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Kein bestimmter Bereich Bilinearform
Eschmeier
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  Themenstart: 2002-09-22

Hi! Ich hab ein Problem mit Bilinearformen. In einer Aufgabe ist eine Bilinearform durch eine symmetrische Matrix gegeben, d. h. als         F (x,y)= x(transp.) A y Man soll nun den Index und die Signatur von F angeben und eine Basis finden, so dass die Matrix von F bzgl. dieser Basis Diagonalgestalt mit Einträgen {+1, -1, 0} hat. Ist die Anzahl von 0en und 1en nicht gleich der Anzahl der pos. bzw. negat. Eigenwerte? Aber wie komme ich auf diese Basis? Und was ist der Index?


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-09-23

Hallo Eschmeier, Index = Anzahl der (mit Vielfachheit gezählten) positiven Eigenwerte einer darstellenden Matrix der Bilinearform Signatur = Differenz zwischen der Anzahl der positiven und der Anzahl der negativen Eigenwerte einer darstellenden Matrix der Bilinearform Die Basis, die du suchst bestimmst Du wie folgt: Berechne zunächst die Eigenwerte und die Eigenvektoren Deiner symmetrischen Matrix. Die zu den von Null verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren dividierst Du dann jeweils durch die Wurzel aus dem Betrag des zugehörenden Eigenwertes. Mach Dir klar, warum das dann auf eine Matrix der Gestalt führt, wie Du sie angibst. Melde Dich bei Problemen, ev. in dem Du die Matrix A mal mit Deinen Ergebnissen hierhinschreibst? Gruss


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  Beitrag No.2, eingetragen 2002-09-23

Du meinst also, ich sollte eine orthogonale Matrix T finden mit T(transp.) *A*T ist Diagonalgestalt, oder? Jetzt hab ich das mal versucht, aber das wird schon bei den Eigenwerten kritisch. Hier ist meine Matrix:                                           1   1   1   0             A:= ( 1   2   1   1 )                     1   1   1   1                     0   1   1   0 Als char. Pol. hab ich raus:  x^4 - 4x^3 + 3x - 1 Aber die Eigenwerte? Ich hab die Aufgabe jetzt mal folgendermaßen probiert: Ich hab einfach den Algorithmus zur symmetrischen Diagonalisierung durchgemacht, d.h. eine (nicht notwendig orthogonale) Matrix gesucht mit S(transp.) *A*S = D Diagonalgestalt. Dann hab ich einfach die Spalten von S zur Basis genommen und hatte ja dann D als Matrix bzgl. dieser Basis. Und bei D waren nur 1en und -1en auf der Diagonalen. Aber das war jetzt wahrscheinlich Zufall, oder? Oder kann ich, wenn ich andere Werte auf der Diagonalen habe, einfach durchdividieren?


 
Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-09-23

Hallo Eschmeier, Dein charakteristisches Polynom ist richtig, und Du hast natürlich recht, die Eigenwerte und Eigenvektoren Deiner Matrix sind ziemlich unhandlich, so daß eine Diagonalisierung mittels symmetrischem Gauß-Algorithmus, wie Du es offenbar getan hast, zum Ziel führt. Bei diesem Verfahren hängt die Normierung der Diagonalelemente vom zugrundeliegenden Grundkörper K ab. Ist K = IR, dann sind die Diagonalelemente immer 1, -1, 0. Gruss


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Anonymous
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  Beitrag No.4, eingetragen 2002-09-23

Die sind doch aber immer erst 1,-1 oder 0, nachdem ich durchdividiert habe, oder? Aber jetzt hab ich in einer weiteren, ähnlichen Aufgabe noch ein weiteres Problem zu lösen: Ich soll zuerst so eine Basis finden wie oben, aber das wär ja jetzt geklärt. Und dann soll ich noch eine orthogonale Zerlegung von IR^4 bzgl. der angegebenen Bilinearform finden, und zwar so: IR^4 = (IR^4,+) Å (IR^4,-) Å (IR^4,0), und gelten soll, dass meine Bil.form eingeschränkt auf (IR^4,+) ×  (IR^4,+) pos. definit sein soll, auf (IR^4,-) × (IR^4,-) neg. definit und auf (IR^4,0) × (IR^4,0) =0. Dann muss ich doch jetzt trotzdem die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume ausrechnen, oder?


 
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