ich weiß, dass das "ein wenig" Nekroposting ist, aber müsste man in dem Beweis nicht vorher zeigen, dass man die Limiten vertauschen darf? Immerhin unterstellen wir:


fed-Code einblenden

ident sind.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]