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Funktionentheorie » Holomorphie » Ganze Funktionen
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Universität/Hochschule Ganze Funktionen
Toasten47
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  Themenstart: 2014-06-16

Hallo, bei folgendem Satz würde ich mich über Eure Hilfe freuen: Sei $f$ eine nichtkonstante ganze Funktion und $w\in\mathbb{C}$. Dann gibt es eine Folge $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$ mit $f(z_n)\to w$. Mir fehlt hier der Ansatz. "Nichtkonstant" ist schon mal klar und "ganz" bedeutet ja nur holomorph auf $\mathbb{C}$. Aus der Definition der Holomorphie ist der Satz jedenfalls nicht unmittelbar ersichtlich. Habt ihr einen Tipp für mich? Liebe Grüße Toasten


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traveller
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-06-16

Hallo, Angenommen, dies wäre nicht der Fall, dann existiert ein r>0 so dass B_r(w)\cut\ Im(f)=\emptyset . Es ist also abs(f(z)-w)>r \forall\ z\in\IC. Betrachte nun den Kehrwert dieser Ungleichung und verwende den Satz von Liouville.


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Toasten47
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-16

Hallo traveller, ich verstehe jetzt, worauf es hinaus laufen soll. Aber dennoch: Wir erhalten aus $r\le |f(z)-w|\le |f(z)|+|w|$ ja nur $r-|w|\le |f(z)|$ Für den Satz von Liouville brauchen wir aber ein $M>0$ mit $|f|\le M$, oder? PS1: Nebenbei bemerkt: Bedeutet die Annahme nicht sogar, dass ein solches $r$ mit $B_r(w)\cap f(\mathbb{C})=\emptyset$ existiert? Ich meine, $\not\subset f(\mathbb{C})$ bedeutet ja nur, dass mindestens ein Punkt existiert, der nicht im Bild von $f$ liegt; damit ist aber nicht gleich $|f(z)-w|\ge r$ für alle $z\in\mathbb{C}$, oder wo irre ich mich da? PS2: Ich denke du meinst, dass dann die Abbildung $\displaystylez\mapsto \frac{1}{f(z)-w}$ konstant beschränkt und ganz wäre. Aber PS1 würde mich immer noch interessieren ;) Liebe Grüße Toasten


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traveller
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-06-16

Hallo, Du hast natürlich recht, die ganze Kreisscheibe soll nicht im Bild von f enthalten sein.


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Toasten47
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-16

Freut mich zu hören und vielen Dank für deine Hilfe. Gruß Toasten


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Toasten47
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-17

Ich muss hier nochmal etwas nachfragen: Wenn jetzt nach der Existenz einer holomorphen, surjektiven Funktion $f:\mathbb{C}\to B_1(0)$ gefragt ist ... Das Bild dieser Funktion ist offensichtlich beschränkt. Erneut nach dem Satz von Liouville würde damit folgen, dass $f$ konstant und somit nicht surjektiv ist. Allgemeiner würde das aber für alle Funktionen mit Bild $B_r(z_0)$ und noch allgemeiner für alle mit beschränktem Bild gelten. Aber irgendwas sagt mir, dass es so leicht nicht sein kann - was missachte ich hier? Liebe Grüße Toasten


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Toasten47
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-17

Hat niemand eine Idee dazu?


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Xtk
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Wohnort: Mannheim
  Beitrag No.7, eingetragen 2014-06-17

\quoteon(2014-06-17 11:50 - Toasten47 in Beitrag No. 5) Allgemeiner würde das aber für alle Funktionen mit Bild $B_r(z_0)$ und noch allgemeiner für alle mit beschränktem Bild gelten. \quoteoff Aber nur dann, wenn der Definitionsbereich \IC ist. Hast du einen kleineren Definitionsbereich, kann es durchaus solche Funktionen geben, sonst nicht (Liouville)


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Toasten47
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-17

Hallo Xtk, wir gehen schon davon aus, dass es sich um eine ganze Funktion handelt. Ich entnehme deiner Antwort also, dass meine Antwort so korrekt ist, oder? Mit kleinerem Definitionsbereich, finden sich z.B. mit den "Blaschke Faktoren" sogar bijektive holomorphe Funktionen. Gruß Toasten


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
traveller
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  Beitrag No.9, eingetragen 2014-06-17

Hallo, Als Verschärfung der Aussage aus dem Startbeitrag gilt sogar der Kleine Satz von Picard: Das Bild jeder nichtkonstanten, ganzen Funktion ist die gesamte komplexe Zahlenebene bis auf höchstens einen einzigen Punkt. Bislang haben wir nur gezeigt, dass jeder Punkt beliebig approximiert werden kann, der Kleine Satz von Picard sagt nun, dass jeder Punkt (bis auf höchstens eine einzige Ausnahme) auch wirklich angenommen wird. Diese Verschärfung ist aber deutlich schwieriger zu beweisen.


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