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Ingenieurwesen » Wärmelehre und Fluidmechanik » Losschießen eines Gegenstandes in einer Gas-Pipeline
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Beruf J Losschießen eines Gegenstandes in einer Gas-Pipeline
Dickies
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  Themenstart: 2014-04-01

Hallo zusammen, wie jeder Neuling auch von mir der übliche Satz.:-) Ich weiß gar nicht, ob ich hier richtig bin und ob ich mein Problem in den richtigen Unterordner reingestellt hab. Aber ich denke, es scheint schon nicht ganz verkehrt zu sein.;-) Okay, nun mal zu meinem Problem. Ein ganz alltägliches Szenario: Ein Gegenstand wird zusammen mit einem Medium durch eine Gas-Pipeline gepumpt. Dabei "dichtet" der Gegenstand die Pipeline so ab, dass er ausschließlich durch Fluss des Gases mitbewegt wird (also er hat keinen Eigenantrieb). Jetzt bleibt der Gegenstand plötzlich nach einigen Kilometern stecken und bewegt sich erstmal auch nicht. D.h. hinter dem Gegenstand baut sich ein immer größerer Druck auf. Irgendwann ist dieser Druck aber groß genug, um das Steckenbleiben zu überwinden. In diesem Moment "schießt" der Gegenstand los. Durch Reibung und durch quasi "Luftwiderstand" (also hier durch das Gas, also "Gaswiderstand") wird er wieder langsamer und fährt irgendwann mit der normalen Geschwindigkeit (die vom Flow des Gases "vorgegeben" ist) weiter. Jetzt sind 2 Sachen von Bedeutung: Ich würde gern die maximal Geschwindigkeit berechnen (Geschwindigkeitsspitze) und die Strecke, die der Gegenstand sich oberhalb einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt. Ist es hier sinnvoll einen Bewegungsgleichung aufzustellen? Oder bin ich hiermit völlig auf dem falschen Dampfer? Meine Idee sind mittlerweile echt erschöpft hier. Irgendwie finde ich die richtige Bewegungsgleichung auch nicht... Kann mir da jemand helfen? Achso, Druck vor und nach dem Gegenstand sind zu dem Zeitpunkt des Losschießens bekannt, genau wie die Volumina der Gase und das Gewicht des Gegenstandes. Wenn ich das richtig sehe, so ist die Druckdifferenz vor und hinter dem Gegenstand nicht ganz unbedeutend... Wenn mir jemand hier helfen könnte, wäre ich so so dankbar... Viele Grüße.


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trunx
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-04-01

hi und herzlich willkommen auf dem mp, was hast du denn selbst bislang gerechnet? ich könnte mir vorstellen, dass man zunächst einen zylinder/torus (mit endlichem volumen) annimmt, bei dem an einer stelle eine pumpe ist, die aus dem einen teil absaugt und in den anderen bläst und dadurch den fluss erzeugt. der stecken gebliebene gegenstand verursacht dann eine druckdifferenz, vor ihm niedriger hinter ihm höher. druck und querschnittsfläche bestimmen eine kraft, mit der masse des gegenstands hast du eine beschleunigung. durch die bewegung kommt es zum druckausgleich, die kraft sinkt und damit die beschleunigung. wenn diese null ist, ist v maximal, dann kehrt sich das ganze um, weil der gegenstand die vor ihm liegende luft oder das gas komprimiert. reibungsfrei formuliert sollte eine welle entstehen.


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Dickies
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-01

Erstmal danke schon mal für die Antwort. Jo, so in etwa habe ich das auch gedacht, aber irgendwie komme ich da nicht so recht voran. Da ja die Pipeline vor und nach dem Steckenbleiben sehr lang ist, sollte man die Komprimierung nach dem Losschießen vernachlässigen können... Ich habe dann versucht mal die Newtonsche Bewegungsgleichung aufzustellen. Wenn man das mal macht, dann erhält man sowas wie m*(d²x/dt²)= F (drücken hinter dem Gegenstand) - F (gegendrück vor dem Gegenstand) - F (Reibung) - F (Gaswiderstand nach dem Losschießen) - F (Trägheit beim Losschießen) Erstmal Einwände? Nur leider fehlen mir hier noch solche Dinge wie die Kraft, die das Gas vor dem Gegenstand aufwendet, also die Formel hierfür...


