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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphes und "polynomiell beschränktes" f hat endliche Reihendarstellung
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Universität/Hochschule J holomorphes und "polynomiell beschränktes" f hat endliche Reihendarstellung
Undertaker
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  Themenstart: 2012-07-25

Hallo, zunächst Verzeihung für den Titel, der ist etwas unglücklich, aber mir fiel es schwer, diese Aufgabe in eine angemessene verbale Kurzform zu kleiden. Sei f: D=\IC - menge(0) -> \IC holomorph, c>0, k_1 , k_2 \in \IZ mit k_1<=k_2. Wenn abs(f(z))<= c( abs(z)^(k_1)+abs(z)^(k_2)) für alle z \in D dann hat f die Form f(z)=sum(a_k*z^k,k=k_1,k_2) Wie kann man dies beweisen? Ich hätte höchstens eine Idee für den Fall k_1>=0. Dann wäre die Singularität an der Stelle z=0 hebbar und man hätte eine ganze Funktion. Für die Koeffizienten der Potenzreihe gilt dann die Abschätzung. abs(a_k) <= 1/r^k* max menge(abs(f(z)) : abs(z)=r), was für k>k_2 und r-> \infty dazu führt, dass alle Koeffizieten a_k mit Index >k_2 Null sein müssen. Aber wie sieht man, dass auch die Indizes, die kleiner als k_1 sind, Null sein müssen. Bzw. wie behandelt man das ganze für den allgemeinen Fall, dass k_1 \in \IZ?


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Tarrasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-26

Hallo, Die Funktion g(z)=z^(-k_1)*f(z) ist eine ganze Funktion, auf die du deine schon gemachten Ueberlegungen anwenden kannst. mfg Tarrasch


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Undertaker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-26

Okay, also dann wie folgt: Betrachte g(z)=z^(-k_1)*f(z). Dann gilt abs(g(z))<=c*(1+abs(z)^(k_2-k_1)) für z \in D, also liegt in z=0 eine hebbare Singularität vor. g ist demnach eine ganze Funktion. Für die Potenzreihe von g gilt dann abs(a_k)<=1/r^k max menge(abs(g(z)) : abs(g)=r) <= 1/r^k*(c+c*r^(k_2-k_1)) Dies geht gegen Null für k>k_2-k_1 (mit r-> \infty). Folglich ist: g(z)=sum(a_k*z^k,k=0,k_2-k_1)=z^(-k_1)*sum(b_k*z^k,k_1,k_2)


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Tarrasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-26

Das passt so.


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Undertaker
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-26

Gut, besten Dank.


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Undertaker hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Undertaker hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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