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Universität/Hochschule J Unverständliche Umformung eines Tensors bei Weinberg
PhotonX
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  Themenstart: 2012-07-19

Hallo Community, ich tüftle gerade an meiner Bachelor-Arbeit und benötige an einer Stelle den Energie-Impuls-Tensor für nicht ideale Flüssigkeiten. Der Ausdruck für diesen Tensor wird im Weinberg (Gravitation and Cosmology) hergeleitet. Ich habe im Prinzip schon die gesamte Herleitung verstanden, nur eine Stelle will nicht in meinen Kopf. Es handelt sich um eine rein mathematische Umformung, hat also mit dem Rest der Herleitung und überhaupt mit der Physik nichts zu tun. Hier ein Screenshot dieser Stelle: Bildbeschreibung Die Idee ist folgende: Der mit 1 markierte Summand muss positiv sein. Das unbekannte $\Delta T^{ij}$ muss also so gewählt werden, damit der Summand positiv ist. Weinbergs Ansatz für $\Delta T^{ij}$ ist 2.11.15, wovon mich nur der erste Summand interessiert (gekennzeichnet mit 2). Setzt man diesen Ansatz in die Ausgangsgleichung ein, so entsteht 2.11.17, der interessante Summand ist mit 3 gekennzeichnet. Meine Frage nun: Wie zur Hölle wird bei 3 aus dem $\frac{\partial U_i}{\partial x^j}$ in 1 diese Klammer (die ja die gleiche ist wie in 2)? Mir ist klar, dass nachdem $\Delta T^{ij}$ aus physikalischen Überlegungen heraus symmetrisch sein muss, der simplere Ansatz $\frac{\partial U_j}{\partial x^i} $ nicht hinhaut. Also symmetrisiert man ihn irgendwie und kommt auf diese hässliche Klammer. Aber wie? - das will mir nicht aufgehen. smile Vielen Dank für alle Tipps, PhotonX [ Nachricht wurde editiert von PhotonX am 19.07.2012 19:23:27 ] Edit (fru): Bildbreite auf 600 px reduziert, um Überbreite zu vermeiden [ Nachricht wurde editiert von fru am 20.07.2012 11:25:36 ]


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Dixon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-23

Hallo PhotonX,   damit Du nicht denkst, es liest keiner mit: für $i\neq j$ läßt sich das einfach zeigen. Aber bei $i=j$ will der Groschen bei mir nicht fallen...   Grüße Dixon


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PhotonX
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-23

Dixon, danke für die Antwort! Das bringt mich zumindest soweit, dass ich die Fälle $i\neq j$ und $i=j$ getrennt betrachte, bin gar nicht auf die Idee gekommen. Für $i\neq j$ steht ja quasi da $U_{i,j}=(U_{i,j}+U_{j,i})/2=U_{\{i,j\}}$. Also einfach einer Art Symmetrisierung. Aber warum sind die "normale" und die symmetrisierte Version gleich? Übrigens, ich habe eine Sache unterschlagen: In der Divergenz beim Kronecker-Delta verschwindet (aus physikalischen Überlegungen heraus) der nullte Summand, es gilt also $U_{0,0}=0$. Die Summation in der Divergenz geht also nur über die räumlichen Indizes, vielleicht hilft das irgendwas. smile edit: Für $i=j=1$ erhalten wir: $U_{1,1}=(U_{1,1}+U_{1,1}-\frac{2}{3}\sum_{i=1}^3U_{i,i})/2=U_{1,1}-\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3U_{i,i}$ Damit wäre aber $\sum_{i=1}^3U_{i,i}=0$ und das folgt aus nichts... Außerdem hätte man dann eine Null abgezogen und ich sehe nicht, was das bringen würde. [ Nachricht wurde editiert von PhotonX am 23.07.2012 20:23:50 ]


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Dixon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-23

\quoteon(2012-07-23 20:05 - PhotonX in Beitrag No. 2) Für $i\neq j$ steht ja quasi da $U_{i,j}=(U_{i,j}+U_{j,i})/2=U_{\{i,j\}}$. Also einfach einer Art Symmetrisierung. Aber warum sind die "normale" und die symmetrisierte Version gleich? \quoteoff   Na das ist doch offensichtlich: weil $U_{i,j}=U_{j,i}$ ist. Sonst ergäbe die Rechnung keinen Sinn. Ich weiß nur nicht, was U ist. Und habe vergessen... anders gefragt, wie heißt denn das Kapitel, in dem diese Formeln stehen?   Grüße Dixon


