Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Bestimmung von offenem Kern, Abschluss, Rand und isolierten Punkten
Autor
Universität/Hochschule J Bestimmung von offenem Kern, Abschluss, Rand und isolierten Punkten
Toasten47
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
  Themenstart: 2013-10-06

Hallo zusammen, ich möchte offenen Kern, Abschluss, Rand und die Menge der isolierten Punkte von $M:=\left\{ (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1^2+x_2^2\le 1\wedge x_2=0\Rightarrow x_1\le 0\right\} \cup\left\{ (2,0)\right\}$ (mit Begründung!) bestimmen. Ich habe die Menge gezeichnet. Es handelt sich um einen ausgefüllten Kreis mit Radius 1, von dem alle Punkte weggenommen wurden, die im positiven Teil der $x_1$-Achse auf derselbigen (also bei $x_2=0$) liegen. Zudem wurde der Punkt $(2,0)$ hinzugefügt. Zum offenen Kern: Nach Definition sind dies alle Punkte, zu denen ein $\epsilon >0$ existiert, sodass die offene Kugel mit Radius $\epsilon$ um den jeweiligen komplett in $M$ liegt. Meiner Ansicht nach müsste dies $M^\circ =\left\{ (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2: x_1^2+x_2^2<1\wedge x_2=0\Rightarrow x_1<0 \right\}$ sein; beweisen kann ich dies jedoch nicht. Den Abschluss sehe ich als $\overline{M}=\left\{ (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1^2+x_2^2\le 1\right\}\cup\left\{(2,0)\right\}$, den Rand als $\partial M=\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:x_1^2+x_2^2=1\wedge x_2=0\Rightarrow x_1>0\right\}\cup\left\{(2,0)\right\}$ und die Menge der isolierten Punkte als $\left\{(2,0)\right\}$ an; doch auch bei diesen drei Mengen fehlt mir das Mittel, dies auch beweisen zu können. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Liebe Grüße Toasten


   Profil
matter
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.10.2012
Mitteilungen: 432
  Beitrag No.1, eingetragen 2013-10-06

Hallo Toasten47 Du zählst (0,0) zum offenen Kern, das würd ich mir nochmals überlegen. Gruss matter


   Profil
Toasten47
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-06

\quoteon(2013-10-06 19:02 - matter in Beitrag No. 1) Hallo Toasten47 Du zählst (0,0) zum offenen Kern, das würd ich mir nochmals überlegen. Gruss matter \quoteoff Hallo matter, wahrscheinlich müsste es in der Bedingung $x_2=0\Rightarrow x_1<0$ heißen, oder?! Es stellt sich halt leider weiter die Frage nach dem Beweis. Mir ist die Definition des offenen Kerns durchaus bekannt: $M^\circ :=\left\{p\in M:\exists\epsilon >0:B_\epsilon (p)\subset M\right\}\subseteq M$ Doch wie "begründe" ich, dass mein $M^\circ$ diese Bedingung erfüllt? Liebe Grüße Toasten


   Profil
matter
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.10.2012
Mitteilungen: 432
  Beitrag No.3, eingetragen 2013-10-06

\quoteon(2013-10-06 19:48 - Toasten47 in Beitrag No. 2) wahrscheinlich müsste es in der Bedingung $x_2=0\Rightarrow x_1<0$ heißen, oder?! \quoteoff Ja genau, das bedeutet ja gerade, dass der Punkt (0,0) rausfällt. Ist dir klar warum dieser nicht zum Innern gehören kann? Um zu begründen, dass die gewählte Menge das Innere ist, kannst du dir überlegen, dass jeder Punkt einen horizontalen und vertikalen Abstand zum Rand hat. Gruss matter


   Profil
Toasten47
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-07

\quoteon(2013-10-06 21:47 - matter in Beitrag No. 3) Ist dir klar warum dieser nicht zum Innern gehören kann? \quoteoff Nun, mir ist es insofern klar, als dass Ungleichungen bei offenen Kernen selten (nie?) $\le$ bzw. $\ge$ sondern zumeist (immer?) $<$ bzw. $>$ lauten. Außerdem ist $(0,0)$ ein Randpunkt - wohl die korrekte/bessere Erklärung. \quoteon(2013-10-06 21:47 - matter in Beitrag No. 3) jeder Punkt einen horizontalen und vertikalen Abstand zum Rand hat.\quoteoff Wie genau meinst du das? Ich meine, je zwei Punkte haben doch immer einen Abstand zueinander - auch wenn dieser $0$ ist. Es gibt auch immer einen horizontalen und einen vertikalen Abstand. Liebe Grüße Toasten


   Profil
matter
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.10.2012
Mitteilungen: 432
  Beitrag No.5, eingetragen 2013-10-07

