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Differentialgleichungen » Gewöhnliche DGL » Phasenportrait und Return Map
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Universität/Hochschule Phasenportrait und Return Map
spreekiller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2012-07-28


Hi,

kann mir jemand den Unterschied zwischen Phasenportrait und Return Map erklären? In meinem Skript sieht das ziemlich durcheinandergeschmissen und eine Erklärung zu Returnmaps fehlt komplett.
Wie kann man beides berechnen?

LG Mimi
[ Nachricht wurde editiert von spreekiller am 28.07.2012 12:12:03 ]



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2012-07-28


Hallo,

kurz gesagt:

Phasenportrait = Bild aller Lösungskurven

Mit Return Map kann verschiedenes gemeint sein:
Normalerweise wählt man im Phasenraum einen transversalen Schnitt S, also eine (Hyper-)fläche, die nicht tangential an eine
Lösungskurve ist.
Die Rückkehrabbildung ordnet einem Punkt p von S einen
Punkt q von S zu, wenn die Lösungskurve, die in p beginnt,
die Fläche S das nächste Mal in q schneidet, also von p ausgehend
nach q zurückkehrt.
Falls man eine DGL mit T-periodischer rechter Seite betrachtet,
dann ist die return map auch oft die Abbildung, die einem Punkt,
die Lösung nach genau einer Periode zuordnet, also die Teil-T-Abbildung.
Vorteil der return map ist in vielen Situationen die Reduktion der Dimension um Eins.

Viele Grüße,
haerter



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spreekiller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-29


hi,

vielen dank schonmal!
also aus dem skript kann man sich zusammenphantasieren, dass das phasenportrait aus dx/dt und x(t) erzeugt wird. die ableitung der funktion nach der zeit im verhältnis zur funktion?!
die returnmap soll das phasenportrait mit einem verschiebungsfaktor sein.
könnte das so hinkommen?
wie genau kann ich denn so etwas interpretieren? was seh ich dann da? bei einem eeg signal seh ich z.b. ein knäul....aha...?!

lg mimi



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2012-07-30


Hallo,

es ist etwas schwierig, darauf zu antworten, weil ich das zugrundeliegende Problem nicht kenne. Zum Beispiel ist


also aus dem skript kann man sich zusammenphantasieren, dass das phasenportrait aus dx/dt und x(t) erzeugt wird. die ableitung der funktion nach der zeit im verhältnis zur funktion?!

im wesentlichen korrekt, wenn es um Lösungskurven einer
Differentialgleichung 2.Ordnung geht, also etwas wie
<math>\ddot{x}(t)=f(x(t),\dot{x}(t))</math>,
weil man die Lösungen dieser Differentialgleichung dann in
der <math>x-\dot{x}</math>-Ebene aufzeichnen kann.
(Die Vorstellung, dass es um ein "Verhältnis" zwischen Ableitung und Funktionswert geht, hilft hier übrigens nicht weiter.)

Etwas problematischer ist


die returnmap soll das phasenportrait mit einem verschiebungsfaktor sein.
könnte das so hinkommen?
wie genau kann ich denn so etwas interpretieren? was seh ich dann da? bei einem eeg signal seh ich z.b. ein knäul....aha...?!


Ich weiß nicht viel über EEG-Signale, aber wenn man sich die Messwerte
in einer Graphik aufzeichnet, kann das schon eine Art Knäuel sein.
Man kann sich nun vorstellen, dass man irgendwo eine Art Ebene
einzeichnet und nur noch die Schnittpunkte des Knäuels mit dieser
Ebene betrachtet, in der Hoffnung, dass es dann einfacher aussieht.

Wenn man z.B. eine periodische Lösung hat, dann sieht man diese als
einzelnen (Fix-)Punkt oder periodischen Orbit in der Rückkehrabbildung. Wenn man eine quasiperiodische Lösung hat, sieht man diese als Kurve oder mehrere Kurven in der Rückkehrabbildung.

Viele Grüße,
haerter




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spreekiller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-30


Hi,

vielen Dank auch für diese Antwort.
Ich weiß nicht wie ich das erklären soll, also ich verstehe nicht was man rein technisch betrachtet in so einem Bild sieht.
In einem Histogramm sieht man ja bsp. die Helligkeitsverteilung oder sowas in der Art, aber was sieht man in einem Phasenportrait und einer Return Map?
Ich soll die in der Klausur interpretieren und das wird schwer, wenn ich nichtmal weiß, was man da sieht.
Ich hab mal ein Beispiel angehängt.
Bildbeschreibung
Bildbeschreibung

LG Mimi



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2012-07-30


Hallo,

also beim EEG misst man wohl eine Spannung V.
Beim Phasenportrait wird dann <math>\frac{dV}{dt}</math> über V
aufgetragen. Da man nicht weiß, wie die Spannung V zustande kommt
(es also kein exaktes Modell gibt), hilft dies, um zu erkennen, wie nahe
man z.B. an einer periodischen Lösung ist oder ähnliche Fragen zu beantworten.

Bei "return map" wird vermutlich V(t) über V(t-1) aufgetragen oder umgekehrt,
um festzustellen, wie "kompliziert" oder "chaotisch" sich das System verhält,
aber bei Deinem Bild gibt das m.E. keine brauchbare Information.
Wenn sich bei der "return map" (fast) ein Graph einer Funktion ergeben
würde, dann hätte man ein Modell für die Dynamik des zugrundeliegenden
Systems und könnte dessen Komplexität untersuchen.

Viele Grüße,
haerter
(der sich wundert, wie etwas abgeprüft werden kann, was nicht erklärt
wurde)



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spreekiller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-30


ja das war wohl zu trivial, ums zu erklären...hmpf...
da darf das dann auch geprüft werden.
es ging z.b. darum, ob man die Merkmale eines EKGs wie z.b. den QRS Komplex in einer Return Map erkennen kann und sowas.
Ist das so, dass man in einer Return Map sehen kann, welche Werte ein Signal innerhalb einer bestimmten Zeit alle eingenommen hat?
Dann würde man da ja bei den selben Werten, wo im original Signal die Peaks waren, auch etwas in der Return Map erkennen.
Sorry, ich kann mir sowas immer nicht richtig vorstellen und ich habe noch ein bißchen Probleme mit den Fachebgriffen.

LG Mimi



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2012-07-30


Hallo,

da kann ich leider nicht weiterhelfen.

Google bietet z.B.

das hier

(ab Seite 66 wird durch Hinschauen etwas klassifiziert), aber das ist schon
ziemlich heuristisch.

Viele Grüße,
haerter

[ Nachricht wurde editiert von haerter am 30.07.2012 12:59:03 ]



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spreekiller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-07-30


vielen dank für deine mühe, ich schau mir die dissertation an. vielleicht find ich noch hinweise.



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