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holsteiner
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-04-02

Hallo Dickies, im Moment habe ich gerade wieder etwas Zeit für den MP, daher hab ich mir Deine Frage genauer angeschaut. Was Dir fehlt ist ein Modell für das Verhalten des Gases. Um die maximale Geschwindigkeit des Körpers zu berechnen muß man wissen, wie sich der Druck in der Pipeline in Abhängigkeit vom Ort des Körpers und der Zeit verhält. Die Aufgabe kann man verschieden lösen, je nach dem welche Effekte mit berücksichtigt werden sollen. So kann man beispielsweise die Strömungsverhältnisse im Gas berücksichtigen oder eben nicht. Ebenso kann man für die Reibung oder die Dichtigkeit verschieden komplexe Modelle finden. Wenn der Körper fest ist, kann sich der Druck beliebig aufbauen oder er kann es neben nur bis zu einer Grenze. Ich gebe jetzt ein paar Denkanstöße, bestehend aus einer einfachen Aufgabe, aus Fragen und einigen speziellen Szenarien. Hier ist die Aufgabe, die einen einfacheren Fall als den der Pipeline beschreibt. "Wir nehmen einen gasgefüllten geschlossener Zylinder mit einem Kolben in der Mitte. Wie schwingt der Kolben im Idealfall hin und her, wenn man das (ideale) Gas als Feder betrachtet?" Das Gas im Zylinder rechts hat den Druck $p_R$, links den Druck $p_L$ Die Bewegungsgleichung ist: $ m \cdot d^2x /dt^2 = A \cdot (p_L - p_R ) $ A ist die Fläche, L die Länge des Zylinders, x der Ort des Kolbens, m die Masse. Wir nehmen als Modell für das Gas die Gasgleichung (eben dieses Modell fehlt Dir) ;-) $p \cdot V = const$ V ist das ganze Volumen des Zylinders. $p_0$ ist der Druck, wenn der Kolben in der Mitte ist. Die Gleichung für links: $ c = p_0 \cdot V/2 = p_L \cdot V_L = P_L \cdot A \cdot (L/2+x/2) $ Die Gleichung für rechts: $ c = p_0 \cdot V/2 = p_R \cdot V_R = P_R \cdot A \cdot (L/2-x/2) $ Und insgesamt: $ m * d^2x /dt^2 = \frac{c}{ A \cdot (L/2+x/2)} - \frac{c}{ A \cdot (L/2-x/2)} $ also kommt eine ziemlich nichtlineare Gleichung raus. Man beachte, das die rücktreibende Kraft negativ sein muß. Man sieht auch, wie wichtig die Länge des Zylinders hier ist. Ob so ein Zylinder in der Praxis irgendwie funktioniert, weiß ich nicht, ich hab sowas noch nicht gesehen, aber plausibel im Sinne der Theorie ist es. Hier sind die sich daraus ergebenden Fragen: 1. Wie sieht der zeitliche Druckanstieg in einer verschlossenen Pipeline aus? 2. In welchem Maße fällt der Druck ab, wenn der Körper bewegt wird? 3. Wie groß ist das Volumen der Pipeline im Vergleich zur Volumenänderung, die durch die Bewegung des Körpers erzeugt wird? 4. Kann man die Gasgleichung p V = const anwenden oder ist sie als Modell zu einfach? 5. Bleibt der Volumenstrom am Eingang und Ausgang der Pipeline konstant, wenn sich der Druck ändert? Wie arbeiten die Pumpen? Beispiele: Bei hoher Reibung ist die Druckdifferenz * Querschnittsfläche vor und hinter dem Körper genau so groß wie die Reibungskraft. Verringert sich der Volumenstrom am Eintritt bei einem Druckanstieg, so kann es sein, dass kein Gas mehr in die Pipeline gepumpt wird obwohl der Körper noch nicht freikommt. Bei einer sehr langen Pipeline dauert der Aufbau des Drucks sehr lange, aber der Druck baut sich auch langsam wieder ab. Der Körper wird richtig schnell :-) Bleibt der Volumenstrom am Eintritt und Auslass konstant, können wir dem Gas eine feste Geschwindigkeit zuordnen. Bewegt sich der Körper mit, kann daraus die Volumenänderung pro Zeiteinheit abgelesen werden. Was mit noch einfällt: Es geht auch mit dem Energiesatz! Die Pumpen am Eingang arbeiten gegen den Druck, der sich vor dem verklemmten Körper aufbaut. Genau diese Energie ist es, die beim Freikommen in Bewegungsenergie umgesetzt wird. Somit kann alles auch ganz einfach lösen. 8-) $ 1/2 ~m ~v^2 = \Delta p \cdot Q \cdot t_s $ $\Delta p $ ist die mittlere Druckdifferenz am Kolben während der Verstopfung, Q der Volumenstrom und $t_s$ Die Zeit, in der der Kolben festkommt. v und m sind Geschwindigkeit und Masse des Kolbens. Die Formel ist nur eine Abschätzung, da der Druck variiert. Den Druck bekommt man wieder über die Gasgleichung. Hmm, wenn man nachdenkt, spart man Schreibarbeit. Viele Grüße holsteiner @edit: Die Formel für den Energiesatz habe ich korrigiert. Es war ein A zuviel drin.


