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Mathematik » Lineare Algebra » Skalarprodukte in R² und IC
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Universität/Hochschule J Skalarprodukte in R² und IC
Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2012
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2012-07-17


Hallo,

mir ist eine Sache nach Recherchen zu Skalarprodukten unklar. Nämlich
warum ist das Skalarprodukt in IC von beispielsweise <i,1>=-i und im R² wenn man i mit dem Vektor (0,1)identifiziert (1,0)*(0,1)=0???

bleibt die Orthogonaliät bei der Identifizierung nicht erhalten oder wo ist das Problem?

Als Definition des Skalarprodukts in IC hab ich genommen
 <x,y>:=(Y)*X wobei (Y)* die komplexe Konjugation darstellt...


[ Nachricht wurde editiert von Tom-Thierry am 17.07.2012 13:56:28 ]



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Hellfish
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.12.2011
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-17


Wenn du <math>\mathbb{R}^2</math> mit <math>\mathbb{C}</math> identifizieren möchtest, dann musst du das Skalarprodukt auch ändern.
<math>
\left\langle \binom{a}{b}, \binom{c}{d}\right\rangle=ac +ad - bc +bd
</math>
Mfg Hellfish
Edit du solltest dich allerdings entscheiden, ob du das erste Argument konjugieren möchtest oder den zweiten.
[ Nachricht wurde editiert von Hellfish am 17.07.2012 14:09:31 ]



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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


wie kommt man denn auf diese Definition des Skalarproduktes?
Ich hab mal nachgerechnet (nach obiger Def.):

<a+ib,c+id>=(c+id)*(a+ib)= ac+ bd +i(bc-ad)

hmmm und wie bekommt man hier dann deine Idee?

Konjugation in der zweiten Komponente möchte ich...
[ Nachricht wurde editiert von Tom-Thierry am 17.07.2012 14:40:34 ]



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Hellfish
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Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 912
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-17


So ein Skalarprodukt soll positiv definit sein. Wie genau rechnest du
dein Skalarprodukt aus ?
<math> \langle a+ ib, c+id\rangle = \langle a, c+id \rangle + \langle ib, c+id\rangle = \langle a, c\rangle +\langle a,id\rangle +
\langle ib, c \rangle + \langle ib,id\rangle </math>
Du wolltest Konjugation im zweiten Argument?
<math> \langle a,c\rangle -i \langle a,d\rangle + i \langle b,c\rangle
+\langle b,d\rangle </math> Ich hatte die erste komponente konjugiert,
daher das andere Vorzeichen. Die i können wir allerdings bei einem Skalarprodukt nicht stehen lassen, da unser Vektorraum über den
reellen Zahlen ist und ein Skalarprodukt eine Verknüpfung <math>
V\times V \rightarrow \mathbb{K}</math>. Damit Zwei Vektoren Orthogonal sind muss ihr Skalarprodukt Null ergeben. Also muss sowohl der Realteil, als auch der imaginärteil des Skalarproduktes Null sein. Dies kannst du
in <math> \mathbb{R}^2</math> nicht ohne weiteres prüfen. Du könntest dir aber zunächst eine neue Verknüpfung machen und zwar <math>
f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 </math>
mit <math> f\left( \binom{a}{b} , \binom{c}{d} \right) = \binom{ac+bd}{bc-ad}</math>  Wenn die Norm von f(x,y)=0 ist, so sind x und y orthogonal zueinander.
Mfg Hellfish



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LutzL
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Aus: Berlin-Mahlsdorf
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2012-07-17


Hi,

wie kann es in einem eindimensionalen Vektorraum Orthogonalität geben? C ist ein eindimensionaler C-Vektorraum.

Das euklidische Skalarprodukt ist, nach obigen Rechnungen offensichtlich, der Realteil des hermiteschen Skalarproduktes.

Ciao Lutz

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

PS: @Hellfish: Nein, was Du schreibst ist entweder hoffnungslos verschroben oder falsch.
[ Nachricht wurde editiert von LutzL am 17.07.2012 15:11:11 ]



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Hellfish
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Dabei seit: 21.12.2011
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2012-07-17


Der Nullvektor steht auch in einem Eindimensionalen Vektorraum orthogonal zu jedem Vektor.
Mfg Hellfish



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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2012
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


hey Hellfish,

also ich rechne das Skalarprodukt nach der Defintion <x,y>:=(y)*x aus mit (y)* als komplexe Konjugation.
Verstehe ich dich richtig, dass du nun mit dem f die positive Definitheit des "neuen" Skalarproduktes auf IR² nachprüfen möchtest?
also f(x,y)=0 gdw x=y=0 ?



