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  Klausurvorbereitung zur Funktionentheorie: Fragen |
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AllenscheRegel
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 |  Themenstart: 2014-07-13
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Hallo,
ich befinde mich gerade in der Klausurvorbereitung zur Funktionentheorie und rechne alte Klausuren von anderen Universitäten durch. Dabei treten hin und wieder mal Fragen auf bzw. Aufgaben, auf die mir keine Lösung einfällt (könnte zum Teil auch an anderen Schwerpunkten liegen). Ich wollte hier ein paar Fragen posten, die sich mir stellen. Hoffe das ist ok.
Erste Aufgabe, die ich nicht lösen kann:
Konstruieren Sie eine ganze Funktion $f$, die einfache Nullstellen genau in den Punkten aus $\{\sqrt[4]{n} ~\vert~ n\in\mathbb N\}$ besitzt.
Ich dachte etwas in der Art von $\sin(e^z)$, denn diese Funktion hat schonmal keine Nullstellen mehr auf der linken Halbebene. Dafür gibt es aber andere Probleme, bei denen ich nicht weiß, wie ich sie beheben kann, habt ihr eine Idee?
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-13
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Ok, 2. Frage:
wie kann man in annehmbarer Zeit $\int_0^\infty \frac{1}{x^3+x^2+x+1}$ berechnen? Pole liegen in $i, -i, -1$. Mir fällt kein geschickter Integrationsweg ein. Jemand eine Idee?
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fru
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2014-07-13
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Hallo Allensche Regel!
Zu ersten Aufgabe lege ich Dir den Weierstraßschen Produktsatz ans Herz, bei der zweiten würde ich einmal mit einer Partialbruchzerlegung beginnen.
Liebe Grüße, Franz
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-13
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Hallo fru, danke für deine Antwort.
Eine reelle Partialbruchzerlegung:
$\frac{1}{1+z+z^2+z^3} = \frac 12\frac{1-x}{x^2+1}+\frac 12\frac{1}{x+1}$
Eine komplexe Partialbruchzerlegung:
$\frac{1}{1+z+z^2+z^3} = \frac{2i-2}{z-i}-\frac{2i+2}{z+i}+\frac 12\frac{1}{z+1}$.
Ich sehe jetzt irgendwie noch nicht, wie mich das weiter bringt. Ich könnte von diesem Ausdruck jetzt für beliebiges $\epsilon > 0$ eine Stammfunktion auf $\{z\in\mathbb C~\vert~ Re(z) > \epsilon\}$ angeben. Bringt mich das weiter?
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fru
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| Beitrag No.4, eingetragen 2014-07-13
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\quoteon(2014-07-13 16:01 - AllenscheRegel in Beitrag No. 3)
$\frac{1}{1+z+z^2+z^3} = \frac 12\frac{1-x}{x^2+1}+\frac 12\frac{1}{x+1}$
\quoteoff
\
Der Integrationsweg liegt doch ganz im Reellen, es geht also um das reelle__ (uneigentliche) Integral
int(1/(1+x+x^2+x^3)*,x,0,\inf)
und die Partialbruchzerlegung des Integranden liefert sofort
1/2*arctan(x)-1/4*ln(1+x^2)+1/2*ln(1+x)
als Stammfunktion für jedes reelle x des Integrationsbereiches. Ein kleines Problem ist allerdings, daß die beiden letzten Summanden einzeln an der oberen Grenze \inf divergieren. Aber man kann sie zusammenfassen:
-1/4*ln(1+x^2)+1/2*ln(1+x)=1/4*ln|(1+x)^2/(1+x^2)=1/4*ln|(1+1/x)^2/(1+1/x^2)
Und jetzt sieht man, daß dieser Term an der oberen Grenze verschwindet. Der Rest sollte klar sein.
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-13
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Ah, stimmt. Ich hatte mich davon abschrecken lassen, dass die Summanden einzeln nicht konvergieren. Dankeschön.
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fru
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| Beitrag No.6, eingetragen 2014-07-13
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\quoteon(2014-07-13 16:49 - AllenscheRegel in Beitrag No. 5)
Ich hatte mich davon abschrecken lassen, dass die Summanden einzeln nicht konvergieren.
\quoteoff
Das hätte eigentlich nicht passieren dürfen, weil Du ja sicherlich weißt, daß 1/(1+x2) eine Majorante des Integranden mit endlichem Integral ist.
Folglich muß es möglich sein, die beiden letzten Summanden so umzuschreiben, daß die Endlichkeit ihres Integrals ersichtlich wird.
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-13
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Ja, da hast du Recht, ich wusste tatsächlich dass das Integral endlich ist. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf.
