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Funktionentheorie » Holomorphie » analytisch eindeutig fortsetzbar
Autor
Universität/Hochschule J analytisch eindeutig fortsetzbar
moma
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  Themenstart: 2012-08-09

Eine analytische Fortsetzung, sofern möglich, längs einer Kreiskette ist eindeutig. Ein von mir oft gelesener Satz, den ich natürlich beweisen wollte, und zwar ausführlich. Fast immer steht dort : Beweis Identitätssatz. Wie muss der Beweis der Eindeutigkeit nun ausführlich lauten: Meine Idee: Sei K_0,....K_n Kreiskette, sei f_0 auf K_0 holomorph gegeben, und fortzusetzen. Wäre f_1, bzw g_1 jeweils eine analytische Fortsetzung auf K_1, dann folgt: Weil f_1=f_0 auf K_0 geschnitten mit K_1 und analog für g_1=f_0, ist also g_1=f_1 auf dem Schnitt und der Identitätssatz anwendbar, sodass f_1=g_1 auf K_1. Fahre induktiv fort. Ist das i.O.? [ Nachricht wurde editiert von moma am 09.08.2012 20:04:02 ]


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pasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-09

Sei eine Kreiskette (K_0,...,K_1) gegeben. Dann ist G:=union(K_0,i=0,n) ein Gebiet. Eine analytische Fortsetzung ist auf K_0 mit der ursprünglichen Funktion identisch. Weil K_0 offen ist, hat K_0 natürlich auch Häufungspunkte in G. Daher ist die Fortsetzung, falls eine existiert, nach dem Identitätssatz eindeutig.


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2012-08-09

\quoteon(2012-08-09 20:01 - moma im Themenstart) ... Ist das i.O.? \quoteoff Hi moma, ja. Solange die Kreiskette so beschaffen ist, dass ihre Vereinigung ein einfach zusammenhängendes Teilgebiet von C ist, muß man nicht besonders aufpassen. Interessant wird es dann, wenn die Kreiskette "in sich selbst zurückläuft", wenn also der Kreis Kn plötzlich den Kreis K0, der längst verlassen wurde, wieder trifft. Die Aussage über die eindeutige analytische Fortsetzung gilt weiterhin, aber man muß beachten, dass die auf Kn definierte Funktion fn von der auf K0 definierten Funktion f0 sorgfältig unterschieden werden muß, insbesondere müssen sie auf dem Durchschnitt K0 ∩ Kn nicht übereinstimmen, und es kann auch sein, dass f0 an irgendeiner Stelle eine Singularität hat, obwohl an derselben Stelle fn holomorph (oder hebbar singulär) ist, und andersherum auch. Gruß Buri [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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pasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-09

Hallo moma und Buri, Ich hätte mal erst nachschlagen sollen, was analytisch fortsetzbar längs einer Kreiskette überhaupt heißt. :O Eine analytische Fortsetzung von f_0: K_0 -> \IC längs (K_0, ...,K_n) sind holomorphe Abbildungen f_i: K_i -> \IC, i=1,...n mit f_i = f_(i-1) auf K_i \cap K_(i-1), i=1,...n. Dann passt die Argumentation natürlich. Gruß Paul


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moma
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-09

Danke euch!:)


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