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Mathematik » Lineare Algebra » Determinante von symmetrischer Matrix gleich null
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Universität/Hochschule Determinante von symmetrischer Matrix gleich null
galia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-10-29


Hallo Alle!
Erstens hoffe ich dass ich den Beitrag in dem richtigen Forum gepostet habe und dass es sich nicht wiederholt. Hier ist die Angabe:

P1, . . . , P6 seien 6 Punkte im R^3 und di,j bezeichne das Quadrat des Abstands zwischen Pi und Pj. D = (di,j) sei die daraus gebildete 6 × 6-Matrix. Zeige det(D) = 0.

Meine Ueberlegung:
D ist symmetrisch und auf dem Hauptdiagonal sind die Eintraege 0. Sonst sind die eintraege positiv. Bis jetzt habe ich kleine Beispiele mit 3x3 und 4x4 Matrizen gemacht, aber ich bekomme nie det(D)=0.

Die det=0 heisst dass die Spalten linear abhaengig sind, was nach meier Ueberlegung nicht stimmen kann (weil jede Eintrag unterschiedlich ist)

Es waere sehr nett, wenn jemand ein Beispiel geben kann wo es wirklich det=0 ist :) Danke im Voraus!



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Algebrax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-10-29


Hallo, galia!

Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Das lässt sich schlimmstenfalls mit Brute-Force lösen: Beachte, dass die Einträge der <math>(6\times 6)</math>-Matrix Polynome in den Koordinaten der Punkte sind, also ist auch die Determinante ein Polynom in diesen Parametern. Aber wann ist die zu einem Polynom (auch in mehreren Variablen) über einem unendlichen Körper assoziierte Funktion konstant <math>0</math>?

Du bekommst übrigens sicher (auch bei kleinerer Punktanzahl) die Determinante <math>0</math> heraus, wenn du zwei der Punkte gleich wählst.

Mit lieben Grüßen,
Alex



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galia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-10-30


Hallo, Alex!

Danke fuer deinen Schnellen Antwort.

Also zuerst bin nicht ganz sicher verstanden, was du  meinst mit der Frage "wann ist die Funktion konstant". Was ich mich ueberlegt habe ist das man irgendwie konkrete Punkte waehlen soll damit det=0, ich glaube aber dass es auch in allemeinem Fall stimmen soll. Ich habe mit 2 Punkte P(p1,p2,p3) und Q(q1,q2,q3) probiert. Dann bekomme ich die Matrix:


fed-Code einblenden

Daraus folgt aber dass p1=q1, p2=q2, p3=q3 sein muss, also sind die Punkte gleich. Gefragt ist aber fuer belibige Punkten.
Vielleich habe ich ein wesentlichen Argument nicht verstanden  😵  😵



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Algebrax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-10-30


Hallo, galia!

Ja, es ist aber auch ein Unterschied, ob du die Fragestellung mit zwei Punkten oder mit sechs Punkten betrachtest. Bei zwei Punkten ist, wie du richtig beobachtet hast, die Determinante nicht immer <math>0</math>, aber bei sechs Punkten ist dies eben der Fall, und dies soll man zeigen. Einen tieferen geometrischen Grund dafür kann ich dir allerdings leider auch nicht nennen.

Wenn man sich nicht mit einer Brute-Force-Lösung zufrieden geben will, hilft es vielleicht, sich von einem Computer ausrechnen zu lassen, wie der Kern der Matrix (in allgemeiner Form) aussieht. Da man diese allgemeine Form der Matrix auch als eine <math>(6\times 6)</math>-Matrix über dem Polynomring in <math>18</math> Variablen (entsprechend der Koordinaten der <math>6</math> Punkte) über <math>\mathbb{Z}</math> auffassen kann, folgt nach diesem Thread (bzw., da es sich um einen Integritätsring handelt), dass es jedenfalls sogar Polynome <math>p_1,\ldots,p_6</math> in den <math>18</math> Variablen gibt, sodass, wenn man mit <math>s_j</math> die <math>j</math>-te Spalte der allgemeinen Matrix bezeichnet, <math>\sum_{j=1}^6{p_js_j}=0</math> folgt, und bei Betrachtung eines solchen <math>6</math>-Tupels sieht man vielleicht ein Schema dahinter und damit auch einen "tieferen Grund" für diese Tatsache.

Mit lieben Grüßen,
Alex



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