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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2013-12-03


Hallo.

Sei <math>S:=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac {1}{k!(1+k^2+k^4)}</math>

Finde einen einfachen Ausdruck für <math>S</math> und beweise diesen.

Lösungen wie immer per PN an mich.

Gruß endy



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Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Bitte poste Lösungen zu dieser Aufgabe nur dann im Forum, wenn der Themensteller das verbal in seinem Aufgabentext erwähnt hat. Sonst antworte ihm in einer privaten Nachricht. (Hinweis: Diese Knobelaufgabe wurde gestellt, bevor es die explizite Einstellung 'Antworten nur mit privater Nachricht' gab.)
endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-06


Gold geht an Amateur.

Herzlichen Glückwunsch!

Gruß endy



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-08


Silber hat sich Wauzi verdient.Ebenfalls herzlichen Glückwunsch!

Gruß endy



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-09


Eine Medaille habe ich noch zu vergeben. wink


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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-01


Ein Lösungsvorschlag:



Mit einem CAS kann man die Summe leicht berechnen:
mathematica
(*In*)
S = Sum[1/(1 + k^2 + k^4)*1/k!, {k, 0, Infinity}]
(* Out*)
E/2

Sei daher <math>\displaystyle T:=S-\frac e 2=\sum_{k=0}^\infty f(k)  </math>

wobei <math>f(k):=\dfrac 1 {(1 + k^2 + k^4)\cdot k!} - \dfrac 1 {2 \cdot k!}</math>.

Mit <math>g(k):=\dfrac {k^2} {2 (1 - k + k^2)\cdot k!}</math>  gilt :

<math>g(k+1)-g(k)=f(k)</math> und damit via Teleskoping

<math>T=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{g(n)}-g(0)=0-0=0</math>

, also folgt <math>S=\dfrac e 2</math>.









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Martin_Infinite
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Aus: Münster
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2015-05-02


Wie hättest du es ohne ein CAS herausgefunden?

Und wieso kann ein CAS das überhaupt ausrechnen?



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-03


2015-05-02 09:32 - Martin_Infinite in Beitrag No. 5 schreibt:
Wie hättest du es ohne ein CAS herausgefunden?
...

Man kann einfach Partialsummen berechnen und dann den Grenzwert erraten.Die Reihe konvergiert ja sehr schnell.
mathematica
(* In *)
Clear @ "Global`*"
partialS[n_] := Sum[1/(1 + k^2 + k^4) 1/k!, {k, 0, n}]
test1 = N[partialS[12], 15]
(* Out *)
1.35914091422952

Jetzt vermutet man <math> S=\dfrac e 2 </math>
mathematica
(* In *)
test2 = N[E/2, 15]
(* Out *)
1.35914091422952

Diese Rechnung kann man natürlich auch händisch durchführen.

Um sich sicherer mit dem vermuteten Grenzwert zu sein, kann man mit einer Programmiersprache seiner Wahl auch die ersten 100 Nachkommastellen überprüfen.Ohne ein CAS zu benutzen.

Eine weitere Lösung:



Die Lösung von Wauzi:

fed-Code einblenden



Gruß endy


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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 21:36


2015-05-02 09:32 - Martin_Infinite in Beitrag No. 5 schreibt:

...

Und wieso kann ein CAS das überhaupt ausrechnen?

Indem man dem CAS einen cleveren Algorithmus beibringt,schlicht und einfach eine Menge Algebra.

Siehe Klick mich.

Ich gehe davon aus das Gosper und telescopSum aus dem dortigen Thread kopiert und in ein mma Notebook eingefügt wurden.
mathematica
(* In *)
gosper[1/k!*1/(1 + k^2 + k^4), {k, 0, Infinity }]
 
(* Out *)
E/2
 

Siehe den PNAS Artikel von Gosper aus dem Jahr 1978.
mathematica
(* In *)
 
f[k_] := 1/k!*1/(1 + k^2 + k^4) - 1/(2*k!)
telescopSum[f[k], {k, 0, n}, Certificate -> True]
 
(* Out *)
 
(1 + n)^2/(2 (1 + n + n^2) (1 + n)!), k^2/(2 (1 - k + k^2) k!)}
 

und noch einmal
mathematica
(* In *)
 
f[k_] := 1/k!*1/(1 + k^2 + k^4) - 1/(2*k!)
g[k_] := Sum [f[k], k ] // Simplify
g[k]
test = DifferenceDelta[g [k], k] == f [k] // Simplify
 
(* Out *)
 
k^2/(2 (1 - k + k^2) k!)
True
 

endy





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