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Dickies
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-03

Hi Holsteiner. Zunächst einmal vielen Dank für deine sehr schöne und hilfreiche Antwort. Echt supi. :-) Okay, also da es sich um ein reales Problem handelt, ist es immer gut, wenn man so viel wie möglich berücksichtigt. Aber ein guter Anfang wäre sicherlich der Energiesatz. Und da sehe ich es genauso wie du. Die erzeugte Energie wird in Bewegungsenergie umgewandelt. Allerdings passt irgendwie die Dimension in deiner Formel nicht. Auf der linken Seite erhielte man einen Wert in Joule, während man auf der rechten Seite eine Einheit (kg*m^4)/s^2 erhalten würde. Also da müsste man nochmal eben nachsehen. Also ich habe mal den Ansatz mit der Newton'schen Bewegungsgleichung versucht. Dabei habe ich mir die Strecke l im Rohr festgelegt, nach der der Druck nach dem Losschießen abgebaut sein soll. Anhand dieser Strecke habe ich versucht den Druckverlust zu beschreiben. Meinen Nullpunkt der Bewegung habe ich dabei so gesetzt, dass er genau zum Start des Losschießens liegt. Demnach würde der Druck nach folgender Gesetzmäßigkeit abnehmen (umgekehrt proportional zur Strecke, auch wenn das nicht so ganz der Realität entspricht, aber es sollte für einen erste Näherung zunächst reichen) \Delta p(x)= \Delta p0 *((l-x)/l) , wobei Delta p0 die Anfangsdifferenz der Drücke ist. Mit dieser Druckdifferenz habe ich dann die Bewegungsgleichung versucht aufzustellen. m*x'' = \Delta p(x) * A = \Delta p0 * (l-x)/l *A Und diese DGL habe ich nun versucht zu lösen. Allerdings ist mir das noch nicht so recht gelungen, weil es ja eine inhomogene DGL ist mit konstanter Störfunktion... Aber vllt sollte ich da deine Gleichung nochmal ausprobieren. :-) Zu deinen Fragen: 1. Wir nehmen mal an, dass die Vorgeschichte zum Aufbau des Drucks einfach ignoriert werden kann. Der Druck ist einfach von Anfang an da. Nach hinten ist die Pipeline offen, so dass es zu keiner "Schwingung" kommt. 2. nun ja, das weiß ich leider auch nicht so genau. Ich habe jetzt einen linearen verlauf in Abhängigkeit vom Weg angenommen, was sicherlich nicht richtig ist. Allerdings weiß ich im Moment keine bessere Abhängigkeit (vermutlich wird das so e^-x mäßig sein). 3. Die Volumenänderung ist im Vergleich zum Volumen der Pipeline sicher sehr klein und kann somit vernachlässigt werden. 4. p V = const sollte man auch anwenden dürfen 5. Volumenstrom im Anschluss ist konstant. Allerdings vernachlässigbar. ;-) Vllt kannst du mir ja nochmal auf die Sprünge helfen. :-) Viele Grüße.