Ja (0,0) ist ein Randpunkt, weil er in jeder Umgebung einen Punkt ausserhalb der Menge hat. Mit "Abstand" meinte ich einen positiven Abstand, das war also schwammig formuliert von mir. Um die Offenheit zu zeigen, kann man zeigen, dass jeder Punkt eine Umgebung in der Menge hat. Ich würde mir das zunächst mal anschaulich überlegen. Nimm einen beliebigen aber fixen Punkt aus der Menge, gibt es eine solche Umgebung für diesen Punkt? Gruss matter


   Profil
Toasten47
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-07

\quoteon(2013-10-07 21:55 - matter in Beitrag No. 5) Mit "Abstand" meinte ich einen positiven Abstand \quoteoff Ja, damit ist es mir nun anschaulich klar. Zu jedem Punkt im offenen Kern kann ich einen weiteren Punkt im offenen Kern finden, sodass beide Punkte einen positiven Abstand haben. Oder besser gesagt: Für jeden Punkt im offenen Kern $M^\circ$, kann ich ein $\epsilon >0$ finden, sodass die offene Kugel (hier ist es ein Kreis) mit Radius $\epsilon$ komplett in $M^\circ$ liegt. Wäre der Rand teil des offenen Kerns, so würde genau das für einen Randpunkt nicht mehr funktionieren. Wie gesagt: Anschaulich habe ich das verstanden. Wie kann ich beweisen, dass mein Ergebnis stimmt? Liebe Grüße Toasten


   Profil
matter
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.10.2012
Mitteilungen: 432
  Beitrag No.7, eingetragen 2013-10-08

\quoteon(2013-10-07 23:21 - Toasten47 in Beitrag No. 6) Zu jedem Punkt im offenen Kern kann ich einen weiteren Punkt im offenen Kern finden, sodass beide Punkte einen positiven Abstand haben. \quoteoff Der Abstand zwischen den Punkten im offenen Kern tut hier nichts zur Sache. Für die Offenheit muss jeder Punkt eine Umgebung (z.B. ein offener Kreis) haben, welche in der Menge enthalten ist. Das hast du ja dann auch so angefügt. Um die Offenheit zu zeigen, kannst du zunächst zeigen, dass der Einheitskreis ohne Rand offen ist. Dann ist das Komplement (also $\mathbb{R}$ ohne den offenen Kreis) abgeschlossen, (Kannst du das mit der Definition begründen?) und vereint mit dem Intervall [0,1] ebenfalls abgeschlossen. Damit ist dann das Komplement, also die betrachtete Menge, als Komplement einer abgeschlossenen Menge offen. Um nun als erstes die Offenheit des Einheitskreises ohne Rand zu zeigen, kannst du dir die Menge skizzieren, einen beliebigen festen Punkt wählen, und schauen wie der Radius eines offenen Kreises ist, der wiederum ganz im Einheitskreis liegt. Die (maximale) Länge ergibt sich aus dem Radius des Einheitskreis (also 1), und der Distanz vom gewählten festen Punkt zur Mitte des Einheitskreises. Wenn du das gemacht hast, musst du zeigen, dass der gewählte offene Kreis um den festen Punkt auch im Einheitskreis ohne Rand liegt. Das kann dann mit Hilfe der Dreiecksungleichung geschehen. Gruss matter


   Profil
Toasten47
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-10-09

\quoteon(2013-10-08 03:16 - matter in Beitrag No. 7) Um die Offenheit zu zeigen, kannst du zunächst zeigen, dass der Einheitskreis ohne Rand offen ist \quoteoff Ich denke, dass wird nicht nötig sein. Es lässt sich ja allgemein zeigen, dass in jedem metrischen Raum die offenen Kugel offen sind (daher wohl auch der Name ;). Nun ist $x_1^2+x_2^2<1$ äquivalent zu der Forderung $\left\|x\right\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}<1$ und folglich sind alle $x\in\mathbb{R}^2$ für die dies gilt in $B_1(0)$, der offenen Kugel mit Radius $1$ um den Nullpunkt, enthalten. Die zweite Bedingung, $x_2=0\Rightarrow x_1<0$, erfüllen alle Punkte $(x_1,0)$ mit $x_1\in [-1,0)$. Ich würde daher sagen, dass wir den offenen Kern als $M^\circ=B_1(0)\setminus \left([0,1]\times\{0\}\right)$ schreiben können. Nun ist $B_1(0)$ offen und $\left([0,1]\times\{0\}\right)$ abgeschlossen. Da dementsprechend das Komplement von letzterem offen in $\mathbb{R}^2$ ist, ist $M^\circ$ als Schnitt endlich vieler offener Mengen offen. Doch das alles beweist nicht, dass es nicht noch (mindestens) einen inneren Punkt in $M$ geben könnte, den ich mit meiner Definition "nicht erwische". Liebe Grüße Toasten


   Profil
matter
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.10.2012
Mitteilungen: 432
  Beitrag No.9, eingetragen 2013-10-09

Du kannst zeigen, dass die restlichen Punkte alles Randpunkte sind. Gruss matter


   Profil
Toasten47 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Toasten47 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]