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Universität/Hochschule J Funktionentheorie: Potenzreihe mit positiven Koeffizienten
AllenscheRegel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-05-17


Hallo,

hat jemand vielleicht einen Tipp zu dieser Aufgabe?

Sei <math>E := B(0, 1)</math>, <math>G</math> ein Gebiet mit <math>E \subset G</math>, <math>f</math> eine auf <math>G</math> holomorphe Funktion, die auf <math>E</math> durch <math>\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> gegeben ist. Die Koeffizienten der Reihe seihen alle nichtnegativ und der Konvergenzradius der Reihe sei 1. Zeigen sie <math>1\not\in G</math>.

Hinweis: Entwickeln sie <math>f</math> um <math>1/2</math> und untersuchen sie den Konvergenzradius dieser Reihe unter der Annahme, dass <math>1</math> ein regulärer Punkt von <math>f</math> sei.



Nun, wenn ich <math>f</math> um <math>1/2</math> entwickele, bekomme ich zunächst mal, dass auch die zu dieser Reihe gehörenden Koeffizienten alle positiv sind. Außerdem bekomme ich, dass der Konvergenzradius dieser Reihe größer als <math>1/2</math> ist. Ich weiß aber noch nicht so genau, was mir das bringt. Ich denke man soll irgendwie zeigen, dass auch die Reihe um <math>0</math> dann noch im gesamten Konvergenzgebiet von der Reihe um <math>1/2</math> konvergiert. Weiß aber nicht, wie das gehen soll. Hat jemand einen Tipp?



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Gestath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-05-17


Hi,

das Maximumprinzip sollte hier auch noch hilfreich sein. Wo nimmt f sein betragsmaessiges Max. an in K(0,r)?

Gruss Gestath



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AllenscheRegel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-17


Hallo Gestath,

das betragsmäßige Maximum muss auf dem Rand des Kreises angenommen werden oder? Und in diesem speziellen Fall muss das Maximum von K(0,r) in r angenommen werden? Wegen <math>|f(z)| = |\sum_{k=0}^\infty a_kz^k| \leq \sum_{k=0}^\infty a_k |z|^k \leq \sum_{k=0}^{\infty} a_kr^k = f(r)</math> für alle <math>z\in K(0,r)</math>.




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AllenscheRegel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-17


Hallo,

ich habe es jetzt gelöst :)

Viele Dank nochmal.



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AllenscheRegel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
AllenscheRegel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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