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holsteiner
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  Beitrag No.5, eingetragen 2014-04-03

Hallo Dickies, Vielen Dank, das A war zuviel. Ich habs korrigert. Dein Ansatz ist insoweit ok, Du nimmst ein einfaches lineares Modell für den Druckabbau an. Das ist in der ersten Näherung möglich. Die Strecke l im Rohr, nach der sich der Druck abgebaut hat, bekommst Du aus der Gasgleichung. Wenn die Pipeline lang ist, ist diese Strecke ebenfalls sehr lang. In jedem Fall brauchst Du, um das auszurechnen, die Länge vom Anfang der Pipeline bis zum Körper. Im Prinzip machst Du aber auch nichts falsch, wenn Du immer mit dem maximalen Druck rechnest. Das würde für lange Pipelines ein durchaus realistisches Szenario sein. Dann würde die Geschwindigkeit davon abhängen, wie lang der Weg bis zum Ende der Pipeline ist. Ich sehe sowiso nicht, wie der Körper wieder langsamer wird. Die Reibung reicht da sicher nicht. Viele Grüße holsteiner


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trunx
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  Beitrag No.6, eingetragen 2014-04-03

hi, so, ich gebe auch noch mal meinen senf dazu: bildlich stelle man sich vor, dass wir ein Rohr der Länge l haben, der Kolben\/Gegenstand in der pipeline befinde sich an der stelle x \(Zahlenstrahl\). Der linke Bereich sei 1, der rechte 2, wir haben also zunächst einmal für den Startmoment m*a = \D p *A = (p_1 -p_2 )*A wobei A natürlich der Querschnitt, m die Masse und a die Beschleunigung des Körpers im Rohr ist. Mit der Gasgleichung p*V= NkT und a=x^** bekommt man x^** = kT/m *(N_1 /x -(N-N_1 )/(l-x)) Diese Gleichung beschreibt allerdings die Situation nicht korrekt. Tatsächlich wird ja der Gegenstand durch die pipeline gepumpt. Entsprechend muss dies berücksichtigt werden. Dazu wird angenommen, dass es einen \(konstanten\) Teilchenfluss \phi von 2 nach 1 gibt. Dieser, aber auch die Bewegung des Körpers im Rohr ändert den Druck, damit aber auch die Beschleunigung, wir erhalten: a+da = kT/m ((N_1 +\phi dt)/(x+dx) -(N-N_1 -\phi dt)/(l-x-dx)) was zu x^*** *x^2 (l-x)^2 =kT/m *(\phi lx(l-x) -x^* (N_1 (l^2 -2xl) +Nx^2 )) führt. Wichtig wäre hier \(da ja das Geschwindigkeitsmaximum gesucht ist\), einen Ausdruck für x^** =0 zu finden, was mir allerdings noch nicht gelungen ist. Gebremst wird der Körper im übrigen einfach durch den Gegendruck in 2. bye trunx


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holsteiner
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  Beitrag No.7, eingetragen 2014-04-04

Hallo trunx, prima, genau so hab ich mir das vorgestellt. Mir ist allerdings noch nicht klar, wie die Verhältnisse am Ausgang der Pipeline sind. So wie ich das verstanden habe, gibt es da keinen Gegendruck. Im anderen Fall, wenn einen Kompression erfolgt, wäre hingegen das Beispiel aus meiner Aufgabe doch korrekt. Das müßte Dickies noch mal beantworten. Ein anderes, komplizierteres Modell würde eine durch die Aerodynamik hervorgerufene Druckdifferenz zwischen Eingang und Ausgang der Pipeline mit berücksichtigen. Dann könnte der Druck am Ende auch null sein (was in der Praxis sicher unrealistisch ist). Überhaupt wäre es interessant, rauszufinden, wie das Ganze aussieht, wenn man die Strömung mit berücksichtigt, allerdings ist das kompliziert. Die Frage ist, wie genau das Modell wirklich sein muß. Viele Grüße holsteiner


