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Funktionentheorie » Holomorphie » überall konvergente Potenzreihe
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Universität/Hochschule J überall konvergente Potenzreihe
moma
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  Themenstart: 2012-08-06

Hallo, ich denke gerade über folgende Aussage nach, die ich nicht beweisen kann. Wenn eine Funktion f ganz ist und für alle komplexen z gilt: |f(z)|<=M. Wie zeige ich dann, dass sich f als eine überall konvergente Potenzreihe schreiben lässt? [ Nachricht wurde editiert von moma am 06.08.2012 14:44:28 ]


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mathor
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-06

Hallo moma, diese Funktion ist konstant.


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moma
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06

Das hilft mir leider nicht, da ich deine Aussage später zeigen will. Ich denke, es folgt vllt. doch direkt aus dem Potenzreihenentwicklungssatz. f ganz, das heißt f lässt sich als Potenzreihe schreiben, die auf ganz C eben konvergiert.


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LutzL
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-06

Hi, der Konvergenzradius ist immer der Abstand bis zur nächstliegenden Singularität (oder bis zum Rand des Definitionsbereiches). Da ganze Funktionen keine Singularitäten haben,... Ciao Lutz


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moma
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06

Hallo LutzL, dein Satz ist zwar einleuchtend,aber geht es auch ohne solch ein Wissen. Z.B nur mit dem Potenzreihenentwicklungssatz?


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moma
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06

Es ist für mich sinnvoll eine Frage zum Potenzreihenentwicklungssatz zu stellen. Mir geht es konkret um die KONVERGENZAUSSAGE: f holomorph auf U, dann lässt sich f eindeutig als Potenzreihe schreiben, die auf jeder Kreisscheibe in U konvergiert.ist das so richtig erfasst?


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LutzL
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  Beitrag No.6, eingetragen 2012-08-06

Ja, und das lässt sich mit der Cauchyschen Integralformel für Wert und Ableitungen sowie der üblichen Abschätzung des Wegintegrals durch Maximalbetrag mal Weglänge recht schnell beweisen. Ciao Lutz


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moma
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06

Mir geht es hierbei konkret um den beweis der im jänich steht, siehe hier seite 22-23. die aussage des satzes verstehe ich. man zeige daher zuerst die eindeutigkeit der potenzreihendarstelllung, dann die existenz der reihe. wo genau geht nun aber die konvergenz- wie im satz behauptet- der reihe hervor? folgt das daraus, dann man in der geometrischen reihe eine konvergente reihe findet, sodass die daraus entwickelte reihe von f also auch konvergent ist?   [ Nachricht wurde editiert von moma am 06.08.2012 17:01:13 ] [ Nachricht wurde editiert von Buri am 06.08.2012 21:28:22 ]


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LutzL
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  Beitrag No.8, eingetragen 2012-08-06

Ja, so geht das auch, denn da der Weg beschränkt ist, kann man Integral und Reihe vertauschen. Was ich meinte, ist Satz 5, woraus mit Cauchy-Hadamard wieder folgt, dass der Konvergenzradius wenigstens r ist. Ciao Lutz


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LutzL
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  Beitrag No.9, eingetragen 2012-08-06

Oder Du verwendest die Formel für die erste Ableitung \ f'(z_0)=1/(2\p\ii)*int(f(z)/(z-z_0)^2,z,abs(z-z_0)=r) woraus folgt abs(f'(z_0))<=M/r und das für beliebige r>0, womit dann f'(z)=0 für alle z\in\IC folgt. Ciao Lutz


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moma
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-06

hey lutzl, danke, das sind eine reihe guter beweise, die ich verstehe. ich möchte aber nochmals konkret auf die konvergenzfrage zu sprechen kommen: Wie zeigt sich in satz 3 konkret die konvergenz im potenzreihenentwicklungssatz. Folgt diese aus der entwicklung von f mittels der geometrischen reihe und dem faktor f(zeta)/zeta, weshalb das produkt f(zeta)/zeta*geomet teil konvergent ist, also auch die reihe, die f beschreibt?


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LutzL
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  Beitrag No.11, eingetragen 2012-08-06

Ja, auch dieses Argument mit der geometrischen Reihe ist ausreichend. Ciao Lutz


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Buri
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  Beitrag No.12, eingetragen 2012-08-06

Hi moma, ich möchte die Überlegungen von LutzL aus den Beiträgen #3 und #6 mal näher ausführen. f ist nach Voraussetzung ganz. Wir wählen irgendeine Stelle z, an der wir beweisen wollen, dass die Taylor-MacLaurin-Reihe für f konvergiert. Dazu wählen wir einen Kreis mit Radius R > |z| und bezeichnen mit M das Maximum des Betrages von f auf diesem Kreis. Wenn f Singularitäten hätte, würde das nicht gehen, aber in diesem Fall ist dann |f(u)| ≤ M für alle u mit |u| ≤ R. Mit der Cauchyschen Ungleichung abs(f^(n)(0))<=(M*n!)/R^n (Satz 5 auf Seite 23 im Jänich) kann man dann die Glieder der Taylorreihe durch eine konvergente geometrische Reihe abschätzen. Das funktioniert, weil |z| < R ist, für |z| = R würde es nicht mehr klappen. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von fed am 06.08.2012 21:29:55 ]


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moma
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Danke Buri für die Ergänzung, ich möchte noch einmal auf die Konvergenzfrage in Satz 3 S21f. bei Jänich zurückkommen. Er schreibt auf S. 22 Die geometrische Reihe sum((z/(\zeta))^n,n,) konvergiert für festes z absolut und gleichmäßig auf abs(\zeta)=r.Was genau bedeutet auf abs(\zeta)=r. Ist damit der Kreisrand gemeint? oder was genau? [ Nachricht wurde editiert von moma am 07.08.2012 11:17:57 ]


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LutzL
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  Beitrag No.14, eingetragen 2012-08-07

Ja genau, es wird die gleichmäßige Konvergenz der geometrischen Reihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius |z|/r verwendet. Ciao Lutz


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moma
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-07

Danke, ich möchte nochmals auf die Ausgangsfrage zurückkommen. Wieso lässt sich eine ganze Funktion als überall konvergente Potenzreihe schreiben. Kann man das aus dem Resultat des Potenzreihenentwicklungsatzes 3.3 bei jänich folgern, indem man im beweis r->unendlich gehen lässt? Denn dafür wäre der Beweis ja auch richtig? Danke euch [ Nachricht wurde editiert von moma am 07.08.2012 14:21:27 ]


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Buri
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  Beitrag No.16, eingetragen 2012-08-07

Hi moma, ja, auch Satz 3 auf Seite 21 genügt schon. Man kann U = C wählen, und somit ist dann r beliebig groß wählbar. Gruß Buri


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moma
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-07

danke!:)


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moma hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
moma hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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