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Analysis » Funktionen » Kosinus (Sinus) eines Bruchteils von pi
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Kein bestimmter Bereich Kosinus (Sinus) eines Bruchteils von pi
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-09-22


Hallo!

Gibt es egtl. einen Algorithmus o.ä., der es erlaubt z.B. für
fed-Code einblenden
den analytischen Wurzel-Ausdruck auszurechnen?

Danke!



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Kay_S
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Dabei seit: 06.03.2007
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Aus: Koblenz (früher: Berlin)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-09-22


Hi cis,

Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man ein Polynom erzeugen, für das <math>\cos(\frac{a}{b}\pi)</math> eine Nullstelle ist. Diese sind aber ja nicht immer in Wurzelausdrücke auflösbar.

Kay



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45993
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2014-09-22


2014-09-22 18:20 - cis im Themenstart schreibt:
Gibt es egtl. einen Algorithmus ...?
Hi cis,
nicht wirklich, aber es würde natürlich gehen, solch einen zu machen.
Die Zahl a ist völlig unwichtig und kann für dieses Problem 1 gesetzt werden. Wenn man cos(x) hat, kann man auch cos(ax) ausrechnen.

Wenn die ungeraden Primteiler von b einfach sind und aus den bisher einzigen bekannten Fermat-Primzahlen 3,5,17,257,65537 stammen, dann gibt es eine Darstellung von cos(π/b) nur mit Quadratwurzeln.

Dies geht also insbesondere für alle Vielfachen des Winkels 3°, und ich habe mir vor vielen Jahren eine entsprechende Tabelle angefertigt, die ich auch gerne hier mitteilen kann.

Wenn man auch Kubikwurzeln zulässt, dann hilft das nur dann wirklich, wenn es Kubikwurzeln aus komplexen Zahlen sind. Die Einschränkung auf reelle Kubikwurzeln verhindert die Problemlösung, und aus diesem Grund erscheint es mir wenig reizvoll, dieser Frage weiter nachzugehen, obwohl man es natürlich dennoch tun kann.
Gruß Buri






[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Amateur
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Dabei seit: 01.10.2012
Mitteilungen: 826
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-09-22


Hallo cis,

hier gibt es weitere Beispiele und einige Links:

Wikipedia: Exact trigonometric constants

Viele Grüße A.



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4994
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-09-22


Wenn b speziell eine Potenz von 2 ist, so wie in dem Beispiel aus dem Eingangsposting, so hilft auch folgendes Verfahren.

1. Das Argument solange verdoppeln, bis der Wert des Cosinus dafür bekannt ist.

2. Die Verdoppelungen unter 1. mittels der Formel

<math>\cos x = \sqrt{\frac{1+\cos(2x)}2}</math>

alle wieder "rückgängig" machen, was möglich ist, da die rechte Seite dieser Formel jeweils bekannt ist.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-23


Danke für die Beiträge!

#3 liefert ja viele Beispiele.


2014-09-22 18:47 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn die ungeraden Primteiler von b einfach sind und aus den bisher einzigen bekannten Fermat-Primzahlen 3,5,17,257,65537 stammen, dann gibt es eine Darstellung von cos(π/b) nur mit Quadratwurzeln.

Widerspricht das nicht dem Fall
2014-09-22 18:20 - cis im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Es ist 8 = 2³, also keine Fermat-Primzahlen. Irgendwas seh ich hier wohl falsch?



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Calculus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.08.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-09-23


8 ist auch keine ungerade Primzahl.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-23


2014-09-23 15:31 - Calculus in Beitrag No. 6 schreibt:
8 ist auch keine ungerade Primzahl.

Achso, ich dachte, das muß eine bestimmte PFZ haben - da habe ich den zitierten Text wohl falsch verstanden.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-23


2014-09-22 18:47 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
ich habe mir vor vielen Jahren eine entsprechende Tabelle angefertigt, die ich auch gerne hier mitteilen kann.

Das wäre siche  eine Veröffentlichung Wert - geht die Tabelle über #3 hinaus?



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 45993
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2014-09-23


2014-09-23 16:42 - cis in Beitrag No. 8 schreibt:
2014-09-22 18:47 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
ich habe mir vor vielen Jahren eine entsprechende Tabelle angefertigt, die ich auch gerne hier mitteilen kann.
Das wäre siche  eine Veröffentlichung Wert - geht die Tabelle über #3 hinaus?
Hi cis,
nein. Meine Tabelle enthält genau diese Werte, die dort stehen.
Ich habe mir allerdings nicht die Mühe gemacht, das zu vergleichen.

Bemerkenswert ist, dass man den Tangens von 7.5° durch eine ganz einfache Summe / Differenz von Quadratwurzeln ganzer Zahlen ausdrücken kann, das wurde in den 60-er Jahren als Aufgabe in der Mathematik-Olympiade gestellt.
Gruß Buri



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-25


Hintergrund der Frage:
 HIER treten Kosinüsse der Form
fed-Code einblenden
auf.
Wie kann ich darauf das mit den Fermatschen Primzahlen anwenden?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-26


Aja, bei  wikipedia steht es; damit versteh ich auch die Aussage mit den Fermatschen Primzahlen.

<math>\sin(\alpha), \cos(\alpha)</math> ist genau dann mittels der Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar, wenn <math>\alpha = u \cdot \dfrac{2\pi}{2^v p_1 \dots p_r}</math>, wobei <math>u \in \mathbb{Z},~~ v \in \mathbb{N}_0</math> und <math>p_i = 3, 5, 17, 257, 65537, \underset{?}{...}</math> eine Fermatsche Primzahl ist.


fed-Code einblenden

Gilt diese Vorraussetzung immer für
fed-Code einblenden
?

Gegenbeispiel?



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Calculus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2014-09-26


Nein, siehe z.B. 1/7 π



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-26


2014-09-26 14:57 - Calculus in Beitrag No. 12 schreibt:
Nein, siehe z.B. 1/7 π

Ok, alles klar.




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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2014-09-26


Die Formel für die n, für welche ein regelmäßiges n-Eck (also dann indirekt <math>\cos(2\pi/n)</math>) mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, findet man übrigens hier besser dargestellt. Daraus geht insbesondere auch klar hervor, dass n auch einfach eine Zweierpotenz sein kann und die Fermatprimzahlen in der Primfaktorzerlegung von n keinesfalls mehrfach vorkommen dürfen.



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Ex_Senior hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ex_Senior hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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