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Dickies
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-04

Hallo trunx, hallo Holsteiner, zunächst mal vielen dank für die Hilfestellung. Also bzgl des Gegendrucks in Abschnitt 2, also hinter dem Gegenstand. Hinter dem Gegenstand herrscht natürlich auch ein Druck, denn der Gegenstand soll ja durch die Pipeline gepumpt werden. Und zu der Reibung. Also ich denke schon, dass diese einen Einfluss haben wird nach dem Losschießen. Also der Gegenstand soll knappe 1000 kg wiegen. Also könnte man auch noch die Massenträgheit mit reinbasteln (also zum Start der Bewegung)... @trunx: bei deiner Bewegungsgleichung verstehe ich noch nicht ganz, wie du von dem Ausdruck mit "a + da = ..." zur nächsten Zeile kommst. Ansonsten sieht die DGL schon gar nicht schlecht aus. Allerdings ist aufgrund der Länge der Pipeline (>50 km) die Teilchenzahl N natürlich extrem hoch und vllt nicht ganz so leicht zu händeln somit. Was meint ihr, könnte man nicht auch den Druck die ganze Zeit verwenden? Der hängt ja in diesem Fall linear vom Weg ab. Also das Volumen hängt ja linear vom Weg ab. Und da ja gelten soll p * V = const, ist der Druck ja proportional zu 1/Weg, oder? Also insgesamt ist es ja so, dass der Körper so lange beschleunigt wird, bis die Druckdifferenz quasi aufgezehrt wurde und ein Druckgleichgewicht vor und nach dem Gegenstand herrscht. D.h. in einfachster Näherung müsste man auch den Teilchenstrom zunächst vernachlässigen können. :-) Oder was meint ihr? Vielen Dank schon mal für die spannende Diskussion. :-) Viele Grüße


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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-04-04

ich bin immer noch überzeugt, dass eine Zusammensetzung der Bewegung letztlich zielführend ist. Sprich man hat eine konstante Driftbewegung durch das Pumpen, eine Schwingung durch das einmalige Überwinden des Steckenbleibens und am Ende die Reibung, die wieder zur Driftbewegung führt. Die Driftbewegung läßt sich einfach beschreiben: man setzt (N_1 +\phi dt)kT/(V_1 +Adx) = (N_1 kT)/V_1 was zu v=\phi *l/N führt. wenn man nun statt \phi \(Pumpleistung in Teilchen pro Sekunde\) \phi ' \(Pumpleistung in Liter pro Sekunde\) setzt, erhält man v=(\phi ')/A etwas ähnlich einfaches schwebt mir für die Schwingung vor. bye trunx ps: da/dt=x^***


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trunx
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  Beitrag No.10, eingetragen 2014-04-04

für eine Feder, an der die Masse m schwingt, gilt ja x^** +\omega ^2 x=0 mit \omega ^2=k/m hier wäre also heraus zu finden, wie die "Federkonstante" einer Gassäule ist. Die Lösung wäre \(vereinfacht\) x=x_o cos\omega t wobei x_o die max. Auslenkung bzw. Amplitude ist. Geschwindigkeit wäre v=-x_o \omega sin\omega t, also max. Geschwindigkeit v_max =x_o \omega Die Amplitude für unser Problem lässt sich leicht ermitteln aus N_1 /(V_1 +Ax_o )=(N-N_1 )/(V-V_1 -Ax_o ) zu x_o =x*(p_1 /p -1), wobei x wieder der Punkt ist, wo der Gegenstand stecken geblieben war. Die max. Geschwindigkeit ist also für uns v_max =x*(p_1 /p -1)\omega +(\phi ')/A wobei uns jetzt eig nur noch das k in \omega fehlt... vllt findet sich ja hier etwas dazu. bye trunx ps: was für mich jetzt noch iwie unklar ist, dass vmax von x abhängen soll.


