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| Autor |
 Annuitätendarlehen: Laufzeit |
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Gauner
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
 |  Themenstart: 2013-12-14
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Hallo,
ich mache mal für ein ähnlich gelagertes Problem trotzdem ein neuen Thread auf, weil es ja eine andere Fragestellung ist.
Ich möchte gern für ein
Annuitätendarlehen der Höhe $S_0$
mit festem gegebenem Zinssatz $i$,
fester Rate $r_M$
in $m=12$ Tranchen pro Jahr
und fester jährlicher Sondertilgung $r_A$
Zahl an Jahren $t$ bis zur vollständigen Ablösung ermitteln.
Die Verzinsung sei jährlich, die Verrechnung der Raten nachschüssig.
Ich habe diese Lösungsformel gefunden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A4tendarlehen#Bestimmung_der_Laufzeit
$n = -\frac{\ln(1 - \frac{i \cdot S_0}{R})}{\ln(1+i)}$
Damit komme ich ohne die Sondertilgung auch auf korrekte Ergebnisse, überprüft mit http://www.zinsen-berechnen.de/hypothekenrechner.php
Wie kann ich in diese Gleichung nun meine monatliche Tilgung und meine jährliche Sondertilgung korrekt einpflegen?
Ich bin zwar in Mathe einigermaßen fit, aber in Sachen Zinsrechnung habe ich von Tuten und Blasen keine Ahnung.
Vielen Dank schonmal!
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-12-15
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Du kannst eine Ersatzrate für das Jahr ausrechnen. Wenn du monatlich rM und am Ende des Jahres noch einmal rA zahlst, ist es so, als würdest du einfach einmal zum Ende des Jahres R = rA + 12*rM + z zahlen, wobei z die Zinsen sind, die du unter dem Jahr für die monatlichen Raten bekommst (bzw. die Zinsen sind, die du wegen den Raten weniger auf das Darlehen zahlen musst). Diese jährlichen "Ersatzrate" R kannst du dann in die Formel einsetzen.
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Gauner
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15
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Hallo,
vielen Dank für die Info.
So hatte ich mir das auch gedacht. Mein Problem ist nun gerade: Wie berechne ich diese Annuität R korrekterweise bei jährlicher Verzinsung aber unterjähriger Ratenzahlung?
Nach der Formel in https://de.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A4tendarlehen#Unterj.C3.A4hrige_Annuit.C3.A4tentilgung komme ich nicht auf die Ergebnisse, wie es mir die üblichen Annuitätenrechner im Web liefern.
Ich habe die jährliche Ersatzannuität R folgendermaßen berechnet:
$R=r_M(m+\frac i2(m-1))+r_A$
Die Ersatzannuität habe ich in die genannte Formel eingesetzt.
Das Ergebnis stimmt weder mit, noch ohne Sondertilgung $r_A$ mit den Kontrollrechnern überein.
Was mache ich falsch?
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Gauner
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15
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Noch eine Beobachtung: Im Kontrollrechner macht es einen Unterschied, ob ich jährliche Zinszahlung und keine Sondertilgung mache oder ob ich keine Ratenzahlung und jährliche Sondertilgung (gleicher Höhe) eintrage.
Kann man daraus nicht folgern, dass hier nicht mit einer Ersatzannuität gerechnet wird? Die wäre ja in beiden Fällen gleich, oder?
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
| Beitrag No.4, eingetragen 2013-12-15
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Um wie viel liegt das Ergebnis denn daneben? Du rechnest mit linearer unterjähriger Verzinsung, vielleicht rechnet der Kontrollrechner mit exponentieller unterjähriger Verzinsung.
Deinen letzten Beitrag verstehe ich nicht.
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Gauner
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15
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Also, die online-Rechner rechnen zumindest, was die monatlichen Raten angeht, mit linearer Verzinsung. Denn bei meiner Restschuldberechnung, die ich mit linearer Verzinsung gemacht habe kommt (ohne jährliche Sondertilgung) auf den Cent dasselbe raus.
