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Analysis » Funktionentheorie » Residuensatz für nicht-diskrete Teilmengen
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Universität/Hochschule Residuensatz für nicht-diskrete Teilmengen
traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-03-27


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-03-27


Hallo,

ich könnte mir vorstellen, dass man das für diskrete Teilemengen mit Häufungspunkten noch hinbekommt.

Aber weißt du eine Beispiel für eine holomorphe Funktion mit kontinuierlicher Singularitätenmenge?

Äquivalent zum Satz von Gauß/Green/Stokes ist der Residuendatz ohnehin, da man ihn damit beweist (über die Cauchy-Formel) - und mit ein bischen Trickelei sollte man auch damit zurückkommen.

Wally



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-03-27


Kann man denn zeigen, dass eine holomorphe Funktion keine kontinuierliche Singularitätenmenge haben kann?

Das Integral welches ich hingeschrieben habe kann mit der üblichen Definition des Residuums so sicher nicht stimmen, schliesslich haben isolierte Punkte Mass 0. Man müsste wohl eine Residuendichte über Distributionen definieren und für isolierte Punkte die Deltadistribution bemühen.



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-03-27


Hi.

Nein, holomorphe Funktionen können auch kontinuierliche Singularitätenmengen haben. Man nehme eine Funktion, die auf <math>\abs{z}>1</math> definiert ist und eine, die auf <math>\abs{z}<1</math> definiert ist, die aber am Rand nicht zusammenpassen und voilà man hat eine Funktion, deren Singularitätenmenge der Einheitskreis ist.

mfg Gockel.


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von Gockel]


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"Der Vatikan hat ja bekanntlich zwei Mikropäpste pro Quadratmeter"



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-03-27


Ich glaube dein Beispiel zeigt, dass man da sehr vorsichtig sein muss, Gockel.

Dann kann man ja Singularitäten gar nicht mehr in den Griff bekommen. Wenn die Funktion innen 1 und außen 0 ist, kann man mit einem Integral eigentlich gar nichts mehr ausrechnen, egal wo man integiert.


traveller, möglicherweise hat das einen Zusammenhang mit der Spektraltheorie selbstadjungierter, aber nicht notwendig kompakter (oder sogar unbeschränkter) Operatoren im Hilbertraum.

Da integiert man  die Resolvente (E-\lambda I)^(-1) auch um das auf der reellen Achse konzentrierte Spektrum.

Ein Stichwort hier ist "Formel von Titchmarch-Kodaira". Auf die Schnelle gibt Goggle aber nicht das, was ich dazu im Kopf habe....

Wally



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2014-03-27


2014-03-27 17:47 - traveller in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann man denn zeigen, dass eine holomorphe Funktion keine kontinuierliche Singularitätenmenge haben kann?
Hi traveller,
nein, denn zum Beispiel hat die elliptische Modulfunktion λ(τ), gegeben durch
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die unter anderem die bemerkenswerten Identitäten
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die reelle Achse als natürliche Grenze.

Als einfachste Beispiele von Funktionen, die den Einheitskreis als natürliche Grenze haben, sind die Funktionen
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Es ist sehr schwierig, die bekannte Klassifizierung isolierter Singularitäten (hebbar, Pol, wesentlich) auf Singularitäten zu übertragen, die nicht isoliert sind.

Zum Beispiel gibt es durchaus vernünftige Funktionen, die eine Häufungsstelle von Polen haben. Solche Singularitäten werden manchmal auch als wesentliche Singularitäten bezeichnet, aber das ist nicht gerechtfertigt, weil es keine isolierten Singularitäten sind, und weil  es nicht offensichtlich ist, wie man solche allgemeineren Singularitäten überhaupt klassifizieren kann.

Denn mit dem Fall einer natürlicher Grenze, die in einigen Büchern erwähnt wird, und mit Verzweigungspunkten endlicher (bei Wurzelfunktionen und bei algebraischen Funktionen überhaupt) und unendlicher Ordnung (wie beim Logarithmus) sind bei weitem nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, denn zum Beispiel fehlen in dieser Aufzählung die Häufungsstellen von Polen, und ich kenne kein Buch, wo dieses Problem systematisch behandelt wird.

Wenn es doch eins gibt, freue ich mich, wenn jemand darüber eine Mitteilung macht.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-03-27


Randbemerkung: Im höherdimensionalen verhalten sich holomorphe Funktionen völlig anders als im (komplex) eindimensionalen. Jede diskrete Menge von Singularitäten einer holomorphen Funktion in mehr als einer komplexen Variable ist hebbar! In der Tat ist jede kompakte Singularitätenmenge hebbar (Hartogs Lemma)!

Eine allzu direkte Zurückführung auf den Satz von Stokes ist daher wahrscheinlich nicht so unmittelbar möglich, denn der Satz von Stokes hat eine analoge Unterscheidung zwischen kleinen und großen Dimensionen nicht.

mfg Gockel.



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