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Dickies
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-04

Okay, das ist tatsächlich ein wenig verwunderlich, warum vmax von x abhängt. So richtig weiß ich das auch nicht. Aber ich versuche es nochmal nachzuvollziehen. Ansonsten sieht das schon mal verdammt gut aus. Ich hab auch mal ein wenig rumgerechnet und bin zu folgender DGL gekommen: x^** = - \omega^2 * x + const Ist ja auch was in die Richtung mit Schwingung. Allerdings bin ich bislang dran gescheitert diese DGL zu lösen. Irgendwie stört mich diese Konstante ein wenig. Ansonsten wäre das ja recht einfach zu lösen... Immer diese kleinen Problemchen auf dem eh schon holzigen Weg. :-D Vielen Dank schon mal für eure super tolle Hilfe. Danke Danke. :-)


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trunx
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  Beitrag No.12, eingetragen 2014-04-04

was ist die konstante in deiner dgl? normalerweise würde man davon ausgehen, dass es sich wegen der reibung um eine gedämpfte schwingung handeln würde.


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holsteiner
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  Beitrag No.13, eingetragen 2014-04-04

Hallo Dickies, die DGL löst man einfach als Lösung einer inhomogenen linearen DGL 2. Ordung Ich weiß das man die komplette Lösung z.B. im Kamke findet, ansonsten ist es auch schnell zu rechnen oder zu googeln. Ansonsten möchte ich noch auf was anderes hinaus. Bitte bedenke, was Du da eigentlich machst. Wenn eine Masse von einer Tonne nach 50km Länge stecken bleibt, wird das bei einem (wie Du schreibst kleinen) Volumenstrom eine erhebliche Zeit dauern, bis der Druck ansteigt. Wenn das Ding dann wieder freikommt, braucht es geschätzt mindestens weitere 50km bis der Druck wieder nachläßt. Wenn Du dann keine Reibung berücksichtigst, bekommst Du große Geschwindigkeiten, wenn doch gibt es (wie beim freien Fall) eine maximale Geschwindigkeit, die durch die Reibung und den Druck bestimmt ist. Jedenfalls möchte ich nicht am anderen Ende der Pipeline stehen, wenn neben ein bischen Gas plötzlich ein 1-Tonnen Teil da rauskommt. :-o Warum tut man der Pipeline so eine Verstopfung an? :-? Ein bischen sieht das nach einem gigantischen Luftgewehr aus, mit dem man den Mann im Mond ärgern möchte :-) Viele Grüße holsteiner @edit: Die Lösungsbeschreibung der DGL war ungenau, gelöscht.


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Dickies
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-04

Die Konstante setzt sich bei mir aus dem "Widerstand" von vor dem Gegenstand zum einen (also der Druck, der quasi gegen die Bewegung des Gegenstandes wirkt, den ich ja als konstant annehme, weil sich der Druck ja vor dem Gegenstand nicht ändert) und zum anderen aus der Reibungskraft (die auch der Einfachheit halber als konstant angesehen wird, zumindest dachte ich das bei Gleitreibung immer so) zusammen... Aber ich sehe ein, dass es hier gegebenenfalls noch Verbesserungspotential gibt. :-D Vllt sollte ich das mal mit der gedämpften Schwingung versuchen. ;-) Wobei man sich dann hier Gedanken über den Dämpfungsfaktor machen müsste... Hier müsste man ja zumindest später auf einen realen Zahlenwert kommen. Okay, aber das wäre dann noch ein anderes Problem. :-) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


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trunx
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  Beitrag No.15, eingetragen 2014-04-04

zeig einfach mal die rechnung :)


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Dickies
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-04

Ich werde es heute abend mal hochladen...:-)


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Dickies
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-07