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surfinbird1
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  Beitrag No.4, eingetragen 2012-07-23

Hey PhotonX, könnte es sein, dass wir uns in einem mitbewegten Bezugssystem befinden? Dann wäre nämlich \ U^0 = 1 und U^i = 0 . Das wäre hier natürlich sehr praktisch. MfG Martin


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mint
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  Beitrag No.5, eingetragen 2012-07-23

Heyho, also $U_{i,j}=U_{j,i}$ muss nicht gelten! Wenn man aber davon ausgeht, dass über i und j summiert wird dann kann man doch eigentlich straight-forward 3 ausrechnen um zu 2 zu gelangen (wird nicht über i und j summiert machen doch auch die restlichen Ausdrücke keine Sinn). Wird die Summenkonvention beachtet sollte dir auch klar sein, was das Problem bei deinem Edit in Beitrag 2 ist. Grüße mint [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von mint am 23.07.2012 22:03:42 ]


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PhotonX
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-24

Dixon: Wie surfinbird1 andeutet sind die $U^\alpha$ 4-Geschwindigkeiten von Teilchen in einer nichtperfekten Flüssigkeit. Das ist Kapitel 2, Paragraph 11 bei Weinberg. surfinbird1: Also es ist so. smile Das KoSy ist so gewählt, dass in dem Punkt, wo wir uns befinden, tatsächlich $U^\alpha=\delta^\alpha_0$ gilt. Aber das gilt nur in dem einen Punkt, U als Funktion der Koordinaten ist also nicht identisch $U^\alpha=\delta^\alpha_0$. mint: Eigentlich hab ich das schon mal probiert, aber ich probier das nachher nochmal und poste das Ergebnis. [ Nachricht wurde editiert von PhotonX am 24.07.2012 07:23:11 ]


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PhotonX
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-24

So, ich habe 3 vereinfacht und erhalten $\frac{\eta}{2T}(U_{i,j}+U_{j,i}-\frac{2}{3}\delta_{ij})(U^{i,j}+U^{j,i}-\frac{2}{3}\delta^{ij})=\frac{\eta}{T}(U_{i,j}U^{i,j}+U_{i,j}U^{j,i}-\frac{4}{3}(\nabla U)^2+\frac{2}{3}\nabla U)$ Wenn ich aber 2 in 1 einsetze, erhalte ich $\frac{\eta}{T}U_{i,j}(U^{i,j}+U^{j,i}-\frac{2}{3}\delta^{ij})=\frac{\eta}{T}(U_{i,j}U^{i,j}+U_{i,j}U^{j,i}-\frac{2}{3}(\nabla U)^2)$ Das kann nur übereinstimmen, wenn $(\nabla U)^2=\nabla U$ also $\nabla U=1$ oder $\nabla U=0$ gilt...


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mint
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  Beitrag No.8, eingetragen 2012-07-24

Hi, ich denke du hast da ein bisschen was unterschlagen: $ \frac{\eta}{2T} ( U_{ij} + U_{ji} - \frac{2}{3}\delta_{ij}U_{ll})( U_{ij} + U_{ji} - \frac{2}{3}\delta_{ij}U_{kk}) = \frac{\eta}{2T} (U_{ij}U_{ij} + U_{ji}U_{ji} + 2U_{ij}U_{ji} - \frac{4}{3}(U_{ij}+U_{ji})\delta_{ij}U_{kk} + \frac{4}{9}\delta_{ij}\delta_{ij}U_{kk}^2) = \frac{\eta}{2T} (2U_{ij}U_{ij} + 2U_{ij}U_{ji} - \frac{4}{3}2U_{ii}U_{kk} + \frac{4}{9}3U_{kk}^2) = \frac{\eta}{2T} (2U_{ij}U_{ij} + 2U_{ij}U_{ji} - \frac{4}{3}U_{ii}U_{kk}) $ Der Rest sollte klar sein. Wenn noch unklarheiten bzgl. der Rechnung bestehen frag nach. Grüße mint


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PhotonX
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-24

Arg, ich bin ja auch doof, hab beim Ausmultiplizieren der jeweils letzten Summanden eine Divergenz unterschlagen. Vielen Dank an alle für die Unterstützung!


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