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-13
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Eine letzte Fragenserie für heute:
Ich habe hier noch einen Ankreuzteil und wollte wissen, ob meine Antworten/ Begründungen richtig sind:
Teil 1:
Es sei $\mathbb D$ die offene Einheitskreisscheibe. Dann gibt es eine holomorphe Funktion $f:\mathbb C\to\mathbb C$ mit:
a) $f(z) = 1$ für alle $z\in \mathbb D$
b) $f(z) = 1$ für alle $z\in \mathbb D$ und $\lim_{|z|\to\infty}f(z)$ existiert.
c) $f(z) = 1$ für alle $z\in \mathbb D$ und $f(2) = 0$.
d) $f(\frac 1n) = 1$ für alle $n\in\mathbb N$ und $f(2) = 0$.
e) $f(z) \in\{2+iy~\vert~ y\in\mathbb R\}$ für alle $z\in \mathbb D$ und $f(2) = 0$
Antworten:
a) und b) ja (die konstante 1-Funktion)
c) und d) nein (Identitätssatz)
e) nein, denn das Prinzip der Gebietstreue sagt uns, dass $f$ auf dem Einheitskreis konstant ist, der Identitätssatz sagt uns, dass $f$ dann konstant ist mit $Re(f) = 2 \neq 0$
Teil 2)
Es sei $U\subset \mathbb C$ offen, $\gamma$ ein Weg in $U$ und $f:U\to \mathbb C$ holomorph. In welcher der folgenden Situationen gilt dann immer $\int_{\gamma}f(z) dz = 0$ ?
a) $U$ ist konvex und $\gamma$ geschlossen.
b) $\gamma$ ist geschlossen
c) $U$ ist einfach zusammenhängend
d) $\gamma$ ist injektiv
e) $\gamma$ ist geschlossen und $f$ konstant.
Antworten:
a) ja, denn eine konvexe offene Menge sollte ein einfach zusammenhängedes Gebiet sein, wenn ich mich nicht irre. Dort ist $\gamma$ dann nullhomolog und der Cauchy-Integralsatz liefert das gewünschte.
b) und c) und d) sind offensichtlich falsch.
e) sollte richtig sein, denn wir können $f$ auf das einfach zusammenhängende Gebiet $\mathbb C$ holomorph fortsetzen.
Teil 3)
Wir verwenden im Folgenden den Hauptzweig des Logarithmus $Log:\mathbb C\setminus (-\infty,0]\to\mathbb C$
a) $exp:\mathbb C\to\mathbb C$ ist weder injektiv noch surjektiv
b) $Log$ hat eine Stammfunktion auf $\{z\in\mathbb C~\vert~ Re(z) > 0\}$
c) $sin:\mathbb C\to\mathbb C$ ist beschränkt.
d) $i^i\in\mathbb R$
e) $\sinh: \mathbb C\to\mathbb C$ ist periodisch.
Antworten:
a) richtig
b) Ja, denn dieses Gebiet ist einfach zusammenhängend und Log dort holomorph.
c) falsch (Liouville oder imaginäre Achse betrachten)
d) Ich bin mir hier nicht ganz sicher, Potenzen sind doch i.A. im Komplexen garnicht eindeutig oder?
Ich könnte doch $i$ darstellen als $e^{i\frac{\pi}{4}}$ und dann kommt $e^{-\frac{\pi}{4}}$ heraus oder ich könnte auch sagen, dass $i=e^{i\frac{9\pi}{4}}$ und dann kommt etwas ganz anderes heraus. Wie geht man i.A mit solchen Potenzen um? Oder sollte die Einleitung zu der Aufgabe auch aussagen, dass wir die Potenzfunktion mit Hilfe des Hauptzweigs des Logarithmus definieren?
e) ja, es sollte eine $2\pi i$-Periode vorliegen.
Wäre super, wenn jemand drüber schauen könnte. Ansonsten einen schönen Abend :-)
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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2014-07-13
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Hi AllenscheRegel,
bei Teil 3 sind alle deine Antworten richtig, das Übrige habe ich noch nicht angeschaut.
Die Einleitung dient bei d) genau zu dem Zweck, den du vermutest.
Gruß Buri
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matter
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| Beitrag No.10, eingetragen 2014-07-14
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wieso glaubst du, dass Teil 2) c) falsch ist?
Gruss
matter
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AllenscheRegel
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-14
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Hallo und danke für eure Antworten.
@matter: Weil Gamma nicht notwendigerweise geschlossen ist.
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
| Beitrag No.12, eingetragen 2014-07-14
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Hi AllenscheRegel,
Teil 1 und Teil 2 sind ebenfalls richtig.
Gruß Buri
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AllenscheRegel
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.03.2012
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-14
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Hallo Buri, danke, dass du drübergeschaut hast ;)
Ich hake dann mal ab.
Viele Grüße.
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