Guten Morgen. :-) Okay, ein wenig verspätet (blödes Wochenende :-D ), aber jetzt hier mal meine Lösung bisher. Allerdings kann ich wohl schon sagen, dass sie nicht besonders richtig scheint... :-? Ausgegangen bin ich von der Situation, dass die Anfangsbeschleunigung durch die Druckdifferenz, die vor und hinter dem Gegenstand herrscht, aufgebracht wird. Nach dem Losschießen des Gegenstandes nimmt mit zunehmender Strecke die beschleunigende Kraft immer weiter ab und zwar so lange, bis die beiden Drücke (also vor und hinter dem Gegenstand) gleich sind (ich geh allerdings mal davon aus, dass hinter dem Gegenstand der Druck nicht viel größer wird als der Anfangsdruck, weil die Pipeline danach noch sehr lang ist und nach hinten quasi "offen" ist. Aus diesen Punkten habe ich mir aufgestellt, dass die Druckdifferenz nach folgender Gesetzmäßigkeit abnimmt: \Delta p (x) = \Delta p0 * (l - x)/l Dabei ist l die Länge, auf der Gegenstand beschleunigt wird (sprich die Strecke, wo es noch einen Unterschied der Drücke gibt). Mein x = 0 habe ich an der Stelle gewählt, an der der Gegenstand feststeckt. Also wäre Teil eins meiner Bewegungsgleichung: m * x^** = \Delta p (x) * A = \Delta p0 * (l-x)/l *A Soweit, so gut. Ich glaube, das scheint noch einigermaßen in Ordnung bis jetzt. Allerdings kommt jetzt in meinen Augen der schwierige Teil. Es muss die Massenträgheit des Gegenstandes, sowie des davor befindlichen Gases berücksichtigt werden. Hier würde gelten: F_träg = m * a = m * x^** Diese Kraft wäre der beschleunigenden Kraft entgegengerichtet, weshalb man sie als negativ setzt. Als letztes habe ich noch versucht die Reibung zu berücksichtigen. Allerdings bin ich ein einfach von Gleitreibung ausgegangen (die ja eigentlich immer als geschwindigkeitsunabhängig gilt). Vllt müsste man hier auch einen anderen Ansatz machen, der geschwindigkeitsabhängig ist... Für die Gleitreibung würde jedenfalls gelten: F_R = \mue * F_N = \mue * m * g Dann wäre meine Bewegungsgleichung: m * x^** = \Delta p_0 * (l-x)/l * A - m * x^** -\mue * m * g Okay, wenn ich ehrlich bin, gefällt mir die noch nicht so gut. Schon dass man ein unbekanntes l hat, ist irgendwie nicht optimal... Aber okay, ich schreibe es mal eben zu ende. Wenn man jetzt ein wenig umformt, so kommt man schließlich zu einer DGL, die wie folgt aussieht: (d^2 x (t))/dt^2 = - \omega^2 * x (t) + C Dabei ist \omega^2 = (\Delta p_0 * A)/(2 * m * l) und C = \omega^2 * l - 1/2 * \mue * g Wenn man diese inhomogene DGL mit konstantem Störglied löst, so erhält man als Gesamtlösung eine Lösung der homogenen DGL + eine spezielle Lösung der DGL. Es kommt dann bei mir raus: x (t) = K_1 * sin (\omega t) + K_2 * cos (\omega t) + C/\omega^2 Die Konstanten K1 und K2 werden über die Anfangsbedingungen bestimmt. Hier: x(t=0) = 0 und x^* (t=0) = 0 Man erhält schließlich eine Bewegungsgleichung in folgender Form: x (t) = - C/\omega^2 * cos (\omega t) + C/\omega^2 Hmm, also wenn ich ehrlich bin, überzeugt mich meine Lösung noch nict so wirklich. Was haltet ihr davon? Viele Grüße.


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Dickies
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.04.2014
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-08

Okay, also ich habe eure Tipps jetzt nochmal beherzigt und hab´s jetzt.:-) Danke nochmal.


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Dickies hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dickies hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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