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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe und stetige Funktion
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Universität/Hochschule J holomorphe und stetige Funktion
marasy8
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  Themenstart: 2013-12-14

Hallo Leute, ich brauch mal eure Hilfe: Zeigen Sie: Ist f:D->\IC holomorph auf dem Gebiet D \subset\ \IC und gilt A Im f(z)+B Re f(z) + C == 0 in D mit reellen Konstanten A,B,C, abs(A)+abs(B)+abs(C) != 0, so ist f konstant in D. Ich weiß jetzt nicht genau wo ich ansetzen muss. Überall im Internet wird, wenn es darum geht, entweder der Realteil oder der Imaginärteil von f(z)=0 gesetzt. wodurch sich dass dann ja relativ leicht zeigen lässt, dass f konstant ist. Ich hab daher überlegt, ob es eine Lösung gibt, wodurch einer der beiden Teile null wird, aber mir fällt nichts ein. Auch ist mir nicht klar, warum f konstant sein muss. ich könnte meinen Imaginärteil ja irgendwie so basteln, dass er irgendwie von meinem Realteil abhängt und sich irgendwie so verändert, dass die Gleichung oben wieder gilt. Hat jemand von euch eine Idee ?


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fryasdf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2013-12-14

Hi. Benutze den Satz von der Gebietstreue (d.h. f(D) ist wieder ein Gebiet, also insbesondere offen in C!!). Diese Gleichung sagt aber, dass das Bild von f ein (affiner) eindimensionalen UVR sein muss... mfg fryasdf


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marasy8
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-14

Hallo, den Satz hatten wir leider bisher nicht. Das einzige was wir so hatten war: harmonisch, holomorph, wann etwas differenzierbar ist und die Cauchy-Riemann DGLs


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Feanoris
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  Beitrag No.3, eingetragen 2013-12-14

$ \Re (f(z)) \ \Im (f(z)) $ sind ja beides Funktionen zweier Variablen. Benutze dann doch einfach mal die Cauchy-Riemann DGL's und du solltest damit zeigen können, dass $ f(z) $ konstant ist.


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marasy8
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-14

hey, danke für die antwort. doch wie wende ich das an ? ich weiß ja nur, dass mein f(z)=x+i*y ist (oder so ähnlich) damit hab ich ja pdiff(u,x) = 1 pdiff(u,y) = 0 pdiff(v,x) = 0 pdiff(v,y) = 1 was wäre ich damit jetzt so sehr gebessert ? .... wobei... ich habe gerade die idee, dass ich dadurch x=y zeige, aber ich krieg es gerade nicht ganz auf die Reihe.


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marasy8
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15

hm... wenn ich das weiterführe erhalte ich ja pdiff(u,x) = 1 = pdiff(v,y) => v = int(pdiff(v,y),x)= x Also v=x=u Damit müsste ich ja praktisch stehen haben, dass Realteil und Imaginärteil gleich sind. Falls das stimmt wäre meine logische Folgerung, dass v=u=0 ist und auch C=0 ist. Damit wären A und B beliebig (außer beide null damit die ungleichung unten gilt) und mein f(z)= 0 also konstant. Aber irgendwie kommt mir das seltsam vor. Wo ist der Fehler ?


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2013-12-15

Hi marasy8, um das Ganze auf bekannte Fälle zurückzuführen, könntest du die Funktion (A - i·B) · f(z) betrachten. Nach Voraussetzung ist der Realteil dieser Funktion konstant, und zwar gleich -C. Weil diese Funktion ebenfalls holomorph ist, kannst du die Cauchy-Riemannschen DGLen auf sie anwenden. Damit kommst du viel schneller zum Ziel, als wenn du dasselbe mit der Funktion f selbst machst. Dein Ansatz im Beitrag #4 ist nicht richtig. Die Funktion f(z) wird normalerweise als u+i·v geschrieben, wobei u der Realteil und v der Imaginärteil ist. Natürlich darfst du nicht annehmen, dass u=x und v=y ist, und somit sind deine weiteren Überlegungen nutzlos. Gruß Buri


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marasy8
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15

Hallo Buri, ich kann dir leider nicht ganz folgen. ICh seh einfach nicht woher du das (A - iB)*f(z) (A und B sind ja hier irgendwelche Konstanten) hast bzw. woher ich genau weiß, dass der Realteil der Funktion konstant ist. Du scheinst ja das C einfach auf die andere Seite gebracht zu haben...


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marasy8
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-15

Aha, hab eben erst gesehen, dass du deinen Beitrag editiert hattest. Schade, dass mein Ansatz nicht funktioniert. Kannst du deinen näher erklären, da ich wie bereits gesagt nicht mal weiß woher du deine Formel nimmst. Bisher hatten wir halt nur 2 Vorlesungen zu dem thema...


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Buri
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  Beitrag No.9, eingetragen 2013-12-16

\quoteon(2013-12-15 12:47 - marasy8 in Beitrag No. 8) Bisher hatten wir halt nur 2 Vorlesungen zu dem thema... \quoteoff Hi marasy8, du brauchst nur einfachste Eigenschaften komplexer Zahlen. Jede komplexe Zahl kann in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, also kannst du f(z) = Re(f(z)) + i · Im(f(z)) schreiben. Dann kannst du das in (A - i · B) · f(z) einsetzen und ausmultiplizieren. Schließlich kannst du den Realteil davon bilden und dich davon überzeugen, dass das unter der gegebenen Voraussetzung -C ergibt. Gruß Buri


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marasy8
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-17

Okay, vielen Dank :D


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