Zum zweiten Beitrag nochmal:
Ich kann in dem online-Rechner entweder sgaen, ich mache jährliche Rate bspw. 3000 EUR und keine Sondertilgung, oder ich mache Rate = 0 EUR und jährliche Sondertilgung 3000 EUR.
M.M. müsste ja in beiden Faällen das gleiche Ergebnis bzgl. Laufzeit oder Restschuld entstehen. Liege ich da richtig?
Tut es jedenfalls nicht.
Viele Grüße!
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Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
| Beitrag No.6, eingetragen 2013-12-15
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Kann ich nicht nachvollziehen. Bei dem Rechner, den du im Themenstart verlinkt hast kommt bei mir da genau das Gleiche heraus. Übrigens tut der unterjährig scheinbar gar nicht verzinsen.
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Gauner
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-16
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Also, ich denke, über den Ansatz einer Ersatzannuität komme ich höchstens in die Nähe, aber nicht so ganz auf das richtige Ergebnis.
Ich habe es jetzt anhand meiner funktionierenden Lösung für die Restschuld numerisch gelöst. (Setze n so, dass Restschuld 0 ist.)
Vielleicht kann ja hier nochmal jemand gucken, wie ich meine Laufzeit analytisch berechne, also die Gleichung dort nach n umstelle?
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Bozzo
Senior
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
| Beitrag No.8, eingetragen 2013-12-17
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Mit der Ersatzannuität kommst du nur zu den Jahreswechseln auf ein exakt richtiges Ergebnis. Der übliche Weg wäre es, mit der Ersatzannuität das Jahr zu bestimmen, in dem das Darlehen getilgt wird, dann die Restschult zu Beginn des Jahres berechnen und schließlich mit den monatlichen Raten zu berechnen, in welchem Monat in dem Jahr das Darlehen bezahlt ist und wie hoch die letzte Rate ist.
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Gauner
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.03.2008
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-17
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Hmm, vielleicht hätte ich doch nicht 2 Threads aufmachen sollen...
Also, aus der dortigen Lösung, die ja für die Restschuld centgenau funktioniert hat, konnte ich doch tatsächlich durch einfaches Umstellen Folgendes ermitteln:
$n\cdot m=\log_{q_p} \left( \frac{S_t-\frac{r_M}{q_p-1}-\frac{r_A}{q_p^{m}-1}} {S_o-\frac {r_M}{q_p-1} -\frac{r_A}{q_p^{m}-1}}\right)$
mit
$q_p=1+i/m$
Durch Nullsetzen der Restschuld $S_t$ erhält man dann die Restlaufzeit.
Danach noch nach Bozzos Vorschlag korrigieren: Restschuld nach vollen Jahren berechnen, dann Restschuld nach vollen Monaten im letzten Jahr (mit $r_A=0$) berechnen, letztere noch verzinsen und alles summieren.
Das liefert mir centgenau die Gesamtsummen des Kontrollrechners. Die Laufzeit wird aus den vollen Monaten+1 berechnet, der letzte Monat zählt also voll.
Da ich das ganze als Calc-Sheet lange gesucht und nie gefunden habe, hier meine fertige Vorlage für LibreOffice. NUR zur privaten Verwendung!
(Was man oft findet, dass eine ganze Tilgungsmatrix aufgezogen und "von Hand" summiert wird. Da ich aber verschiedene Kreditvarianten nebeneinander vergleichen wollte, war dieser Weg ungeeignet.)
Danke sehr für die Hilfe!
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alex23
Neu
Dabei seit: 01.02.2017
Mitteilungen: 1
|  Beitrag No.10, eingetragen 2017-02-01
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Hallo Gauner,
der Beitrag ist zwar schon etwas älter, aber ich würde mich trotzdem über das Calc-Sheet freuen, wenn Du es nochmal online stellen könntest :-)
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