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Hellfish
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2012-07-17


Lutzl hat schon recht damit, dass Orthogonalität auf einem eindimensionalen Vektorraum nicht so spannend ist. Durch meine
Funktion f mache ich IR^2 zu einem Körper (hoffe ich jedenfalls),
Die Norm von f(x,y) ist auch nur dann Null, wenn einer der Beiden vektoren bereits der Null war.
Mfg Hellfish



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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


warum betrachtest du diese Funktion?
und das mit dem KÖrper halte ich für falsch. Meinst du vllt. normierter Vektorraum?
[ Nachricht wurde editiert von Tom-Thierry am 17.07.2012 15:48:44 ]



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Curufin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.08.2006
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Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2012-07-17


Hallo,

also jetzt mal von vorne.
1. Im Startbeitrag berechnest du das Skalarprodukt falsch. <math><i,1>=i\text{ ,da } \bar{1}=1</math>.

2. Die Identifikation von <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math> ist erst einmal eine Identifikation von <math>\mathbb{R}</math>-Vektorräumen und nicht von euklidischen Räumen.

3. Es kann keine Identifikation von euklidischen Räumen geben, schon allein aus formalen Gründen. In <math>\mathbb{C}</math> definiert das Standardskalarprodukt eine surjektive Abbildung in die komplexen Zahlen, während das Standardskalarprodukt in <math>\mathbb{R}^2</math> eine surjektive Abbildung nach <math>\mathbb{R}</math> definiert.  
Wie soll das also kompatibel gemacht werden?

<math>\mathbb{C}</math> ist eben kein euklidischer Raum und man kann ihn nicht wie einen behandeln.

Viele Grüße


[ Nachricht wurde editiert von Curufin am 17.07.2012 15:59:30 ]



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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


ok den Fehler in meinem ersten Beitrag hab ich erkannt.(Konjugation im zweiten Argument)
heißt das nun, dass es keinen isometrischen Isomorphismus zwischen IR² und IC gibt?
Ist der Grund, dass IC kein euklidischer Raum (=VR mit reellem Skalarprodukt)ist, lediglich wegen dem nicht zwangsläufig reellem Skalarprodukt?
[ Nachricht wurde editiert von Tom-Thierry am 17.07.2012 16:39:49 ]



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Curufin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2012-07-17


Du müsstest erst einmal erklären, was isometrisch in diesem Fall bedeuten soll.
Das führt genau zu demselben Problem wie ich es schon beschrieben habe.

Die Diskussion erinnert mich ein wenig an so etwas: "Ist f(x)=1/x unstetig in 0?"

Ich denke, da sind bestimmte geometrische Vorstellungen vorhanden, die aber einer formalen Überprüfung nicht stand halten.
Häufig liegt die Ursache nicht am Formalen sondern an einer falschen Vorstellung.

Viele Grüße




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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


Also mit isometrisch meine ich einen Isomorphismus, der das Skalarprodukt (und somit die induzierte Norm und Metrik)erhält.

oder anders gefragt warum sind i und 1 nicht orthogonal in IC wobei sie es doch in IR²( mit (0,1) und (1,0)) sind...
[ Nachricht wurde editiert von Tom-Thierry am 17.07.2012 17:18:12 ]



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OmmO
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.12.2006
Mitteilungen: 2296
Aus: Kiel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2012-07-17


Hallo,
über R sind (1,0) und (0,1) linear unabhängig,
über C sind 1 und i aber linear abhängig.

Vielleicht hilft das?
Letztlich kann man auch über die Dimension argumentieren.
C hat Dimension 2 über R, genau wie R².
Über C hat C selbst aber Dimension 1.
Gruß OmmO



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Curufin
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Mitteilungen: 1689
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2012-07-17


Sie sind deswegen nicht orthogonal, weil das Skalarprodukt in einem Fall 0 ist und im anderen Fall nicht.
Wie LutzL schon anmerkte: Die komplexen Zahlen sind eindimensional als komplexer Vektorraum. Und dort ist es recht unspannend, Orthogonalität zu betrachten. Dies entspricht auch der Vorstellung, dass es auf Geraden eben nicht zwei orthogonale "Richtungen" gibt.

Wie schon gesagt: Einen solchen Isomorphismus kann es schon deswegen nicht geben, weil die beteiligten Abbildungen in völlig unterschiedliche Zielmengen führen.

Was verwirrt dich denn? :)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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Tom-Thierry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 17.07.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-17


Danke allen für die Erklärungen. Es hat geholfen.
Und eine für mich zufriedenstellende Einsicht ist auch rausgesprungen, die mein eigentliches Anliegen erklärt:

Wenn man den Realteil des Skalarproduktes auf IC betrachtet, dann ist dies identisch mit dem Skalarprodukt auf IR².




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