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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz von holomorpher Funktion mit Identitätssatz
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Universität/Hochschule J Existenz von holomorpher Funktion mit Identitätssatz
Kimbono
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  Themenstart: 2014-05-19

Hey meine Aufgabe lautet: \ Gibt es eine holomorphe Funktion f: \IC->\IC mit f(1/n)=n/(2n-1) für alle n\el\ \IN? Ich bin mir relativ sicher, dass man die Aufgabe mit dem Identitätssatz löst... \ Nun habe ich mir überlegt mit f(z)=1/(2-z) Stimmt die Aussage ja, bis halt auf den Punkt z=2, da dort nicht definiert ist. Allerdings steht in der Aufgabe ja auf den gesamten komplexen Zahlen Gebiet, daher bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig mache, oder ob ich doch noch eine andere Funktion finden muss, die das zwar auch erfüllt aber auf ganz C holomorph ist? Grüße.


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RoPro
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-05-19

Hallo Kimbono, Identitätssatz ist schon der richtige Gedanke. Angenommen du hast so eine hypothetische holomorphe Funktion $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ mit dieser Eigenschaft. Dann folgt aus dem Identitätssatz, dass $f$ auf $\mathbb{C}\setminus\{2\}$ mit $\frac{1}{2-z}$ übereinstimmt. Nun kannst du leicht einen Widerspruch herleiten. [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Holomorphie' von RoPro]


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Kimbono
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-19

\ Also quasi so: Sei g:\IC \notsqsupseteq\ {2}->\IC , g(z)=1/(2-z). Nun gilt f.a. n\el\ \IN : g(1/n)=1/(2-(1/n))=n/n*(1/(2-1/n))=n/(2n-1) Angenommen, es existiert eine Funktion f:\IC->\IC mit der selben Eigenschaft. So wäre 0 ein Häufungspunkt beider Funktionen und nach Identitätssatz gilt f=g. Widerspruch, daher ex. eine derartige Funktion nicht, sondern nur eben das angegebene g. Ist das so richtig, oder hab ich mich vertan? Grüße.


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RoPro
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-05-19

Du kannst den Identitätssatz nur auf $\mathbb{C}\setminus\{2\}$ anwenden. Dann ist $f=g$ auf $\mathbb{C}\setminus\{2\}$. Wieso ist das ein Widerspruch zur Annahme, dass $f$ auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph ist?


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Kimbono
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-19

Achso, okay. Naja, die einzige Möglichkeit wäre dann ja, dass man f bzw. g (sind ja auf ganz C\2 gleich) auf 2 holomorph fortsetzen kann. Da die Funktion aber bei 2 gegen unendlich geht ist dies wohl nicht möglich.


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RoPro
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  Beitrag No.5, eingetragen 2014-05-19

Richtig, das ist "wohl" so. Kannst du es auch begründen?


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Kimbono
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-05-19

\ Für z > 2: lim(z->\2,1/(2-z))=-\inf Für z < 2: lim(z->\2,1/(2-z))=\inf Somit wäre die Funktion nicht stetig und somit auch nicht holomorph.


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RoPro
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  Beitrag No.7, eingetragen 2014-05-19

Ja, das ist eine Möglichkeit. Allerdings musst du dafür zuerst die Funktion $g$ auf $\mathbb{R}$ einschränken. Denn in $\mathbb{C}$ ergeben $z>2$ bzw. $z<2$ keinen Sinn, es gibt keine einseitigen Grenzwerte und man arbeitet mit nur einem Fernpunkt $\infty$ (dh. es gibt kein $-\infty$), siehe zB Riemannsche Zahlensphäre. Alternativ kannst du argumentieren, dass die Funktion $g$ bei 2 betragsmäßig unbeschränkt ist, daher kann sie dort keine holomorphe Fortsetzung besitzen. (Gäbe es nämlich eine solche, so wäre $g$ aufgrund der Stetigkeit der Fortsetzung in 2 notwendigerweise auch beschränkt bei 2.)


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Buri
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  Beitrag No.8, eingetragen 2014-05-20

Hi Kimbono, ähnliche Aufgaben wurden bereits hier und hier und hier behandelt. Gruß Buri


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Kimbono hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kimbono hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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